Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

11.10 Satz (Leibniz’sches Konvergenzkriterium). Sei (a k ) k eine monoton fallende Nullfolge mita k ≥ 0 für alle k. Dann konvergiert die alternierende Reihe ∑ k (−1) k a k .Der Beweis beruht auf folgender Beobachtung über die Teilsummen:s 2n−1 ≤ s 2n+1 ≤ s 2n+2 ≤ s 2n .Die monotonen Teilfolgen (s 2n ) n und (s 2n−1 ) n sind beschränkt und konvergieren. Da (a k ) k eineNullfolge ist haben sie denselben Grenzwert s; dieser ist die Summe der Reihe. Man erhältfolgende nützliche Abschätzung für den Fehler, den man begeht, wenn man die Summe s durcheine Teilsumme ersetzt:s 2n−1 ≤ s ≤ s 2n .Beispiel: ∑ ∞ k=1 (−1)k /k konvergiert. Die Konvergenz ist nicht absolut, denn die harmonischeReihe ∑ ∞ k=1 1/k divergiert.Die Rechengesetze für Folgen überträgt man sinngemäß auf Reihen, z.B.∑ k(a k + b k ) = ( ∑ ka k)+(∑k a k), ∑ kca k = c∑ ka k .Das Produkt zweier Reihen kann allerdings nicht einfach durch komponentenweise Multiplikationgebildet werden. Dies macht man sich etwa wie folgt klar:(a 0 +a 1 + a 2 + ...)(b 0 + b 1 + b 2 + ...)= a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) + ...11.11 Satz (Cauchyprodukt von Reihen). Seien ∑ ∞ k=0 a k und ∑ ∞ k=0 b k absolut konvergente Reihen.Setzec n = ∑ n k=0 a kb n−k .Dann ist ∑ ∞ k=0 c k absolut konvergent mit Summe∑ ∞ k=0 c k = ( ∑ ∞ k=0 a k)( ∞∑ k=0 b )k .Man beachte, dass hier die absolute Konvergenz der Reihen vorausgesetzt wird.Beispiel: ∑ ∞ k=0 (k + 1)zk = ( ∑ ∞ k=0 zk) 2 = (1 − z) −2 , wenn |z| < 1.12 Die ExponentialreiheDie Exponentialreihe ∑ ∞ k=0 zk /k! ist eine der wichtgsten Reihen. Sie definiert nicht nur die Exponentialfunktion,sondern auch die trigonometrischen Funktionen. Mit dem Quotientenkriteriumsieht man ein, dass diese Reihe für jedes z ∈ C absolut konvergiert.12.1 Satz (über die komplexe Exponentialfunktion). Die komplexe Exponentialfunktionerfüllt exp(0) = 1 und das AdditionsheoremAußerdem gilt exp(¯z) = exp(z).exp : C → C, exp(z) := ∑ ∞ k=0z kk! ,exp(z + w) = exp(z)exp(w) für z,w ∈ C. (7)30