Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Viele Rechnungen sind in den komplexen Zahlen einfacher auszuführen als in den reellenZahlen. Die Menge C der komplexen Zahlen enthält R und eine Zahl j mit der Eigenschaftj 2 = −1. Nach dem oben Gesagten ist klar, dass j nicht reell ist. Man nennt j die imaginäreEinheit in C. (Nicht-Elektrotechniker schreiben i statt j.) Jede komplexe Zahl z ∈ C besitzt eineeindeutige (Normal-)Darstellungz = x + y · j mit x,y ∈ R.Die durch z bestimmten reellen Zahlen Rez := x und Imz := y heißen Real- bzw. Imaginärteilvon z. Die reellen Zahlen fasst man als Teilmenge der komplexen Zahlen auf:R = {z ∈ C ∣ ∣ Imz = 0}.Man addiert und multipliziert komplexe Zahlen mit Normaldarstellungen z = x + y · j und w =u + v · j wie folgt:z + w = (x + u) + (y + v) · j,z · w = (x · u − y · v) + (x · v + y · u) · j.Für reelle Zahlen stimmt dies mit den üblichen Rechenoperationen überein.Trotz ihrer Verschiedenheit haben Q, R und C eine wichtige Gemeinsamkeit: Sie sind Körper.Ein Körper besteht aus einer Menge K, welche Elemente 0,1 ∈ K enthält mit 0 ≠ 1, auf der eineAddition und eine Multiplikation definiert sind: Für a,b ∈ K sind a+b ∈ K und a·b ∈ K. Hierfürgelten Die Körperaxiome besagen, dass für a,b,c ∈ K gelten:Assoziativität a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c.Kommutativität a + b = b + a, a · b = b · a.Distributivität a · (b + c) = a · b + a · c.Neutrale Elemente a + 0 = a, a · 1 = a.Inverse a + x = 0 und, falls a ≠ 0, a · x = 1 sind jeweils eindeutig lösbar.Das Negative (−a) und den Kehrwert 1 a = a−1 (falls a ≠ 0) definiert man als die eindeutigbestimmten Zahlen mit a+(−a) = 0, a·(a −1 ) = 1. Die Körperaxiome beziehen sich nur auf dieAddition und Multiplikation. Subtraktion und Division werden wie folgt definiert:a − b := a + (−b),ab := a · (b−1 ) wenn b ≠ 0.Wir prüfen nur die Existenz des Kehrwertes (multiplikative Inverse) 1 z = z−1 einer komplexenZahl z = x + y · j ≠ 0 nach. Dazu multiplizieren wir z mit ihrer konjugiert-komplexen Zahl ¯z =x − y · j und erhalten eine positive reelle Zahl:Folglich hat z einen Kehrwert1z =z · ¯z = x 2 + y 2 > 0.¯zz · ¯z =xx 2 + y 2 +−yx 2 + y 2 · j,3