Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

11.5 Satz (Cauchykriterium für Reihen). Eine Reihe ∑ k a k konvergiert genau dann, wenn gilt:∀ε > 0 ∃N ∀N ≤ m < n : |∑ n k=m a k| < εDer Nutzen dieses Satzes liegt weniger in seiner Anwendung auf konkrete Reihen als in denaus ihm folgenden praktischen Konvergenzkriterien.11.1 Folgerung. Ist eine Reihe konvergent, dann ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge.Also: Ist ∑ k a k konvergent, dann gilt lim k→∞ a k = 0.Die Reihe ∑ ∞ k=0 (−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 ± ... ist divergent.Aber: Wenn die Reihenglieder eine Nullfolge ist, muss die Reihe nicht konvergieren; diessieht man am Beispiel der harmonischen Reihe.11.6 Satz. Ist für eine Folge (a k ) k die Reihe ∑ k |a k | konvergent, dann konvergiert auch die Reihe∑ k a k .Eine Reihe ∑ k a k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑ k |a k | konvergiert. Der vorstehendeSatz kann nun so formuliert werden: Absolut konvergente Reihen sind (insbesondere)konvergent.11.7 Satz (Majorantenkriterium). Gilt |a k | ≤ b k für alle k und ist ∑ k b k konvergent, dann ist ∑ k a kabsolut konvergent.Beispiel: Die Reihe ∑ k (−1) k k −3 ist absolut konvergent, denn z.B. ist die konvergente Reihe∑ k k −2 eine Majorante.Das Majorantenkriterium mit der geometrischen Reihe als Vergleichsreihe liefert die Konvergenzaussagedes folgenden wichtigen Kriteriums. nützliche Konvergenzkriterium.11.8 Satz (Quotientenkriterium). Für eine vorgelegte Reihe seien alle Reihenglieder a k ≠ 0 undes existiere der GrenzwertL := lim k→∞∣ ∣∣∣ a k+1a k∣ ∣∣∣.Ist L < 1, dann ist die Reihe ∑ k a k absolut konvergent. Ist L > 1, dann ist die Reihe divergent. ImFalle L = 1 liefert das Kriterium keine Aussage.Beispiel: ∑ ∞ k=1 (k3 + 3k 2 )2 −k konvergiert.11.9 Satz (Wurzelkriterium). Für ein vorgelegte Reihe ∑ k a k existiere der Grenzwert√kL := lim k→∞ |ak |.Ist L < 1, dann ist die Reihe ∑ k a k absolut konvergent. Ist L > 1, dann ist die Reihe divergent. ImFalle L = 1 liefert das Kriterium keine Aussage.Beispiel: ∑ ∞ k=0 (√ k + 2 j) −k konvergiert.Das Quotienten- und das Wurzelkriterium gelten auch unter schwächeren Bedingungen, indenen die Konvergenz der Folgen (|a k+1 /a k |) k bzw. ( k √|ak |) k nicht vorausgesetzt wird.Die obigen Konvergenzkriterien betreffen absolute Konvergenz. Bei alternierenden Reihenkann (normale) Konvergenz vorliegen, ohne dass diese auch absolut ist.29