Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Ihren Flächeninhalt nähert man etwa durch Riemannsummen an:F ≈ ∑ N k=1 y k(x k − x k−1 ), (10)wobei a = x 0 < x 1 < x 2 < ··· < x N = b eine Zerlegung Z des Intervalles [a,b] ist und y k =f (z k ) Zwischenwerte der Funktion sind für x k−1 ≤ z k ≤ x k . Sind die y k die Maxima von f inden Teilintervallen [x k−1 ,x k ], dann heißt die Riemannsumme in (10) die zur Zerlegung gehörigeObersumme O( f ,Z). Sind die y k dagegen die Minima, dann spricht man von der UntersummeU( f ,Z). Die Untersumme unterschätzt den Flächeninhalt, die Obersumme überschätzt ihn:U( f ,Z) ≤ F ≤ O( f ,Z).Für „gutartige“ Funktionen f erwartet man, dass für jede vorgebene Toleranz ε > 0 eine hinreichendfeine Zerlegung Z des Intervalls [a,b] gefunden werden kann, sodass 0 ≤ O( f ,Z) −U( f ,Z) ≤ ε gilt. Solche Funktionen heißen Riemann-integrierbar und der gemeinsame Grenzwertder Ober- bzw. Untersummen heißt das bestimmte (oder Riemann’sche) Integral von f :∫ bf (x) dx := lim Z O( f ,Z) = lim Z U( f ,Z).aFür die Definition des Integrals ist die Voraussetzung f ≥ 0 nicht notwendig. Allerdings ist nurim Fall f ≥ 0 das bestimmte Integral auch der Flächeninhalt F. Im Allgemein gibt ist das Integraldie Differenz zweier Flächeninhalte.18.1 Satz. Jede stetige Funktion f : [a,b] → R ist integrierbar.Der Beweis dieses Satzes beruht auf der Tasache, dass f sogar gleichmäßig stetig auf demkompakten Intervall [a,b] ist, d.h. für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass gilt:Hieraus folgt nämlich, dass|x 1 − x 2 | ≤ δ =⇒ | f (x 1 ) − f (x 2 )| ≤ ε.O( f ,Z) −U( f ,Z) ≤ ε falls δ(Z) := max(x k − x k−1 ) ≤ δ.kMan nennt δ(Z) die Feinheit von Z. Die Feinheit ist die maximale Länge der Teilintervalle.18.2 Beispiele. In einigen Fällen kann man Integrale über Ober- und Untersummen berechnen.(i) ∫ ba 1 dx = b − a, denn alle Ober- und Untersummen sind gleich der Länge des Intervalls.(ii) Zur Berechnung von ∫ 10 x dx zerlegt man [0,1] in N Intervalle gleicher Länge. Die Zerlegungspunktesind x k = k/N. Für die Ober- und Untersummen hat manO( f ,Z N ) = ∑ N k 1k=1 N N = N−2 ∑ N k=1 k = 1 N−2 N(N + 1),2U( f ,Z N ) = ∑ N k − 1 1k=1 N N = ··· = 1 N−2 N(N − 1).2Für N → ∞ konvergieren die Summen gegen den Grenzwert ∫ 10 x dx = 1 2. Allgemeiner gilt∫ ba x dx = 1 2 (b2 − a 2 ).43