Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

16 Der Mittelwertsatz und Folgerungen 3917 Extremwertaufgaben 4118 Das bestimmte Integral 4219 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 4520 Integrationsmethoden 4621 Die Taylorformel 5022 Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen 5223 Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 551 Reelle und komplexe ZahlenDas Zählen führt auf die Menge N = {1,2,3,...} der natürlichen Zahlen, das Subtrahieren aufdie Menge Z der ganzen Zahlen, und das Dividieren auf die Menge der rationalen Zahlen:Q = { p∣ p,q ∈ Z, q ≠ 0 } .qEs gelten die bekannten Gesetze des Bruchrechnens (Kürzen, Erweitern, auf den Hauptnennerbringen), z.B.− 3 4 = −34 , 24−36 = −2 3 , 23 · 74 = 7 6 , 12 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6 .Mit Ausnahme der Division durch Null sind alle Grundrechenarten in Q uneingeschränkt ausführbar.Geometrische Größen wie Steigungen von Graphen, Längen von Kurven oder Inhalte von Flächenentstehen meist durch Grenzwertprozesse. Diese Größen sind immer reelle Zahlen, welchejedoch oft irrational sind, d.h. sie sind keine Brüche ganzer Zahlen. Beispiele für irrationaleZahlen sind die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats und die Kreiszahl π:√2,π ∈ R \ Q := {x ∈ R∣ ∣ x ∉ Q}.Hier haben wir das Symbol R für die Menge der reellen Zahlen verwendet und die Notationfür eine Mengendifferenz. Die reellen Zahlen veranschaulicht man als Zahlengerade. DieseVeranschaulichung spiegelt die Anordnung R wieder; a < b bedeutet, dass a links von b liegt.Das Quadrat einer positiven Zahl ist immer positiv. Für reelles a ≠ 0 ist entweder a oder −apositiv. Folglich ist das Quadrat a 2 = (−a) 2 jeder von Null verschiedenen reellen Zahl a stetspositiv. Man kann zeigen, dass aus jeder positiven reellen Zahl x > 0 eine (eindeutige) positiveQuadratwurzel y := √ x > 0 gezogen werden kann; es gilt dann x = y 2 . Andererseits ergibt sichaus dem Gesagten, dass es keine reelle Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gibt.2