Numerische Optimierung dreidimensional parametrisierter ...

Die Optimierung stellt mathematisch eine vieldimensionale Extremstellensuche (normalerweiseMinimum 35 ) der skalaren Funktion F( x ) dar. Zusätzlich müssen dabei Ungleichheitsrestriktioneng i ( x) ≥ 0 und Gleichheitsrestriktionen h j ( x) = 0 eingehalten werden.Ausgangspunkt der iterativen Parametersuche ist der Startvektor. Auf Basis dieses Startvektorsoder mehrerer Startvektoren erfolgen Suchzyklen. Durch die jeweilige Bewertung derZielfunktion und der Einhaltung der Nebenbedingungen werden bessere Parametervektor(en),als Ausgangspunkt für den nächsten Suchzyklus mit Hilfe einer zu wählenden Strategiegesucht. Mathematisches Ziel der iterativen Suche über verschiedeneist dabei eine Konvergenzder Funktion F( x ), zumindest in einem lokalen Optimum und die Beendigung desVerfahrens durch ein Abbruchkriterium. Ein Zielfunktionsaufruf durch den Optimierungsalgorithmusfür einen Parametervektorx kerfordert hier jeweils einen Ablauf der oben beschriebenenAuslegungskette. Die Zahl der Zielfunktionsaufrufe, bis zu einer Verbesserung derZielfunktion (Minimierung), soll dabei aus Zeitgründen minimal gehalten werden. DieRechenzeit des Optimierungsalgorithmus selbst ist angesichts der benötigten Zeit der Strömungssimulationnahezu vernachlässigbar.x 0x k5.1 Arten von OptimierungsalgorithmenDie verschiedenen Optimierungsalgorithmen lassen sich nach Aufbau, Vorgehensweise undmathematischem Aufbau einteilen. Die wichtigsten Charakteristiken stellen dabei die Art derSuchstrategie, ob partielle Ableitungen der Zielfunktion gebildet werden, und die Behandlungvon Nebenbedingungen dar. Aufgrund der hier zu untersuchenden Zielfunktion kommen nurnicht diskrete 36 und nichtlineare Algorithmen in Betracht.Stochastische Verfahren wählen neue Parameterzusammenstellungen für neue Suchzyklenzufällig aus. Partielle Ableitungen der Ergebnisse werden nicht verwendet. Ein Vertreter derzufälligen Suche stellt z. B. die Monte Carlo Methode dar. Die Ergebnisse vorangegangenerSuchschritte bleiben dabei unberücksichtigt. Daraus ergibt sich eine sehr langwierige Suchenach dem Optimum. Herkömmliche genetische Algorithmen basieren darauf, die Variablen derOptimierung in einen Binärcode zu überführen. Der maßgebliche Mechanismus besteht darin,zwischen verschiedenen Mitgliedern einer Population Teile des Binärcodes kreuzweise auszutauschen.Durch zufällige Änderung einzelner Elemente des Binärcodes (Gene) erfolgt dannein Mutationsvorgang. Anschließend beginnt eine Selektion der Population. Die Darstellungvieler Variablen führt dabei intern zu einem langen Binärcode mit entsprechend vielen internenOptimierungsvariablen. Bei den sich an der Natur orientierenden Evolutionsstrategien werdenneue Parametervektoren auf der Basis bestehender Parametersätze ebenfalls mittels Rekombi-35. Die Extremstellensuche ist durch die Beziehung max[F( )] = - min[F( )] auf den jeweiligen Typ umformbar.36. Nicht diskrete Optimierungsalgorithmen behandeln nur nicht ganzzahlige Variablen.xx55