Kapitel 2 - WWW-Seiten von Angehörigen der PH-Freiburg

EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 23 DEISSLERskript05-temp.doc2.4 Hintereinanderausführen von 3 AchsenspiegelungenNachdem wir die Verkettung von zwei Achsenspiegelungen vollständig geklärt haben, wollen wir nun dieVerkettung von drei Achsenspiegelungen untersuchen. Die Zahl der zu untersuchenden Fälle vongegenseitiger Lage der Achsen zueinander ist hier natürlich viel größer als zuvor.1.Fall: Die Achsen schneiden sich in einem Punkt.hgfhgZZfDie Drehung des Achsenpaares (f,g) um Z ändert dieVerkettung S f oS g nicht, wenn der eingeschlosseneWinkel gleich bleibt.hg'f'S f o S g o S h = (S f o S g )o S h =(S f‘ o S g‘ )o S h = S f‘ o (S g‘ o S h ) =S f‘ o id = S f‘Z⇒ eine Achsenspiegelung an f’Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Achsenspiegelungeneine Rolle spielt (kein Kommutativgesetz), die paarweiseZusammenfassung aber nicht (Assoziativgesetz).2.Fall: Die 3 Achsen sind parallel.Die Verschiebung des Achsenpaares(f,g) ändert die Verkettung S f o S g nicht.fghf‘g‘ = hS f o S g o S h = (S f o S g )o S h = (S f‘ o S g‘ )o S h = S f‘ o (S g‘ o S h ) = S f‘ o Id = S f‘ ⇒ eine Achsenspiegelung S f’ an f‘