Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(vii) Identität id : X → X, x ↦→ x.Eine Anwendung des Funktionsbegriff besteht in der Formulierung Bestimmungsgleichungen.Gegeben eine f : X → Y eine Funktion und und ein Element y ∈ Y , dann ist y = f (x)eine Bestimmungsgleichung für x ∈ X. Ihre Lösungsmenge ist {x ∈ X ∣ ∣ f (x) = y}. Man interessiertsich in diesem Zusammenhang für folgende Fragen: Gibt es mehr als eine Lösung derGleichung? Gibt es überhaupt eine Lösung? Die Fragen betreffen folgende Eigenschaften, die fbesitzt oder nicht besitzt. Die Funktion f heißt injektiv, wenn gilt:∀x 1 ,x 2 ∈ X : f (x 1 ) = f (x 2 ) =⇒ x 1 = x 2 .Eine injektive Funktion kann einen Funktionswert höchstens einmal annehmen. Die Funktion fheißt surjektiv, wenn gilt:∀y ∈ Y ∃x ∈ X : y = f (x).Anders ausgedrückt: f ist genau dann surjektiv, wenn für sein Bild f (X) = Y gilt. Eine Funktionheißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.(i) Als Funktionen R → R sind die Betragsfunktion x ↦→ |x| und die Quadratfunktion x ↦→ x 2nicht injektiv.(ii) Das kubische Polynom R → R, x ↦→ x 3 + qx ist surjektiv und genau dann injektiv, wennq ≥ 0 gilt.(iii) Auf dem Halbraum H := {z ∈ C ∣ Rez > 0} ist die Quadratfunktion f : H → C, f (z) = z2injektiv.(iv) Als Funktion R →]0,∞[ ist die Exponentialfunktion bijektiv; als Funktion R → R ist sienicht surjektiv.Bijektive Abbildungen einer Menge auf sich selbst heißen Permutationen. Wir kennen bereitsdie Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge; diese Anzahl ist n!.Verkettung g ◦ f : X → Z Liegen zwei Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z vor, derenBildbereich enthalten ist im Definitionsbereich der anderen Abbildung, dann verkettet man diesezu einer neuen Abbildung:g ◦ f : X → Z, x ↦→ g( f (x)).Die Funktionen f mit f (x) = sin(x 2 + 1) oder f (x) = cos 2 (x) := (cosx) 2 sind Beispiele fürVerkettungen.Sei f : X → Y eine Funktion. Eine Funktion g : Y → X heißt Umkehrfunktion von f , wennf ◦g = id Y und g◦ f = id X gelten. Eine Umkehrfunktion existiert genau dann, wenn f bijektiv ist.Eine Umkehrfunktion ist, wenn sie denn existiert, eindeutig bestimmt. Man schreibt allgemeinf −1 für die Umkehrfunktion von f . Es gilty = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y).Hieraus folgt für reelle Funktionen mit X,Y ⊆ R, dass man den Graphen der Umkehrfunktiondurch Spiegelung des Graphen der Funktion an der 45 ◦ -Diagonalen erhält.Die Umkehrfunktion der Quadratfunktion x ↦→ x 2 auf [0,∞[ ist die Quadratwurzelfunktiony ↦→ √ y. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus.Wir werden die gennanten Funktionen noch genauer einführen und ihre Eigenschaften studieren.15