Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

In günstigen Situationen kann man mittels Additionstheoremen und Arcusfunktionen sogenanntegoniometrische Gleichungen auflösen. Ein Beispiel hierfür: Die Gleichungsin(x + π/6) + cos(x + π/4) = 0sei zu lösen. Mit den Additionstheoremen und der Kenntnis der Werte von sin und cos an denStellen π/6 und π/4 folgt, dass diese Gleichung gleichwertig ist zu√32 sinx + 1 √22 cosx + (cosx − sinx) = 0.2Nullstellen des Cosinus sind keine Lösungen. Nach Division durch cosx ist die Gleichunggleichwertig mit( √ 3 − √ 2)tanx + (1 + √ 2) = 0.Die Lösungen sind( √ ) 1 + 2x = −arctan √ √ + kπ, k ∈ Z.3 − 28 VektorrechnungPhysikalische Größen wie Kraft oder elektrische Feldstärke werden mathematisch durch Vektorenbeschrieben. Vektoren −→ a haben eine Richtung und eine Länge a = | −→ a |. Vektoren sind in derRegel frei, d.h. beliebig verschiebbar. Mit −→ PQ bezeichnet man den Vektor mit Anfangspunkt Pund Endpunkt Q. Spezielle Vektoren: Nullvektor −→ 0 , Einheitsvektor, inverser Vektor − −→ a zu −→ a .Vektoren können addiert und mit Skalaren multipliziert werden; Rechenregeln: Kommutativ-,Assoziativ- und Distributivgesetz.Geschlossene Streckenzüge entsprechen Gleichungen −→ a 1 + ··· + −→ a n = −→ 0 . Beispielsweise giltfür die Seitenvektoren eines Dreieckes die Gleichung −→ a + −→ b + −→ c = −→ 0 . Die Addition komplexerZahlen entspricht der Addition von Vektoren in der Ebene.Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren −→ a und −→ b schließen einen Winkel ∡( −→ a , −→ b ) ∈ Rein. Es gelten:∡( −→ b , −→ a ) = −∡( −→ a , −→ b ), ∡(λ −→ a , µ −→ b ) = ∡( −→ a , −→ b ),für λ,µ > 0. Vektoren heißen kollinear oder parallel, wenn der eingeschlossene Winkel Nullist. Sie stehen senkrecht aufeinander (sind zueinander orthogonal), wenn der Cosinus des eingeschlossenenWinkels Null ist.Die reelle Zahl−→ a · −→ b := abcosϕ, ϕ = ∡(−→ a ,−→ b )heißt Skalarprodukt der Vektoren −→ a und −→ b . Vektoren sind genau dann zueinander orthogonal,wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Für das Rechnen mit dem Skalarprodukt gelten Kommutativ-,Assoziativ- und Distributivgesetze. Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus dem Skalarproduktdes Vektors mit sich:a = | −→ a | = √ −→ a · −→ a .19