Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Beweis von Satz 16.3. Zum Beweis der Formel (9) bezeichne γ den Grenzwert der rechten Seitein (9). Sei ε > 0 gegeben. Es ist zu zeigen, dass es ein δ > 0 gibt derart, dass | f (x)/g(x)−γ| ≤ εgilt, wenn a < x < a + δ. Nach Definition von γ existiert ein δ > 0, sodassf ′ ∣(z) ∣∣∣∣ g ′ (z) − γ ≤ ε wenn a < z < a + δ.Fixiere nun ein beliebiges x ∈]a,a + δ[. Setze x n = a + (x − a)/2n. Nach dem verallgemeinertenMWS gibt es z n ∈]a,x[ mitf (x) − f (x n )g(x) − g(x n ) = f ′ (z n )g ′ (z n ) .Folglich haben wir für alle n ∈ N:∣ f (x) − f (x n ) ∣∣∣∣ g(x) − g(x n ) − γ ≤ ε.Wegen lim n f (x n ) = 0 und lim n g(x n ) = 0 folgt mit den Rechenregeln für Grenzwerte∣ f (x) ∣∣∣∣ g(x) − γ ≤ ε,was zu zeigen war.Die Regel von de l’Hospital gilt natürlich auch für linksseitige Grenzwerte; sie gilt auch fürx → ∞ oder x → −∞. Ferner gilt die Regel auch, wenn g(x) gegen ∞ oder −∞ konvergiert. Diede l’Hospital’sche Regel muss gegebenenfalls mehrmals angewendet werden, bis ein Grenzwertbestimmt ist.16.4 Beispiele. Hier sind einige Grenzwertberechungen mit der de l’Hospital’schen Formel.Man beachte, dass die Voraussetzungen für die Anwendung der Formel in jedem Beispiel erfülltsind.(i) limx→1lnxx 2 − 1 = limx→11/x2x = 1 21 − cosx(ii) Zweimalige Anwendung von (9): limx→0 x 2lnx(iii) limxlnx = limx↓0 x↓0 1/x = lim 1/xx↓0 −1/x 2 = 0lnx(iv) Für b > 0: limx↓∞ x b = lim 1/x 1= limx↓∞ bxb−1 x↓∞ bx b = 017 Extremwertaufgabensinx= limx→0 2x = lim cosx= 1x→0 2 2Wir betrachten wieder eine Funktion f : I → R, die auf einem Intervall I ⊆ R definiert ist. EineStelle x 0 ∈ I heißt eine (globale) Maximumstelle für f , wenn f (x) ≤ f (x 0 ) gilt für alle x ∈ I;x 0 heißt eine lokale Maximumstelle für f , wenn es ein δ > 0 gibt, sodass f (x) ≤ f (x 0 ) giltfür alle x ∈ I mit |x − x 0 | < δ. Globale Maximumstellen sind auch lokale Maximumstellen; dieUmkehrung hiervon gilt jedoch nicht. Analog definiert man Minimumstellen. Extremstelle istder Sammelbegriff für Maximum- oder Minimumstelle. Die Differentialrechnung ermöglichtdie Bestimmung lokaler Extremstellen.41