Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

17.1 Satz. Sei f :]a,b[→ R differenzierbar. Liegt in x 0 ∈]a,b[ eine lokale Extremstelle vor, dannist f ′ (x 0 ) = 0.Begründung: Ist etwa x 0 eine lokale Maximumstelle, dann ist der Differenzenquotientf (x) − f (x 0 )x − x 0≤ 0 wenn x > x 0 und ≥ 0, wenn x < x 0 .Da die Ableitung f ′ (x 0 ) (= Limes der Differenzenquotienten) existiert, muss dieser ≤ 0 und ≥ 0sein; folglich f ′ (x 0 ) = 0.Warum lässt man im Satz keine Intervalle der Gestalt [a,b] zu?Mit Hilfe der zweiten Ableitung erhält man auch hinreichende Bedingungen für die Existenzlokaler Exstremstellen.17.2 Satz. Sei f :]a,b[→ R zweimal differenzierbar mit stetiger zweiter Ableitung. Sei x 0 ∈]a,b[gegeben mit f ′ (x 0 ) = 0 und f ′′ (x 0 ) > 0. Dann liegt in x 0 eine lokale Minimumstelle für f vor.(Entsprechend liegt im Fall f ′′ (x 0 ) < 0 eine lokale Maximumstelle vor.)Einen Beweis erhält man mit einer Anwendung des folgenden Spezialfalls der Taylorformel,die wir erst später behandeln werden:f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + 1 2 f ′′ (z)(x − x 0 ) 2gilt mit einer geeigneten Stelle z, die zwischen x 0 und x liegt.Man kann mit Hilfe dieser Sätze Extremstellen von Funktionen bestimmen oder Extremwertaufgabenlösen.17.3 Beispiel. Ein rechteckiges Blech mit Kantenlängen 16 und 6 Meter sei das Ausgangsmaterialdafür, einen quaderförmigen, nach oben offenen Behälter zu formen. Welches Fassungsvermögenkann der Behälter maximal haben? Wie hoch ist ein solcher Behälter? Die Höhe inMeter werde mit x > 0 bezeichnet. Das Volumen V = V (x) in Kubikmeter des Behälters undseine ersten Ableitungen nach x sind:V (x) = (16 − 2x)(6 − 2x)x = 4x 3 − 44x 2 + 96x,V ′ (x) = 12x 2 − 88x + 96,V ′′ (x) = 24x − 88.Die Nullstellen x 1,2 der Ableitung sind die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 − 22x/3 +8 = 0, also x 1 = 6 und x 2 = 4/3. Offenbar ist nur x 2 weiter zu betrachten. Wegen V ′′ (x 2 ) < 0liegt eine (lokale und globale) Maximumstelle vor. Bei einer Höhe von 4/3 Metern wird dasmaximale Fassungsvermögen von V max = 128 Kubikmeter erreicht.18 Das bestimmte IntegralDen Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Figur approximiert man durch Summen vonRechteckflächen (Ausschöpfungsprinzip). Der Subgraph einer nichtnegativen Funktion f : [a,b] →R ist die MengeS( f ) := {(x,y) ∈ R 2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}.42