Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

13.2 Beispiele. Die folgenden Funktionen sind nicht stetig.(i) Die Heaviside’sche Sprungfunktion H : R → R,{1, wenn x ≥ 0,H(x) =0, wenn x < 0ist (im Nullpunkt) nicht stetig, dennlim H(−1/n) = 0 ≠ 1 = H(0) = lim H(1/n).n→∞ n→∞(ii) Die Stufenfunktion x ↦→ [x], wobei [x] die größte ganze Zahl ≤ x ist, ist in Z unstetig.(iii) Die Funktion f : R → R mit f (x) = sin(1/x) für x ≠ 0 und f (0) = 0 ist im Nullpunktunstetig.13.3 Satz (Nullstellensatz). Eine stetige Funktion f : [a,b] → R, die ihr Vorzeichen wechselt,hat (mindestens) eine Nullstelle in [a,b].Ein (strikter) Vorzeichen wechsel liegt vor, wenn f (a) f (b) < 0 gilt. Für unstetige Funktionenmuss die Aussage des Satzes nicht gelten. I.W. äquivalent zu dem Nullstellensatz ist derZwischenwertsatz.13.4 Satz (Zwischenwertsatz). Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R stetig. Dann ist J := f (I)ein Intervall.Um die Aussage des Zwischenwertsatzes besser zu verstehen, beweisen wir ihn unter Voraussetzungdes Nullstellensatzes. Seien y 1 ,y 2 ∈ J, y j = f (x j ), und y 0 ∈ R mit y 1 < y 0 < y 2 gegeben.Es ist zu zeigen, dass es ein x 0 ∈ I mit y 0 = f (x 0 ) gibt, d.h., dass y 0 der Wert von f an einer Zwischenstelleist. Sei [a,b] das Intervall mit den Endpunkten x 1 und x 2 . Die Funktion g : [a,b] → R,g(x) = f (x)−y 0 ist stetig, da f stetig ist. Sie wechselt ihr Vorzeichen im Intervall, hat daher eineNullstelle x 0 . Für diese gilt f (x 0 ) = y 0 .Den Nullstellensatz beweist man wie folgt mit dem sogenannten Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung).Es wird eine Intervallschachtelung[a,b] =: [a 0 ,b 0 ] ⊇ [a 1 ,b 1 ] ⊇ [a 2 ,b 2 ] ⊇ ...gefunden derart, dass in jedem Intervall ein Vorzeichenwechsel vorliegt und dass sich die Intervalllängehalbiert. Genauer: Wir nehmen an, dass f (a k ) ≤ 0 ≤ f (b k ) gilt. Dann betrachten wirden Funktionswert im Mittelpunkt m = (a k + b k )/2. Ist f (m) < 0, dann setzen wir a k+1 = mund b k+1 = b k ; anderenfalls setzen wir a k+1 = a k und b k+1 = m. Die Folge (a k ) k ist monotonwachsend und beschränkt; sie konvergiert also gegen eine Zahl α = lim k→∞ a k . Die Folge (b k ) kist monoton fallend und beschränkt; sie konvergiert also gegen eine Zahl β = lim k→∞ a k . Wegen0 ≤ b k+1 − a k+1 = 1 2 (b k − a k ) = ... = 2 −k−1 (b − a)gilt lim k→∞ (b k − a k ) = 0, also x 0 := α = β. Da f in x 0 stetig ist, giltlim k→∞ f (a k ) = f (x 0 ) = lim k→∞ f (b k ).34