Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Es gelten die Ungleichungen| −→ a · −→ b | ≤ | −→ a || −→ b | (Cauchy-Schwarz-Ungleichung),| −→ a + −→ b | ≤ | −→ a | + | −→ b | (Dreiecksungleichung).Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung korrespondiert mit der Ungleichung −1 ≤ cost ≤ 1. DieDreicksungleichung leitet man mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung her.Ist −→ b ≠ −→ 0 , dann ist die Länge b > 0. Wir nennen den Einheitsvektor −→ e b = 1 b−→ b den Einheitsvektorin Richtung von −→ b . Die senkrechte Projektion eines Vektors −→ a auf die durch einenVektor −→ b ≠ −→ 0 ist der Vektor ( −→ a · −→ e b ) −→ e b = b −2 ( −→ a · −→ b ) −→ b .Für das praktische Rechnen mit Vektoren ist die Festlegung eines rechtwinkligen Koordinatensystemspraktisch. Im dreidimensionalen Raum legt man ein xyz-Koordinatensystem festdurch Angabe von paarweise zueinander senkrechten Einheitsvektoren −→ e x , −→ e y und −→ e z , die inRichtung der entsprechenden Koordinatenachsen zeigen. Es wird angenommen, dass das Koordinatensystemgemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert ist. Jeder Vektor −→ a kann mit eindeutigbestimmten Koeffizienten als eine sogenannte Linearkombination der Einheitsvektoren dargestelltwerden:−→ a = ax−→ ex + a y−→ ey + a z−→ ez .Die Koeffizienten fasst man zum Koordinatenvektor zusammen:⎡ ⎤a xa = ⎣a y⎦ ∈ R 3a zKoordinatenvektoren addiert man komponentenweise. Man multipliziert mit Zahlen (Skalaren),indem man die Komponenten mit den Skalaren multipliziert. Dann entspricht beispielsweisedem Vektor −→ c = λ −→ a + −→ b der Koordinatenvektor c = λa + b. Das Skalarprodukt kann überdie Koordinaten berechnet werden:−→ a · −→ b = a · b := ax b x + a y b y + a z b z .Insbesondere erhält man a x = a · e x = −→ a · −→ e x usw. für die Komponenten. Ausgehend von derFormela · b = abcos(ϕ), ϕ = ∡( −→ a , −→ b )(bestimmt man den eingeschlossenen Winkel: ϕ = arccos8.1 Beispiele. Berechnung von Skalarprodukten, Längen, Winkeln und senkrechten Projektionen.(i) Winkel ϕ zwischen der Raumdiagonale −→ d und der x-Achse:⎡ ⎤ ⎡ ⎤cosϕ = 1 1 1d d · e x, d = ⎣1⎦, e x = ⎣0⎦1 0Wegen d = √ 3 ist ϕ = arccos(1/ √ 3) = 0.95532 = 54.73 ◦ .a·bab).20