Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Für die Ableitung einer Funktion y = f (x) sind verschiedene Schreibweisen üblich:f ′ (x) = dfdx = dydx .Die Ableitung einer Funktion y = f (x) hat folgende geometrische Bedeutung: a := f ′ (x 0 ) istdie Steigung der Tangente, die den Graphen der Funktion im Punkt (x 0 ,y 0 ), y 0 := f (x 0 ) berührt.Die Tangente selbst is durch die Gerade mit der Gleichungy = ax + b, a = f ′ (x 0 ), b = y 0 − ax 0gegeben. Der Schnittwinkel α der Tangente errechnet sich aus der Tangentensteigung a gemäßa = tanα.15.2 Beispiele. Folgende Funktionen y = f (x) sind differenzierbar mit den angegebenen Ableitungen.(i) (ax + b) ′ = a; speziell ist die Ableitung konstanter Funktionen Null.(ii) (x 2 ) ′ = 2x, denn x2 − x02 = x + x 0 −→ 2x 0 .x − x 0x→x0(iii) (sinx) ′ = cosx und (cosx) ′ = −sinx. Dies folgt aus Folgerungen der Additionstheoremeund der Stetigkeit von Sinus und Cosinus.(iv) (e x ) ′ = e x . Mit einer Abschätzung der Exponentialreihe erhält man zunächst∣ ex − 1− 1 ∣ ≤ e|x| für |x| ≤ 1,xdaraus folgen lim x→0 (e x − 1)/x = 1 und schließliche x − e x 0lim = e x e x−x 0− 10lim = e x 0.x→x 0 x − x 0 x−x 0 →0 x − x 015.3 Satz. Differenzierbare Funktionen sind stetig.Dies folgt aus(lim f (x) = lim f (x 0 ) + f (x) − f (x )0)· (x − x 0 )x→x 0 x→x0 x − x 0= f (x 0 ) + f ′ (x 0 ) · 0 = f (x 0 ).Umgekehrt muss eine stetige Funktion aber nicht differenzierbar sein. Ein Beispiel hierfürist die Betragsfunktion x ↦→ |x|; diese ist überall stetig, aber im Nullpunkt nicht differenzierbar.Weierstraß hat eine stetige Funktion f : R → R angegeben, die in keinem Punkt differenzierbarist!Sind f ,g : I ⊆ R → R differenzierbare Funktionen, dann sind f + g und f g differenzierbarund für die Ableitungen gelten folgende Rechenregeln:Linearität ( f + g) ′ = f ′ + g ′ und (α f ) ′ = α f ′ wenn α ∈ R.Beispiel: (3x 2 + e x ) ′ = 3(x 2 ) ′ + (sinx) ′ = 6x + cosx.Produktregel ( f g) ′ = f ′ g + f g ′ . Beispiel: (x 2 sinx) ′ = 2xsinx + x 2 cosx.37