Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Man beweist diesen Satz mit einer vollständigen Induktion über n. Eine Vertauschung derReihenfolge der Elemente nennt man eine Permutation. (Im nächsten Abschnitt definieren wirden Begriff der Permutation präzise als Abbildung.)Die Zahlen ( nk):=n!k!(n − k)!heißen Binomialkoeffizienten. Offenbar gilt( ( )n n= .k)n − k(0 ≤ k ≤ n)Mit den Gesetzen der Bruchrechnung rechnet man nach, dass folgende Rekursionsformel gilt:( ) ( ) ( n + 1 n n= + . (5)k k − 1 k)Aus dieser Formel folgt, dass alle Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind. Man veranschaulichtdie Rekursionsformel durch das Pascal’sche Dreieck.5.2 Satz. Eine Menge mit n Elementen besitzt ( nk)verschiedene k-elementige Teilmengen.Beweisskizze. Unter der ersten k Elementen einer Permutation von N n treten alle k-elementigenTeilmengen auf. Da Permutation der ersten k Elemente und Permutation der letzten n − k Elementedie betreffende k-elementige Menge nicht ändern, tritt die Menge genau k!(n − k)!-malauf.Aus einem Alphabet mit n Buchstaben sollen Worte der Länge k gebildet werden. Eine Aufgabeder Kombinatorik besteht darin, die Anzahl der möglichen Worte zu bestimmen. Die Antwortenhängen davon ab, ob man nach der Reihenfolge der Buchstaben unterscheidet und obWiederholungen auftreten können. Wird die Reihenfolge nicht beachtet und dürfen keine Wiederholungenauftreten, dann ist dies genau die Frage nach der Anzahl der k-elementigen Teilmengeneiner n-elementigen Menge; wie eben gesehen ist diese Anzahl ( nk). Auch in anderenFällen findet man geschlossene Formeln für die Anzahlen; man beweist diese mit vollstädigerInduktion.Im Zahlenlotto „6 aus 49“ gibt es ( 496)≈ 14 · 10 6 mögliche Ausgänge einer Ziehung.Die vertraute binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ist ein Spezialfall folgender allgemeinerbinomischer Formel.5.3 Satz (Binomialtheorem). Für beliebige Zahlen a,b ∈ C und jede ganze Zahl n ≥ 0 gilt((a + b) n = ∑ n nak=0 k)n−k b k . (6)13