Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

dass dann auch in einem Quadrat mit der Kantenlänge m−n die Diagonalenlänge ganzzahlig ist(nämlich = 2n − m):2n − mm − n = 2n2 − mnn(m − n) = m2 − mnn(m − n) = m n .Zudem gilt 1 ≤ m − n < 2n − m. Wiederhole die Konstruktion mit n := m − n und m := 2n − m.Nach höchstens n Schritten gilt 1 = n < m. Hieraus würde aber folgen, dass √ 2 eine ganze Zahlist. Da 2 offenbar keine Quadratzahl ist, haben wir einen Widerspruch erhalten. Damit ist dieAnnahme falsch und folglich der Satz richtig.Eine reelle Folgen (a n ) n heißt monoton wachsend, wenn für alle n gilt: a n ≤ a n+1 . Mittelseiner vollständigen Induktion folgt hieraus, dass a m ≤ a n gilt, wenn m < n ist. Monoton fallendeFolgen sind entsprechend definiert. Eine Folge, die monoton wachsend oder monoton fallend istheißt monoton. Konstante Folgen sind die einzigen Folgen, die sowohl monoton wachsend alsauch fallend sind. Die Folge (1/n) n ist monoton fallend; die Folge ((−1) n ) n ist nicht monoton;beide Folgen sind beschränkt.Konvergente Folgen sind beschränkt; beschränkte Folgen konvergieren i.A. nicht. Der folgendeSatz ist äquivalent zur sogenannten Vollständigkeit von R. Die entsprechende Aussage ist fürQ falsch.10.2 Satz (Monotoniekriterium). Monotone, beschränkte reelle Zahlenfolgen konvergieren.Das Archimedische Axiom kann man als eine Folgerung aus dem Monotoniekriterium erhalten.Der Nachweis der Konvergenz einer Folge und die Bestimmung des Grenzwertes sind oft sehrverschiedene Aufgaben. Das folgende Beispiel zum Monotoniekriterium illustriert dies.10.3 Beispiel. Durch a 1 = 2 und das Rekursionsschemaa n+1 = a n2 + 1 a nwird eine Folge (a n ) n aus positiven reellen Zahlen definiert. Wir zeigen, dass diese Folge monotonfallend und beschränkt ist. Dazu zeigen wir in einer Vorüberlegung mittels vollständigerInduktion, dass a 2 n ≥ 2 für alle n gilt. Für n = 1 ist dies wahr, damit liegt ein Induktionsanfangvor. Zum Beweis des Induktionsschrittes setzen wir a 2 n ≥ 2 als richtig voraus. Folgende Rechnungzeigt, dass dann auch a 2 n+1 ≥ 2 gilt:a 2 n+1 = (a n + (a n+1 − a n )) 2 ≥ a 2 n + 2a n (a n+1 − a n ) = a 2 n + a n ( 2 a n− a n ) = 2.Die Monotonie folgt ausa n+1 = a n( 12 + 1 a 2 n)≤ a n ,wobei 1/a 2 n ≤ 1/2 benutzt wurde. Die Beschränktheit folgt aus 0 < a n ≤ a 1 = 2. Nach demMonotoniekriterium konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert g ∈ R. Es gilt(ang = lim a n+1 = limn→∞ n→∞ 2 + 1 )= g a n 2 + 1 g .26