Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Für 0 < |z| < 1 führt man Konvergenzbeweis wie folgt. Setze kurz Abkürzung x = 1/|z|−1 >0. Die Bernoulli-Ungleichung ergibt|z| −n = (1 + x) n ≥ 1 + nx ≥ nxund damit |z n − 0| ≤ 1/nx. Die Konvergenz lim n→∞ |z n − 0| = 0 folgt nun mit dem Sandwich-Kriterium.Weitere Beispiele konvergenter Folgen: (i) lim n→∞n√ c = 1 für c > 0, (ii) limn→∞n√ n = 1.Ist (a n ) n eine Folge, dann ist beispielsweise auch (a 2n 2 +1) n eine Folge. Letztere ist eine Teilfolgevon (a n ) n .9.9 Definition. Sei (a n ) n eine Folge, d.h. eine Funktion a : N → C, n ↦→ a n . Sei ν : N → N, k ↦→ n keine streng wachsende Funktion, d.h. wenn k < l ist, dann ist auch n k < n l . Die Verkettunga ◦ ν : N → C, k ↦→ a nk ist eine Teilfolge (a nk ) k von (a n ) n .9.10 Satz. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge (a n ) n konvergiert, und ihr Grenzwert istebenfalls lim n→∞ a n .Beispielsweise folgt so aus lim n→∞ 2 −n = 0 auch lim k→∞ 2 −2n2−1 = 0.Ein weiteres Beispiel (Übungsaufgabe 33): Gilt lim n→∞ a n = g, dann konvergiert auch(lim (a2n ) 2 )− 3a n+7 = g 2 − 3g.n→∞9.2 Folgerung. Besitzt eine Folge zwei konvergente Teilfolgen, deren Grenzwerte verschiedensind, dann ist die Folge divergent.Beispiel: Die Divergenz der alternierenden Folge kann man damit einsehen.10 VollständigkeitBisher trat im Verlauf der Vorlesung der Unterschied zwischen R und Q nicht klar hervor. Aufdiesen Unterschied gehen wir nachfolgend ein. Die reellen Zahlen sind vollständig, die rationalenZahlen nicht. Geometrische Größen entsprechen immer reellen Zahlen; nur in Ausnahmefällensind diese auch rational. Die Länge der Diagonale in einem Einheitsquadrat ist nachPythagoras √ 2.10.1 Satz. √ 2 ist nicht rational.Der folgende Beweis ist indirekt, d.h. aus der Annahme des Gegenteils der Aussage des Satzeswird ein Widerspruch hergeleitet, und daraus schließt man, dass der Satz wahr ist. Die Argumentationdes Beweises kann mit einer elementargeometrischen Konstruktion veranschaulichtwerden.Beweis. Die Behauptung besagt, dass √ 2 kein Quotient ganzer Zahlen ist. Angenommen, dieswäre falsch. Dann gäbe es natürliche Zahlen m und n mit √ 2 = m/n. Dies bedeutet, dass in einemQuadrat mit der Kantenlänge n die Diagonale die Länge m hat. Die folgende Rechnung zeigt,25