Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

11.1 Satz (über die geometrische Reihe). Die geometrische Reihe ∑ ∞ k=0 zk = 1 + z + z 2 + ...konvergiert, wenn |z| < 1 ist, und es gilt dann∑ ∞ k=0 zk = 11 − z .Beweis. Für die Teilsummen der geometrischen Reihe kennen wir bereits die geometrischeSummenformel:s n = ∑ n k=0 zk = 1 − zn+1,1 − zwenn z ≠ 1. Die geometrische Folge (z n+1 ) n ist im Falle |z| < 1 eine Nullfolge. Daraus folgt dieAussage des Satzes.Beispiel: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ··· = 2Ein weiteres Beispiel einer Reihe, für die die Summe bestimmt werden kann, ist∑ n k=11k(k + 1) = 1.Wegen 1/k(k + 1) = 1/k − 1/(k + 1) hat man als Teilsummen ∑ n k=1 k(k+1)= 1 − 1/(n + 1) (Teleskopsumme).Im Grenzübergang n → ∞ folgt die angegebene Formel für die Summe.Konvergenzkriterien für Folgen übersetzen wir in solche für Reihen.11.2 Satz (Monotoniekriterium für Reihen). Eine Reihe ∑ ∞ k=0 a k mit nichtnegativen Reihengliedern,a k ≥ 0 für alle k, ist genau dann konvergent wenn ihre Teilsummen beschränkt sind.Wegen s n+1 = s n +a n+1 ≥ s n ist die Folge (s n ) n der Teilsummen monoton wachsend. Der Satzfolgt daher aus dem Monotoniekriterium für Folgen.11.3 Beispiel. Die harmonische Reihe ∑ ∞ k=1 1/k divergiert, denn die Folge ihrer Teilsummen istunbeschränkt:1 + 1 ( 12 + 3 + 1 )+ ... ≥ 1 + 1 42 + 21 4 + 41 8 + ...11.4 Beispiel. Die Reihe ∑ ∞ k=1 1/k2 konvergiert, denn ihre Reihenglieder sind ≥ 0 und wegens n = ∑ n k=11k 2 ≤ ∑ n 2k=1 k(k + 1) ≤ 2ist die Folge der Teilsummen beschränkt. Die Bestimmung des Grenzwertes ist viel schwieriger(ehemaliges Basler Problem): Euler hat bewiesen, dass ∑ ∞ k=1 1/k2 = π 2 /6.In diesen Beispielen ist der erste Summenindex einer Reihe 1 und nicht 0. Allgemeiner definiertman in naheliegender Weise Reihen ∑ ∞ k=k 0a k . Zur Vereinfachung der Schreibweise werdenwir solch allgemeinen unendlichen Reihen kurz als ∑ k a k notierenDas Cauchy-Kriterium überträgt man unmittelbar von Folgen auf Reihen.128