Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Was versteht man unter einer Potenz a x zu einer Basis a? Für x = 2 und andere ganze Zahlenx ist dies klar. Aber was ist etwa π π ? Potenzen zu allgemeinen Basen a > 0 werden über die(reelle) Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus definiert:Es geltena x := exp(xlna) = ∑ ∞ k=01k! (xlna)k .a 0 = 1, a 1 = a, a x+y = a x a y .Für n ∈ N ist a n dann das n-fache Produkt von a mit sich selbst. Im Beispiel7 2 =∞∑k=01k! (2ln7)kwird man den Wert 49 nicht über die Sumation der Reihe bestimmen wollen. Im Falleπ π =∞∑k=01(π lnπ)kk!muss aber die Reihe verwenden.Logarithmus zu einer Basis a > 0 ist definiert durchy = log a x ⇐⇒ x = a y .Die Logarithmusfunktionen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur durch einen Faktor,z.B. giltlog a x = lnxlna .15 Grundlagen der DifferentialrechnungDas Differenzieren von Funktionen wird benutzt, um Bewegungen in der Mechanik, Veränderungenelektromagnetischer Felder, Steigungen von Tangenten u.v.A.m. zu beschreiben.Liegt ein Weg-Zeit-Gesetz s = s(t) einer eindimensionalen Bewegung vor, dann ist ∆s :=s(t) − s(t 0 ) die in der Zeitspanne ∆t := t −t 0 zurückgelegte Wegstrecke. Den Quotienten ∆s/∆tversteht man als eine Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunktt 0 definiert man als folgenden Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeiten:∆sv(t 0 ) := limt→t0 ∆t = lim s(t) − s(t 0 ).t→t 0 t −t 015.1 Definition. Eine Funktion f : I → R auf einem Intervall I ⊆ R heißt differenzierbar inx 0 ∈ I, wenn der Grenzwertf ′ f (x) − f (x 0 )(x 0 ) := limx→x0 x − x 0existiert. Man nennt dann den Grenzwert f ′ (x 0 ) die Ableitung von f bei x 0 . Ist f in jedem Punktvon I differenzierbar, dann heißt f differenzierbar in I. In diesem Fall definieren die Ableitungeneine Funktion f ′ : I → R, die Ableitung von f .36