Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Man sieht leicht ein, dass eine Folge (a n ) n∈N genau dann gegen g konvergiert, wenn die reelleFolge (|a n − g|) n∈N eine Nullfolge ist.Folgen, die nicht konvergieren, heißen divergent. Beispiele divergenter Folgen sind die Folge(n) n∈N der natürlichen Zahlen und die alternierende Folge ((−1) n ) n∈N .Eine Folge (a n ) n∈N schreiben wir auch kürzer als (a n ) n ; z.B. (3n 2 − 8n) n .Das folgende Konvergenzkriterium wird auch Sandwich-Kriterium genannt.9.4 Satz (Einschließungskriterium). Seien (a n ) n , (b n ) n und (c n ) n reelle Zahlenfolgen, für die gilta n ≤ b n ≤ c n(∀n ∈ N).Sind die einschließenden Folgen konvergent gegen denselben Grenzwert, lim n→∞ a n = g = lim n→∞ c n ,dann konvergiert auch die eingeschlossene Folge: lim n→∞ b n = g.Beispiel: Aus −1/n ≤ (−1) n n −2 ≤ 1/n folgt, dass lim n→∞ (−1) n n −2 = 0 gilt.Eine Folge (a n ) n heißt beschränkt, wenn es eine Schranke S ≥ 0 gibt, sodass |a n | ≤ S für allen ∈ N gilt.9.5 Satz. Konvergente Folgen sind beschränkt.9.1 Folgerung. Unbeschränkte Folgen sind divergent.Das Archimedische Axiom besagt, dass die Folge der natürlichen Zahlen unbeschränkt ist;hieraus ersieht man, dass diese Foleg divergiert.In einfachen Fällen sind die folgenden Rechengesetze anwendbar und ermöglichen eine Grenzwertbestimmung.9.6 Satz. Seien (a n ) n und (b n ) n konvergente Folgen mit Grenzwerten a bzw. b. Dann geltenlim (a n ± b n ) = a ± b,n→∞lim (a n b n ) = ab.n→∞Sind zusätzlich b ≠ 0 und alle b n ≠ 0, dann gilt auch lim n→∞ a n /b n = a/b.Im Beweis des Satzes muss man auf die Konvergenzdefinition zurückgreifen.9.7 Beispiel. Die durch a n = 4n3 − 66n 3 + 2n 2 gegebene Folge (a n) n ist auf Konvergenz zu untersuchen.Um den obigen Satz anwenden zu können wird der Ausdruck für a n zuerst durch einegeeignete Erweiterung des Bruches vereinfacht:Die Folge konvergiert also gegen 2/3.a n = 4n3 − 66n 3 + 2n 2 = 4 − 6n−36 + 2/n → 4n→∞ 6 = 2 3 .Dass die Folge (2 −n ) n eine Nullfolge ist, kann mit dem Sandwich-Kriterium einsehen. DieseFolge ein Beispiel einer geometrischen Folge.9.8 Satz. Die geometrische Folge (z n ) n ist für |z| < 1 konvergent und für |z| > 1 divergent.24