Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

wobei z ∈ C und n ∈ N.Den folgenden Satz beweisen wir mit dem anschließend formulierten Prinzip der vollständigenInduktion.4.1 Satz. Für alle n ∈ N giltn∑ j = 1 n(n + 1).j=12Anders ausgedrückt: Der Satz sagt aus, dass für alle n ∈ N die Aussage A(n) wahr ist:A(n) : 1 + 2 + ··· + n = 1 n(n + 1).2Es ist klar, dass dies nicht dadurch überprüft werden kann, dass man A(1),A(2),..., einzelnbeweist — man kann nicht unendlich viele Aussagen durch Probieren auf ihre Richtigkeit überprüfen.Ein Zahlenbeispiel: 1 + 2 + 3 + ··· + 100 = 5050.Das Prinzip der vollständigen Induktion besagt, dass A(n) für alle n ∈ N wahr ist, wenn gelten:Induktionsanfang A(1) ist wahr.Induktionsschritt Wenn für n ∈ N die Aussage A(n) wahr ist, dann ist auch die Aussage A(n+1) wahr.Die vollständige Induktion kann man als ein Dominoprinzip ansehen, welches aus dem Beweiszweier Aussagen (dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt) die Richtigkeit von unendlichvielen Aussagen impliziert.Beweis von Satz 4.1. Die Aussage A(1) besagt, dass 1 = 1 21·2 gilt. Dies ist offenbar richtig, unddamit ist der Induktionsanfang gezeigt.Induktionsschritt: Wir setzen voraus, dass für ein n ∈ N die Aussage A(n) richtig ist (Induktionsvoraussetzung).Wir haben zu zeigen, dass auch A(n + 1) gilt. Die Gültigkeit von A(n + 1)ergibt sich aus folgender Rechnung:n+1∑ j = ( ∑n j ) + (n + 1) = 1j=1 j=12 n(n + 1) + (n + 1) = 1 (n + 1)(n + 2).2Die Induktionsvoraussetzung wurde in der vorletzten Gleichung verwendet.Die Induktionsvoraussetzung ist nicht mit der Schlußfolgerung des Induktionsprinzips zu verwechseln,welche besagt, das A(n) für alle n ∈ N richtig ist.Wir beweisen nachfolgend weitere wichtige Formeln mit Hilfe vollständiger Induktion.Die untere Indexgrenze einer endlichen Summe oder eines endlichen Produktes muss nicht= 1 sein; für m,n ∈ Z mit m ≤ n definiert man sinngemäß auch ∑ n j=m z j und ∏ n j=m z j , wennkomplexe Zahlen z m ,...,z n vorliegen.4.2 Satz (Geometrische Summen). Sei z ∈ C, z ≠ 1. Für n ∈ N gilt∑ n j=0 z j = zn+1 − 1z − 1 . (4)11