Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

( ) f ′Quotientenregel = f ′ g − f g ′. Beispiel:gg 2(tanx) ′ =( ) sinx ′= cos2 x + sin 2 xcosx cos 2 = (cosx) −2 .xDie Formel (x n ) ′ = nx n−1 zeigt man mit vollständiger Induktion über n; dabei beweist man mitfolgender Anwendung der Produktregel den Induktionsschritt:(x n+1 ) ′ = (x · x n ) ′ = x ′ · x n + x · (x n ) ′ = x n + x · nx n−1 = (n + 1)x nDie Verkettung stetiger Funktionen ist stetig. Ist die Verkettung differenzierbarer Funktionendifferemzierbar?15.4 Satz (Kettenregel). Seien f : I → R und g : J → R differenzierbare Funktionen auf IntervallenI,J ⊆ R. Es gelte f (I) ⊆ J. Dann ist g ◦ f : I → R, x ↦→ g( f (x)) differenzierbar, und fürdie Ableitung dieser Verkettung gilt(g ◦ f ) ′ (x) = g ′ (z) f ′ (x) wobei z = f (x).Somit ist die Ableitung der Verkettung das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion (hierg) und der Ableitung der inneren Funktion (hier f ).Beispiel: (sinx 2 ) ′ = (cosx 2 ) · 2xEine Funktion g heißt Umkehrfunktion für f , wenn (g ◦ f )(y) = y und ( f ◦ g)(x) = x gelten.Man schreibt f −1 für die Umkehrfunktion g. Sind f und g differenzierbar, dann folgt mit derKettenregel f ′ (g(x))g ′ (x) = x ′ = 1, und somit g ′ (x) = 1/ f ′ (g(x)), wenn f ′ nirgends Null ist.15.5 Satz (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei f : I → R differenzierbar auf dem Intervall I. Esgelte f ′ (x) ≠ 0 für alle x ∈ I. Dann existiert die Umkehrfunktion f −1 : J → I auf dem BildintervallJ := f (I), und diese ist differenzierbar mit Ableitung( f −1 ) ′ (x) = 1f ′ (y)wobei x = f (y).15.6 Beispiele. Mit Hilfe dieses Satzes erhält die Differenzierbarkeit und Formeln für die Ableitungenfolgender Funktionen.(i) ( √ x) ′ = 1/2 √ x, wenn x > 0.(ii) (lnx) ′ = 1/x, wenn x > 0.(iii) (arcsinx) ′ = 1/ √ 1 − x 2 , wenn |x| < 1.(iv) (arctanx) ′ = 1/(1 + x 2 ).Die allgemeinen Potenz- und Exponentialfunktion sind durch die natürliche Exponentialfunktionund den natürlichen Logarithmus wie folgt gegeben:y = x a = e alnx bzw. y = a x = e xlna .Ihre Ableitungen berechnet man hieraus mit der Kettenregel:(x a ) ′ = ax a−1 , (a x ) ′ = (lna)a x .38