Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Beispiel: −1 = cosπ + j sinπ hat die Quadratwurzeln j = cos(π/2) + j sin(π/2) und − j =cos(3π/2) + j sin(3π/2). Eine n-te Wurzel aus w ist n √ ρ(cos(s/n) + j sin(s/n)). Die n-ten Wurzelnaus der Zahl 1 heißen n-te Einheitswurzeln; sie bilden die Ecken des regelmäßigen n-Ecks,dessen Ecken auf der Einheitskreislinie liegen und welches 1 als eine Ecke besitzt.Wir befassen uns mit weiteren Eigenschaften der Sinus- und der Cosinusfunktion. Aus sin2π =0 und cos2π = 1 folgt mit den Additionstheoremen, dass Sinus und Cosinus 2π-periodischeFunktionen sind. Nützliche Spezialfälle der Additionstheoreme sind:sin2t = 2sint cost, cos2t = cos 2 t − sin 2 t,sin3t = 3sint − 4sin 3 t,cos3t = 4cos 3 t − 3cost.Man kann hiermit spezielle Werte des Sinus und des Cosinus berechnen, z.B. folgt aus0 = sinπ = sin(3 · (π/3)) = 3sin(π/3) − 4sin 3 (π/3)für y = sin(π/3) > 0 die Gleichung 3 = 4y 2 . Folglich ist sin(π/3) = √ 3/2. Man erhält so eine(kleine) Wertetabelle für sin und cos. Die Graphen von Sinus und Cosinus gegen auseinanderdurch Verschieben umd ±π/2 entlang der x-Achse hervor.Die Funktion cos : R → R ist nicht bijektiv, besitzt daher keine Umkehrfunktion. Durch Einschränkungder Cosinusfunktion cos : [0,π] → [−1,1] erhält man jedoch eine bijektive Funktion;ihre Umkehrfunktion nennt man den Arcuscosinus: arccos = cos −1 .Weitere (Symmetrie-)Eigenschaften von sin und cos: Der Cosinus ist eine gerade Funktion,der Sinus eine ungerade, d.h. es giltcos(−x) = cos(x) und sin(−x) = −sin(x).Bei einer Verschiebung des Arguments um π = 180 ◦ wechselt das Vorzeichen:cos(x + π) = −cos(x) und sin(x + π) = −sin(x).Die Tangens- und Cotangensfunktion sind definiert durchtanx = sinxcosx ,cosxcotx =sinx ,wobei die Nullstellenmengen der Nennerfunktionen nicht zum Definitionsbereich gehören: tan :R \ N c → R und cot : R \ N s → R,tan : R \ (π/2 + πZ) → R, cot : R \ πZ → R.Der Tangens und der Cotangens sind π-periodisch. Der Tangens bildet das Intervall ]−π/2,π/2[bijektiv auf die reelle Zahlenachse ab; die Umkehrfunktionarctan := tan −1 : R →] − π/2,π/2[,y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y),heißt Arcustangens. Der Tangens und der Arcustangens sind ungerade Funktionen.18