Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

7 Trigonometrische FunktionenEs geht hier vor allem um Winkel und um die Sinus- und Cosinus-Funktionen. Wir führen dieseFunktionen rein geometrisch ein. Später werden wir ihre Darstellung durch konvergente Reihenkennenlernen, auf der Berechnungsmethoden beruhen.Wir fassen die Ebene als Ebene der komplexen Zahlen z = x + y j ∈ C auf. Durch die Zahl 1ist die Längeneinheit festgelegt. Wir setzen die Formeln für die Längen gerader Strecken undvon Kreisbögen als bekannt voraus. Insbesondere benutzen wir die Kreiszahl π = 3,1415...,auf deren genaue Definition und Berechnung wir erst in späteren Kapiteln eingehen können.Sei z = x + y j ein Punkt auf der Einheitskreislinie. Wir betrachten zwei Halbstrahlen, dievom Nullpunkt ausgehen. Der erste verläuft entlang der positiven reellen Achse, der andere gehtdurch z. Die beiden Halbstrahlen schließen einen Winkel t ein. Wir fällen das Lot von z aufdie reelle Achse und erhalten ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse die Strecke von0 nach z ist. Der Cosinus und der Sinus des Winkels sind die Koordinaten von z, d.h. sein RealundImaginärteil:cost = x, sint = y, z = cost + j sint.Der Satz von Pythagoras besagt für dieses Dreieck, dasscos 2 t + sin 2 t = 1gilt, denn cos 2 t +sin 2 t = x 2 +y 2 = |z| 2 = 1. Der Cosinus und der Sinus sind (vorzeichenbehaftete)Längen. Was ist der Winkel t? – Auch eine Länge, nämlich die des aus der Einheitskreislinieausgeschittenen Kreisbogens (Bogenmaß). Der Vollwinkel hat die Länge 2π, der rechte Winkeldie Länge π/2. (Man spricht manchmal von „Einheit Radian“ obwohl hier überhaupt keine neueEinheit eingeführt wird, sondern nur die bereits festgelegte Längeneinheit.) Der Winkel wächst,wenn die Einheitskreislinie gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.Es ist üblich, Winkel in Grad anzugeben. Grade werden weiter – in babylonischer Tradition –in Bogenminuten und weiter in Bogensekunden unterteilt: 1 ◦ = 60 ′ und 1 ′ = 60 ′′ . Der Vollwinkel2π entspricht 360 ◦ . Dementsprechend hat man mit dem Umrechnungsfaktor 180/π bzw. mitseinem Kehrwert zu multiplizieren um in das Gradmaß bzw. vom Gradmaß umzurechnen.Für eine komplexe Zahl z ≠ 0 ist r = |z| > 0 sein Abstand zum Nullpunkt. Die Zahl z/r liegtauf der Einheitskreislinie. Wir finden einen Winkel t ∈ R, sodass eine sogenannte Polardarstellungfür z gilt.z = r cost + jr sint.Man nennt den Radius r und den Winkel t Polarkoordinaten von z. Der Winkel ist bis auf ganzeVielfache von 2π eindeutig bestimmt. Es ist üblich, ihn durch Bedingungen wie 0 ≤ t < 2π oder−π < t ≤ π eindeutig festzulegen. Man nennt den Winkel auch das Argument von z und schreibtarg(z) = t.Sind w = coss + j sins und z = cost + j sint komplexe Zahlen vom Betrag 1, dann liegt auchdas Produkt wz auf der Einheitskreislinie, denn |wz| = |w||z| = 1. Welchen Winkel hat wz? –Antwort: s + t, d.h. bei der Multiplikation komplexer Zahlen addieren sich die Winkel. Diesfolgt direkt aus dem Multiplikationsgesetz für komplexe Zahlen und den Additionstheoremenfür Sinus und Cosinus.16