Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Beweis. Der Induktionsschritt von n auf n + 1:( ( ) n(a + b) n+1 =k)a n−k b k · (a + b)∑ n k=0= ∑ n k=0= a n+1 +∑ n k=1= ∑ n+1k=0( nk)a n+1−k b k +∑ n+1( n + 1k( n + 1k)a n+1−k b k .j=1( nj − 1)a n+1−k b k + b n+1)a n+1− j b jIn der letzten Summe der zweiten Gleichung wurde k+1 durch j ersetzt, in der letzten Gleichungwurde (5) verwendet. Die Induktionsvorausetung wurde in der ersten Gleichung angewendet.5.1 Folgerung. Eine n-elementige Menge hat 2 n = ∑ n k=0( nk)verschiedene Teilmengen.6 FunktionenFunktionen geben Abhängigkeiten zwischen Variablen an.Seien X und Y nichtleere Mengen. Eine Funktion (oder Abbildung) von X in Y ist eine Zuordnungf : X → Y, x ↦→ f (x).Man nennt y := f (x) den (Funktions-)Wert von f bei x. Für ein gegebenes Argument x ∈ X gibtes genau einen Funktionswert. Man nennt X den Definitionsbereich, f (X) := { f (x) ∣ ∣ x ∈ X} denWerte- oder Bildbereich undG( f ) := {(x,y) ∣ ∣ x ∈ X,y = f (x)} ⊆ X ×Yden Graphen von f .Eine Zuordnungsvorschrift wie f (x) = x 2 ist erst dann eine vollständige Definition, wenn auchder Definitionsbereich festgelegt ist.Im Falle reellwertiger Funktionen f : D → R mit Definitionsbereich D ⊆ R veranschaulichtman f durch eine Skizze seines Graphen.6.1 Beispiele. Wenn der Wertebereich nicht in C enthalten ist, spricht man statt von einer Funktionoft gern von einer Abbildung.(i) Kehrwertfunktion f : D → R, f (x) = 1/x, D = R \ {0}(ii) Betragsfunktion C → R, x ↦→ |x|. Der Wertebereich ist [0,∞[.(iii) Exponentialfunktion(iv) Sinus und Cosinus(v) Der Bildbereich der Funktion f : R → R 2 , f (t) = (t 2 ,t 3 ) heißt Neill’sche Parabel.(vi) Ein elektrisches Feld in einem Raumgebiet D ⊆ R 3 wird dargestellt durch ein Vektorfeld−→ E , d.h. eine Abbildung−→ E : D ⊆ R 3 → R 3 . Der Wert von −→ E in einem Punkt aus D gibtRichtung und Stärke des Feldes in diesem Punkt als einen Vektor an.14