Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Die links stehende Grenzwert ist ≤ 0, denn f (a k ) ≤ 0 nach Konstruktion. Entsprechend folgt,dass der rechts stehende Grenzwert ≥ 0 ist. Folglich ist f (x 0 ) = 0, womit die Existenz einerNullstelle bewiesen ist.Das obige Verfahren zur Nullstellensuche ist auf einem Rechner durchführbar; es konvergiertsicher, ist aber vergleichsweise langsam. Effizientere Verfahren sind das Sekantenverfahren unddas Newton’sche Verfahren.Summen, Produkte und Verkettungen stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig. Dies gilt auchfür Quotienten, wenn der Nenner nullstellenfrei ist.Beispiele stetiger Funktionen sind f (x) = 4x 3 exp(3xsin 2 (x))) auf R und der Cotangens cotx =cosx/sinx auf R \ πZ.Die Quadratwurzelfunktion [0,∞[→ [0,∞[, x ↦→ √ x ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion[0,∞[→ [0,∞[, x ↦→ x 2 . Letztere ist stetig; Erstere auch? — Ja, denn es gilt:13.5 Satz (Stetigkeit der Umkehrfunktion). Sei I ⊆ R ein Intervall. Sei f : I → R stetig undstreng monoton. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : J → I stetig. Hier ist J das Intervall f (I).Weitere Beispiele stetiger Umkehrfunktionen: Arcuscosinus, Arcustangens, Logarithmus (nächstesKapitel).Grenzwerte einer Funktion f bei einer Stelle a; Definitionen vonlim f (x),x→alim f (x),x↑alim f (x).x↓aBeispiel: Aus sinx ≤ x ≤ tanx für x > 0 folgt nach Umstellung mit der Stetigkeit des Cosinusund mit dem Einschließungskriterium:sinxlim = 1.x↓0 xEs ist zweckmäßig auch ∞ und −∞ als Grenzwerte zuzulassen. Dies führt auf die Definitionuneigentlicher Grenzwerte. Man hat dann beispielsweiselimn→∞ n2 = ∞,1limx↑0 x = −∞,lim exp(x) = 0.x↓−∞14 Logarithmus. Allgemeine PotenzenDie reelle e-Funktion bildet R bijektiv auf die positive Halbachse ]0,∞[ ab. Die Umkehrfunktionist stetig, sie heißt natürlicher Logarithmus:Eigenschaften:Zahlenbeispiele:ln :]0,∞[→ R, y = lnx ⇐⇒ x = e y .ln1 = 0, lne = 1, ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x n ) = nln(x).35