Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

7.1 Satz (Additionstheoreme). Für alle s,t ∈ R geltencos(s +t) = cos(s)cos(t) − sin(s)sin(t),sin(s +t) = sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t).Eine Begründung des Additionstheorems für den Sinus zeigt die Abbildung 1.Abbildung 1: Additionstheorem für den SinusDie Multiplikation mit einer gegebenen komplexen Zahl w ≠ 0 ist eine Abbildung der Ebenein sich:C → C; z ↦→ wz.Hat w den Betrag 1 und das Argument s, wenn also w = coss + j sins gilt, dann ist diese Abbildungdie Drehung um den Nullpunkt mit dem Winkel s. Ist |w| > 1, dann liegt eine Drehstreckungvor; ist |w| < 1, dann liegt eine Drehstauchung vor. In der Polardarstellung ist dieMultiplikation komplexer Zahlen einfach zu beschreiben: Beträge werden multipliziert, Winkeladdiert. Für Potenzen gilt:z n = r n (cos(nt) + j sin(nt)) wenn z = r(cos(t) + j sin(t).Eine Zahl z heißt n-te Wurzel aus einer Zahl w, wenn w = z n gilt. Im Fall n = 2 spricht man vonQuadratwurzeln. Geht man von einer Polardarstellung aus, dann ist es leicht die Quadratwurzelnanzugeben: Die Quadratwurzeln aus w = ρ(coss + j sins) sindz 1 = √ ρ(cos(s/2) + j sin(s/2)),z 2 = √ ρ(cos(s/2 + π) + j sin(s/2 + π)).17