Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Abbildung 3: Die Funktion y = x x .falls g(a) ≠ 0 ist. Ist g(a) = 0 aber f (a) ≠ 0, dann erhält man einen uneigentlichen Grenzwert ∞oder −∞. Im Falle einer 0/0-Situation, d.h., wenn f (a) = 0 = g(a) gilt, dann kann der Grenzwert– falls vorhanden – so nicht bestimmt werden. In diesem Fall liefert die Differentialrechnungfolgende nützliche Methode zur Grenzwertbestimmung.16.3 Satz (Regel von de l’Hospital). Seien f ,g :]a,b[→ R differenzierbar, g(x) ≠ 0 und g ′ (x) ≠ 0für a < x < b. Außerdem gelte lim x↓a f (x) = 0 und lim x↓a g(x) = 0. Dann giltvorausgesetzt der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.f (x)limx↓a g(x) = lim f ′ (x)x↓a g ′ (x) , (9)Diese Regel folgt aus dem Verallgemeinerten MWS, welcher besagt, dass es zu x 1 < x 2 eineZwischenstelle z ∈]x 1 ,x 2 [ gibt mitf (x 2 ) − f (x 1 )g(x 2 ) − g(x 1 ) = f ′ (z)g ′ (z) .Für g(x) = x ist dies genau der eingangs formulierte Mittelwertsatz.40