Numerische Optimierung dreidimensional parametrisierter ...

Der Einsatz von Evolutionsverfahren oder anderen stochastischen Verfahren wurde aufgrundder hohen Anzahl von Zielfunktionsaufrufen verworfen, siehe Abb. 5.1. Baier 1998 [6] hateine ausführliche Untersuchung des Einsatzes von Evolutionsstrategien und genetischen Algorithmensowohl anhand mathematischer Testfunktionen als auch bei der aerodynamischenzweidimensionalen Auslegung von Turbomaschinen durchgeführt. Durch den Einsatz einesGradientenverfahrens läßt sich die Anzahl von Zielfunktionsaufrufen dabei zum Teil drastischreduzieren. Die mögliche Parallelisierung der aus einfachen Differenzenquotienten gebildetenGradienten als partielle Ableitungen der Zielfunktion ergibt eine zusätzliche Verkürzung dergesamten Laufzeit des Optimierungszyklus. Vorteilhaft erweist sich außerdem die Behandlungder Restriktionen innerhalb der Verfahren.Für diese Arbeit wurde das auf der Technik der sequentiellen quadratischen Programmierung(SQP) basierende Verfahren DONLP2 44 von Spellucci gewählt. SQP-Verfahren haben sichdurch ihre Zuverlässigkeit und Effektivität als eine der besten Methoden zur Lösung von nichtlinearenZielfunktionen mit Nebenbedingungen erwiesen. Herausragende Eigenschaften dieserVerfahren sind ihre schnelle Konvergenz und eine dabei geringe Anzahl benötigter Zielfunktionsaufrufe.Die Methode der sequentiellen quadratischen Programmierung zählt zu denLagrange-Methoden. Sie beruhen auf der direkten Lösung der notwendigen Bedingungen(Kuhn-Tucker-Bedingungen). Sie sind der Newton-Methode sehr ähnlich. Die Grundstrukturdes Verfahrens basiert auf einer Major-Iteration für den gesamten Optimierungsablauf undeiner darunterliegenden Minor-Iteration, in der jeweils das quadratische Teilproblem gelöstwird. Die grundlegende Idee der SQP-Methode besteht darin, zur Bestimmung der Suchrichtungin jeder Iteration ein quadratisches Hilfsproblem zu formulieren. Das quadratische Teilproblemminimiert ein Modell aus einer modifizierten Lagrange-Funktion bezüglichlinearisierter Nebenbedingungen. Durch die Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion werdenNichtlinearitäten der Restriktionen in die Zielfunktion hineingearbeitet. Da eine exakteBerechnung der Hesse-Matrix zu aufwendig ist, wird sie durch eine positiv definite Matrix,hier mit einer modifizierten Pantoya-Mayne Berechnung der Hesse-Matrix, approximiert.Nach der Bestimmung der Suchrichtung erfolgt die Bestimmung der Schrittweite durch eineiterative Liniensuche. In diesem Verfahren kommt dafür ein verbesserter Amijo SchrittweitenAlgorithmus zum Einsatz. Weitergehende mathematische Details zu diesem Verfahren sind inSpellucci 1993 [68] ausführlich erklärt.Ein Gradientenverfahren dieser Art benötigt laut Definition eine stetige und differenzierbareZielfunktion. Diese Voraussetzung ist durch die iterative Vorgehensweise der Strömungslö-44. Der Algorithmus und alle dazu relevanten Beschreibungen können im Internet unter: http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/ags/ag8/spellucci/geladen werden. In dieser Arbeit wurde die Implementierung in C-Codeauf SGI-Plattform genutzt. Numerische Details sind in den beigefügten Veröffentlichungen beschrieben: „Anew technique for inconsistent qp problems in the SQP method“, „A new technique for inconsistent qp problemsin the SQP method, donlp2, numerical results“ und „Donlp2 users guide“.62