Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Lässt man die Anzahl der Folgenglieder gegen Unendlich gehen, dann nähern sich ihre Werteder Zahl 0 an; die Folge konvergiert gegen Null.Wir wollen den Begriff einer Zahlenfolge und die Definition der Konvergenz präzise fassen.Man nummeriert die Glieder einer Folge durch: a 1 ,a 2 ,a 3 ,... Dabei sind die a n reelle oder komplexeZahlen. Genauer versteht man unter eine reellen Zahlenfolge eine Funktiona : N → R, n ↦→ a n .Man schreibt (a n ) n∈N oder kurz (a n ) für eine solche Folge. Die Menge a(N) der Folgengliederist keine vollständige Angabe der Folge. Entsprechend ist komplexe Zahlenfolge eine Funktiona : N → C, n ↦→ a n .9.1 Beispiele. Einige reelle und komplexe Zahlenfolgen:(i) ( )1n(harmonische Zahlenfolge)n∈N(ii) ( 2 −n) (eine geometrische Folge)n∈N(iii) ( (−1) n) (alternierende Folge)n∈N(iv) −1,1,1,1,· ist eine von der alternierenden Folge verschiedene Folge mit derselben Mengeder Folgenglieder.(v) ( j n) , also: j,−1,− j,1, j,...n∈N(vi) (I n ), wobei I n der Flächeninhalt des einem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigenn-Ecks ist.(vii) (x n ) mit x 1 = 2 und x n+1 = x n2 + 1 .x nWenn sich die Folgenglieder a n für große Indizes n einem Wert annähern, dann spricht manvon Konvergenz. Genauer definiert man:9.2 Definition. Eine (reelle oder komplexe) Zahlenfolge (a n ) n∈N heißt konvergent gegen g,wenn gilt:∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |a n − g| < ε.Man nennt dann g den Grenzwert der Folge, und man schreibt g = lim n→∞ a n . Eine Folge heißteine Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert.Die folgende „offensichtliche“ Eigenschaft der reellen Zahlen folgt nicht aus den bisher aufgeführtenAxiomen der reellen Zahlen.Archimedisches Axiom: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n mit n ≥ x.Das Archimedische Axiom wird in einigen Konvergenzbeweisen verwendet, beispielsweisefür die folgende Aussage,9.3 Satz. Es gilt lim n→∞ 1/ √ n = 0.Beweis. Sei ε > 0 vorgelegt. Nach dem Archimedischen Axiom existiert ein N ∈ N mit 0 0 beliebig ist, ist der Konvergenzbeweis erbracht.23