Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

wobei der letzte Ausdruck die Normaldarstellung des Kehrwertes ist. Allgemein findet man dieNormaldarstellung eines Bruches komplexer Zahlen, wenn man den Bruch mit dem Konjugiertendes Nenners erweitert. Dazu ein Zahlenbeispiel:2 − j (2 − j)(3 − 4 j)=3 + 4 j 3 2 + 4 2 = 2 25 − 1125 jWegen der Eindeutigkeit der Normaldarstellung kann man die komplexe Zahl z = x +y· j mitdem Punkt (x,y) der xy-Koordinatenebene identifizieren. Dies ist die Veranschaulichung von Cals Gauß’sche Zahlenebene. Die x-Achse (oder reelle Achxse) entspricht der reellen ZahlengeradenR. Die y-Achse heißt imaginäre Achse und wird R j geschrieben. Die Addition komplexerZahlen ist geometrisch die Addition der zugehörigen Ortsvektoren in der Zahlenebene. Einegeometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen geben wir später an, wenn diePolardarstellung vorliegt. Der Übergang von z zu ¯z ist geometrisch eine Spiegelung an der reellenAchse.In der Behandlung von Wechselstromkreisen arbeitet man mit komplexen Widerständen z.Für einen Ohm’schen Widerstand R Ω ist z R = R. Beträgt die Wechselspannungsfrequenz ω s −1 ,dann dann haben eine Spule L H und ein Kondensator C F die komplexen Widerstände z L =jωL bzw. z C = ( jωC) −1 . Werden zwei Bauelemente mit Widerständen z 1 und z 2 in Reihe oderparallel geschaltet, so ist der Widerstand z des zusammengeschalteten Baulementes gegebendurch1z = z 1 + z 2 bzw.z = 1 + 1 .z 1 z 2Man nennt Rez den Wirkwiderstand und Imz den Blindwiderstand des Bauelements. Mit diesenRegeln kann man Widerstände von (eingeschwungenen) Wechselstromkreisen rechnerisch genausobehandeln wie Widerstände von Gleichstromkreisen; man muss lediglich von dem Rechnenin R zu dem Rechnen in C übergehen.Alle Rechenregeln für die Grundrechenarten in C folgen aus den Körperaxiomen. Dies sinddieselben Gesetze, die für die Grundrechenarten in Q und R bekannt sind. Hier einige Beispielefür Gesetze, die allein aus den Körperaxiomen folgen:(i) Einzigkeit der Null: 0 ′ = 0 ′ + 0 = 0 + 0 ′ = 0.(ii) 0 · a = 0, denn wegen 0 + 0 = 0 gilt für b := 0 · a die Gleichung b + b = b, die wiederumnur für b = 0 gelten kann.(iii) Aus z ≠ 0 und z · w = 0 folgt w = 0, denn w = z −1 · (z · w) = 0.(iv) Bruchrechenregeln:ab + c ad + cb a c= ,d bd b d = acbd .Hier haben wir den Multiplikationspunkt fortgelassen; dies werden wir auch weiterhin tun.Die komplexe Konjugation ist verträglich mit den algebraischen Operationen:z + w = ¯z + ¯w,zw = ¯z ¯w.Man bestätigt folgende Formeln:Rez = 1 (z + ¯z),2 Imz= 1 (z − ¯z).2i4