Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(ii) Gegeben seien Vektoren −→ a und −→ b in der Ebene mit den Koordinatenvektoren:[ ] [ −1 4a = , b = .2 1]Ihre Längen sind a = √ 5 und b = √ 17. Das Skalarprodukt ist −→ a · −→ b = −2. Der eingeschlosseneWinkel istϕ = arccos(−2/ √ 85) = 1.789··· ≈ 102 ◦ 32 ′ .Die Projektion des Vektors −→ a auf den Vektor −→ b ist:−→ p = b −2 ( −→ a · −→ b ) −→ b = −17−→ 2 [ ]2 4 b , p = − .17 1In welcher Hinsicht unterscheidet sich das Konzept des Vektors von dem eines Koordinatenvektors?Koordinatenvektoren beziehen sich auf ein Koordiatensystem, Vektoren dagegen nicht.Flächeninhalt des von Vektoren −→ a und −→ b aufgespannten Parallelogramms:F = F( −→ a , −→ b ) = absinϕ, ϕ = ∡( −→ a , −→ b ).Dies gilt in der Ebene und im Raum; F < 0 ist zugelassen (orientierte Flächeninhalte). Für dieAbhängigkeit des Flächeninhaltes von den Vektoren hat man z.B.:F( −→ a , −→ b ) = −F( −→ b , −→ a ), F( −→ a , −→ a ) = 0, F( −→ a , −→ b + λ −→ a ) = F( −→ a , −→ b ), ...Dreiecksflächeninhalte sind die Hälfte der entsprechenden Parallelogramminhalte.8.2 Beispiel. Welchen Flächeninhalt F ∆ hat das Dreieck mit den Ecken A = (2,4), B = (4,−1)und C = (1,1)? Die Seitenvektoren−→ a =−→ CB = 3−→ ex − 2 −→ e y ,−→ b =−→ CA = 1−→ ex + 3 −→ e yspannen ein Parallelogramm mit folgenden Flächeninhalt auf:F( −→ a , −→ b ) = 9F( −→ x , −→ y ) + 0 + 0 + (−2)F( −→ y , −→ x ) = 11.Folglich ist F ∆ = 11/2.Das Vektor- oder Kreuzprodukt zweier räumlicher Vektoren −→ a und −→ b ist der Vektor−→ −→ a × b = |F(−→ −→ a , b )|−→ e ,wobei −→ e der Einheitsvektor ist, der senkrecht auf dem von −→ a und −→ b aufgespannten Parallelogrammsteht und mit diesen Vektoren ein Rechtssystem ( −→ a , −→ b , −→ e ) bildet. Man kann folgendeRechenregeln und Formeln beweisen:−→ b ×−→ a = −−→ a ×−→ b ,−→ a × (−→ b +−→ c ) =−→ a ×−→ b +−→ a ×−→ c , ...21