Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Wir beweisen (7). Mit dem (wegen absoluter Konvergenz anwendbaren!) Cauchy-Produkt undmit dem Binomialtheorem haben wir:(exp(z)exp(w) = ∑ ∞ z k )(k=0 k!∑ ∞ w k ) (=k=0 k!∑ ∞ n=0 ∑ n z k w n−k )k=0 k! (n − k)!( )= ∑ ∞ 1 nn=0 n! ∑n z k w n−k =k=0 k∑ ∞ 1n=0 n! (z + w)n = exp(z + w).Die Exponentialfunktion hat nie den Wert 0, denn wegen exp(z)exp(−z) = exp(0) = 1 gilt:exp(z) ≠ 0,(exp(z)) −1 = exp(−z).Ist z reell, dann ist z = ¯z und aus der letzten Aussage des Satzes folgt, dass auch exp(z) reell ist.Wir erhalten die reelle ExponentialfunktionR → R,x ↦→ exp(x) = ∑ ∞ k=0 xk /k!.Für x > 0 sind alle Reihenglieder positiv, daher gilt exp(x) > 1 + x > 1 falls x > 0 ist. Wegenexp(x) = 1/exp(−x) folgt, dass die reelle Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt. DieEuler’sche Zahl ist wie folgt gegeben:e := exp(1) = ∑ ∞ 1/k! = 2,71828...k=0Aus (7) ergibt sich e n = exp(n) für n ∈ Z und m√ e = exp(1/m) für m ∈ N. Dies rechtfertigt die beider reellen Exponentialfunktion übliche Potenzschreibweise e x := exp(x) mit den Eigenschaftene 0 = 1 und e x+y = e x e y . Wenn x keine rationale Zahl ist, also kein Bruch ganzer Zahlen, dann iste x nur als Grenzwert der Exponentialreihe zu verstehen.Beispiel: e√2= exp( √ 2) = 1 + √ 2 + ( √ 2) 2 /2! + ...Die reelle Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend, d.h. es giltx < y =⇒ e x < e y ,denn e y = e x e y−x und e y−x > 1 weil y − x > 0.Die reelle Exponentialfunktion beschreibt Wachstums- und Abklingvorgänge. Beispiel: DerLadestrom eines Kondensators C bei Aufladung über einen Ohm’schen Widerstand R mit konstanterLadespannung U ist i(t) = Ie −t/τ , wobei I = U/R und τ = RC. Man nennt τ die Zeitkonstante.Zum Zeitpunkt t = 6τ beträgt der Ladestrom nur noch etwa 0,25% des Ladestromsi(0) = I zu Beginn der Aufladung, denn i(6τ) = Ie −6 = 0,0025I.Wichtig ist auch folgende Darstellung:e x = lim n→∞(1 + x n) n.Wir benutzen auch für komplexes Argument die Potenzschreibweise, also e z = exp(z) fürz ∈ C. Welche Bedeutung hat die Exponentialfunktion für nichtreelles Argument? Für rein imaginäreArgumente gilt(ejt ) −1 = e− jt = e jt , |e jt | = 1, wenn t ∈ R.31