Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Abbildung 2: Sinus und Teilsummen der Sinusreihe13 Stetigkeit. FunktionengrenzwerteExistiert der Grenzwertg := lim n→∞ sin(e n√ 13 ) = ...?Wir wissen, das limn√n→∞ 13 = 1 gilt. Können wir schließen, dass der obige Grenzwert existiertund durch Einsetzen gewonnen wird? — Ja, denn die Funktion x ↦→ sin(e x )) ist stetig, und dahergilt g = sin(e 1 ) = sine.Sei f : D → C eine Funktion mit Definitionsbereich D ⊆ C. Ist z ∈ D, dann heißt f stetig in z,wenn für jede Folge (z j ) j in D, die gegen z konvergiert, auch die Bildfolge ( f (z j )) j gegen f (z)konvergiert, kurz:z = lim z j =⇒ f (z) = lim f (z j )j→∞ j→∞oder noch kürzer:f (limj→∞z j ) = limj→∞f (z j ).Man sagt, dass f stetig ist, wenn f in jedem Punkt seines Definitionsbereiches D stetig ist.13.1 Beispiele. Die folgenden Funktionen sind stetig.(i) Die Exponentialfunktion exp : C → C, z ↦→ e z . Es genügt, die Stetigkeit im Nullpunkt zuzeigen, und diese folgt aus der für |z| ≤ 1 gültigen Ungleichung |e z − 1| ≤ e|z|.(ii) Die reelle Exponentialfunktion R → R, x ↦→ e x .(iii) Sinus und Cosinus.(iv) Polynomfunktionen, z.B. f (x) = 2x 5 − 5x 2 + 1.(v) Die Betragsfunktion z ↦→ |z|.(vi) Die Real- und Imaginärteilfunktionen Re,Im : C → R.33