Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Die Einschränkung der Exponentialfunktion auf die imaginäre Achse durchläuft die Einheitskreisliniegegen den Uhrzeigersinn. Auf Euler geht die Einsicht zurück, dass folgender Zusammenhangzwischen der e-Funktion und dem Sinus und Cosinus besteht:d.h. cos(t) ist der Realteil und sin(t) der Imaginärteil von e jt :e jt = cos(t) + j sin(t), t ∈ R, (8)cost = Ree jt = 1 2(e jt + e − jt) ,sint = Ime jt = 1 2 j(e jt − e − jt) .Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus sind äquivalent zu der kompakteren Formel e j(s+t) =e js e jt . Die komplexe Exponentialfunktion kann also allein durch die reelle Exponentialfunktionund die trigonometrischen Funktionen ausgedrückt werden:exp(z) = e x( cos(y) + j sin(y) ) ,z = x + jy.Die Polardarstellung einer komplexen Zahl z mit Radius r = |z| > 0 und Winkel ϕ hat folgendekompakte Form: z = re jϕ . Hervorzuheben sind folgende Werte:e 2π j = 1, e π j = −1, e π j/2 = j.Produkte, Potenzen und Wurzeln sind bei Verwendung der Polardarstellung bequem angebbar.12.2 Beispiel.(1 + j) 14 (1 + √ 3 j) 7 = (√ 2e π j/4) 14(2eπ j/3 ) 7 = 2 14 e π j(7/2+7/3) = −2 14 5π j/6eKomplexe Rechnung ist nützlich bei der Behandlung von Überlagerungen von Schwingungen:12.3 Beispiel. Eine Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen kann so aussehen:A 1 cos(ωt + α 1 ) + A 1 cos(ωt + α 1 ) = Acos(ωt + α),wobei die Amplituden und die Phasen reelle Zahlen sind. Zweckmäßig ist es, zuerst mit derkomplexen Darstellung zu rechnen:A 1 e j(ωt+α 1) + A 2 e j(ωt+α 2) = (A 1 e jα 1+ A 2 e jα 2)e jωt = Ae jα e jωt = Ae j(ωt+α) .Durch Übergang zu Realteilen gewinnt anschließend die Darstellung über den Cosinus.Nimmt man den Real- und den Imaginärteil der Exponentialreihe für exp( jt), dann erhält manReihendarstellungen für den Cosinus und den Sinus:cost = ∑ ∞ k=0 (−1)kt2k(2k)! , sint = ∑ ∞ t 2k+1k=0 (−1)k (2k + 1)! .Die ersten Glieder der Sinusreihe sindsint = t −t 3 /3 +t 5 /5! −t 7 /7! ± ...Abbildung 2 zeigt die Sinusfunktion und einige Teilsummen s 2n+1 (t) = ∑ n k=0 (−1)kSinusreihe.t2k+1(2k+1)! der32