Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Für Koordinatenvektoren gilt:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤a x b x a y b z − b y a z⎣a y⎦ × ⎣b y⎦ = ⎣a z b x − b z a x⎦a z b z a x b y − b x a yDen Flächeninhalt F eines von zwei Vektoren −→ a und −→ b aufgespannten Parallelogrammsfindet man als Länge des Kreuzproduktes: F = | −→ a × −→ b |. Für die praktische Berechnung vonZahlenwerten ist es oft günstig, mit Koordinatenvektoren zu arbeiten: F = |a × b|.Das Vektorprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. Anders als das Skalarprodukt,welches eine Zahl ergibt, ist das Vektorprodukt ein Vektor. Das Resultat eines Vektorprodukteskann wieder Faktor eines Vektorproduktes sein. Bei mehrfachen Vektorprodukten istaber die Klammerung wesentlich, denn das Vektorprodukt ist nicht assoziativ, wie das folgendeBeispiel zeigt.8.3 Beispiel. Es kann gelten( −→ a × −→ b ) × −→ c ≠ −→ a × ( −→ b × −→ c ).Wähle dazu −→ a und −→ b mit ( −→ a × −→ b ) × −→ b ≠ −→ 0 . Setze −→ c = −→ a + −→ b . Ausfolgt die Behauptung.−→ a × (−→ b ×−→ c ) = ··· =−→ a × (−→ b ×−→ a ) = (−→ a ×−→ b ) ×−→ a ≠ (−→ a ×−→ b ) ×−→ cDie dreidimensionale Verallgemeinerung eines Parallelogramms ist ein Spat oder Parallelflach.Ein solcher wird von drei Vektoren −→ a , −→ b und −→ c aufgespannt, die nicht in einer Ebeneliegen. Die Seitenflächen sind Parallelogramme, wobei gegenüberliegende Seiten parallel undkongruent sind. Die dreidimensionale Version des Scherungssatzes zeigt, dass das Spatproduktdas (orientierte) Volumen des Spats ist:[ −→ a , −→ b , −→ c ] := ( −→ a × −→ b ) · −→ c = ±V.Die Berechung des Spatproduktes mit Koordinatenvektoren läuft auf die Berechnung der Determinanteeiner 3 × 3-Matrix hinaus:∣ a x b x c x ∣∣∣∣∣[a,b,c] =a y b y c y .∣ a z b z c z9 Konvergenz von FolgenDie ersten Glieder der Folge der Kehrwerte natürlicher Zahlen sind1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,...22