Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Also erfüllt der Grenzwert die quadratische Gleichung g 2 = 2, d.h. g = √ 2. Man beachte, dassalle Folgenglieder a n rationale Zahlen sind; der Grenzwert ist eine reelle Zahl, die aber wie wirwissen nicht rational ist.Die Menge Q der rationalen Zahlen ist löchrig in dem Sinne, dass Folgen, deren Konvergenzerwartet werden muss, oft keinen rationalen Grenzwert haben. Allgemein gibt es keinen Grunddafür, weshalb ein Grenzwert als ein Bruch ganzer Zahlen darstellbar sein soll.10.4 Beispiele. Weitere Beispiele monotoner, beschränkter und damit konvergenter Folgen, derenGrenzwert nicht rational ist.(i) Die Folge ( )I 2 nn der dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen 2n -Ecke. Der Grenzwertist die Kreiszahl π.(ii) Die Folge ( (1 + 1/n) n) ist, wie man zeigen kann, monoton wachsend und beschränkt,nalso konvergent. Ihr Grenzwert ist die Euler’sche Zahl e = 2.71828...Statt des Monotoniekriteriums verwendet man oft das Supremumsaxiom, das Intervallschachtelungsprinzipoder das Cauchy-Kriterium zur Charakterisierung der Vollständigkeit.Wir formulieren nur das Cauchy-Kriterium. Dieses gilt gleichermaßen für R und für C.10.5 Definition. Eine (reelle oder komplexe) Folge (a n ) n heißt eine Cauchyfolge, wenn gilt:∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N : |a n − a m | < ε.Diese Definition sieht der Konvergenzdefinition für eine Folge sehr ähnlich. Es gibt aber einenentscheidenden Unterschied: In der Definition einer Cauchyfolge wird nicht auf einen GrenzwertBezug genommen.10.6 Satz (Cauchy’sches Konvergenzkriterium). Eine Folge (a n ) n ist genau dann konvergent,wenn sie eine Cauchyfolge ist.Anwendungen dieses Kriteriums gibt es u.A. in der Theorie unendlicher Reihen.11 Unendliche ReihenEine unendliche Reihe wird oft in folgender allgemeiner Form geschrieben: ∑ ∞ k=0 a k. Hier ist(a k ) k∈N0 eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Die „unendliche Summe“ muss als Grenzwertverstanden werden, nämlich als der Grenzwert – wenn er denn existiert – der Folge(s n ) n , s n := ∑ n k=0 a kder Partial- oder Teilsummen. Die Reihe ist nichts anderes als die Folge der Teilsummen; siekonvergiert (nach Definition) genau dann, wenn diese Folge konvergiert und man setzt dann∑ ∞ k=0 a k := limn→∞s nDer Grenzwert wird auch die Summe der Reihe genannt.27