Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Beispiel: 1 + 2 + 2 2 + ··· + 2 10 = 2 11 − 1.Beweis. Für n = 1 besagt (4), dass 1 + z = 1−z21−z∑ n+1j=0 z j = ( ∑ n j=0 z j) + z n+1 == zn+1 − 1 + z n+1 (z − 1)z − 1gilt, was offenbar richtig ist. Die Rechnung( z n+1 − 1z − 1= zn+2 − 1z − 1 .)+ z n+1beweist den Induktionsschritt. Die Aussage des Satzes folgt aus dem Induktionsprinzip.Liegen für ein m ∈ Z Aussagen A(m),A(m + 1),... vor, die man beweisen möchte, dann istfolgende Abwandlung des Induktionsprinzips nützlich: Beweise den (i) Induktionsanfang Am),und den (ii) Induktionsschritt A(n) =⇒ A(n + 1) für n ≥ m, dann gilt A(n) für alle n ≥ m.4.3 Beispiel. Die Ungleichung 2 n > n 2 gilt für alle n ≠ 2,3,4. Dass sie für n ≥ 5 gilt zeigt manmit vollständiger Induktion. Induktionsanfang: 2 5 = 32 > 25 = 5 2 . Zum Beweis des Induktionsschritteszeigt man vorbereitend, n 2 ≥ 2n + 1 für n > 3 gilt. (Beweis hierfür: n 2 − 2n − 1 =(n − 1) 2 − 2 > 0 wenn n ≥ 3.) Für n ≥ 5 folgt aus der Induktionsvoraussetzung 2 n > n 2 dannund damit der Induktionsschritt.2 n+1 = 2 · 2 n > 2n 2 ≥ n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2Die folgende Ungleichung werden wir später in einem Konvergenzbeweis benötigen.4.4 Satz (Bernoulli’sche Ungleichung). Für x ≥ −1 und n ∈ N gilt (1 + x) n ≥ 1 + nx.Beweis. Mit der für x+1 ≥ 0 unter Annahme der (geeigneten) Induktionsvoraussetzung gültigenRechnung(1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)xfolgt der Induktionschritt.5 Kombinatorik. BinomialtheoremDas Standardbeispiel einer endlichen Menge mit n Elementen ist N n := {1,2,3,...,n}. Aufwieviele Weisen kann man ihre Elemente anordnen? Wieviele Teilmengen hat sie?Die Elemente einer dreielementigen Menge können auf 6 verschiedene Weisen angeordnetwerde. Hier sind die verschiedenen Anordnungen von N 3 :Allgemein gilt:(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).5.1 Satz. Die Elemente einer n-elementigen Menge können auf genau n! verschiedene Weisenangeordnet werden.12