Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Ist f : I → R differenzierbar, dann heißt f zweimal differenzierbar, wenn die Ableitungf ′ : I → R differenzierbar, und man nennt dann die Funktion f ′′ : I → R, x ↦→ ( f ′ ) ′ (x) die zweiteAbleitung von f . Entsprechend definiert man n-malige Differenzierbarkeit und die n-te Ableitungrekursiv wie folgt:f (n) = ( f (n−1)) ′ , f (1) = f ′ .Beispiele: (cosx) ′′ = −cosx, (x n ) (n) = n!.16 Der Mittelwertsatz und FolgerungenViele Eigenschaften differenzierbarer Funktionen basieren auf folgendem grundlegenden Satz.16.1 Satz (Mittelwertsatz (MWS)). Sei f : [a,b] → R differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle z,a < z < b, für die giltf (b) − f (a)= f ′ (z).b − aEs kann mehr als einen solche Zwischenstelle z geben. Über den genauen Wert über solchenStellen macht der Satz keine Aussage. In den nachfolgenden Anwendungen würde ein solcherZahlenwert unwichtig sein.Sei f : I → R differenzierbar, I ⊆ R ein Intervall16.1 Folgerung. Ist f ′ = 0, dann ist f konstant.16.2 Folgerung. Ist f ′ = f , dann gilt f (x) = Ce x mit einer Konstanten C.Man rechnet nach, dass ( f (x)e −x ) ′ = 0 gilt. Folglich ist f (x)e −x konstant.16.3 Folgerung. Gilt f ′ (x) > 0 für alle x ∈ I, dann ist f streng monoton wachsend.Seien x 1 ,x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 . Nach dem MWS existiert ein z ∈ I, sodassf (x 2 ) − f (x 1 ) = f ′ (z)(x 2 − x 1 ) > 0.Die Ungleichung folgt aus f ′ (z) > 0 und x 1 < x 2 .16.2 Beispiele. Durch Differenzieren kann man Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen.(i) Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus sind streng monoton wachsend.(ii) y = sinx ist streng monoton wachsend im Intervall ] − π/2,π/2[ und streng monoton fallendim Intervall ]π/2,3π/2[, denn cosx = (sinx) ′ ist in diesen Intervallen positiv bzw.negativ.(iii) y = x x ist streng monoton wachsend für 1/e < x und streng monoton fallend für 0 < x