Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

P). Damit ist die Inklusion (3) bewiesen. Auf ähnliche Weise beweist man die Richtigkeit deranderen Inklusion, nämlich:(M ∩ N) ∪ (M ∩ P) ⊆ M ∩ (N ∪ P).Zusammenfassen beider Inklusionen beweist den Satz.Beispiel: M = [−1,5], N =] − ∞,0] und P =]2,3[. Dann ist die im Satz angegebene Mengeeine Vereinigung von Intervallen nämlich [−1,0]∪]2,3[.Nur Aussagen, für die beweiskräftige Argumente gegeben werden können, werden im Nachfolgendenvorgestellt und verwendet. Hier ist noch Beispiel für einen Satz mit Beweis.3.2 Satz. Zwei Punkte in einer Kreisscheibe mit Radius r haben einen Abstand ≤ r.Beweis. Sei K eine Kreisscheibe mit Radius r > 0; sei z 0 ∈ C ihr Mittelpunkt:K ⊆ {z ∈ C ∣ ∣ |z − z 0 | ≤ r}Seien z 1 ,z 2 ∈ K. Die zu zeigende Behauptung lautet: |z 1 − z 2 | ≤ 2r. Die folgende Rechnungbeweist diese Behauptung:|z 1 − z 2 | = |(z 1 − z 0 ) − (z 2 − z 0 )| ≤ |z 1 − z 0 | + | − (z 2 − z 0 )|= |z 1 − z 0 | + |z 2 − z 0 | ≤ r + r = 2r.Die erste Ungleichung folgt mit der Dreiecksungleichung, die zweite aus der Voraussetzungz 1 ,z 2 ∈ K.4 Vollständige InduktionDie Menge N = {1,2,3,...} der natürlichen Zzahlen offenbar folgende Eigenschaften: 1 ∈ N,und mit n ∈ N ist auch n+1 ∈ N. Die Menge N die kleinste Zahlenmenge, die diese Eigenschaftenhat. Diese Tatsache liegt dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion und der Definitiondurch Rekursion zugrunde.Wir führen zunächst endliche Summen und Produkte ein. Seien z 1 ,z 2 ,··· ∈ C und n ∈ N,n > 1. Dann setzen wir:n∑ z j = z 1 + z 2 + ··· + z n := (z 1 + ··· + z n−1 ) + z n ,j=1nz j = z 1 z 2 ...z n := (z 1 ...z n−1 )z n .∏j=1Hier liegen rekursive Definitionen vor: Ist die Summe (bzw. das Produkt) von n − 1 Zahlendefiniert, dann auch die Summe (bzw. das Produkt) von n Zahlen. Ganz links in den Formelzeilensind die Summen- bzw. Produktzeichen eingeführt. Ähnlich definiert man Potenzen undFakultäten:z 0 := 1, z n = z n−1 z,0! := 1, n! = (n − 1)!n,10