Kapitel 2 - WWW-Seiten von AngehÃ¶rigen der PH-Freiburg

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EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 29 DEISSLERskript05-temp.docSatz 2.10Jede Kongruenzabbildung lässt sich als Einfach-, Zweifach- oder Dreifachspiegelung darstellen.BeweisZu einer gegebenen Kongruenzabbildung f wählt man ein beliebiges Dreieck ABC aus. f bildet ABC aufdas Dreieck A*B*C* mit gleichen Seitenlängen wie ABC ab. Nach Satz 2.9 kann man das Dreieck ABCdurch eine Verkettung g von ≤ 3 Achsenspiegelungen auf A*B*C* abbilden. Da diese Verkettung g eineKongruenzabbildung ist und wegen Satz 2.6 Kongruenzabbildungen durch das Bild eines Dreieckseindeutig bestimmt sind folgt, dass f gleich g ist, also durch ≤ 3 Achsenspiegelungen dargestellt werdenkann.Satz 2.11Die Verkettung von beliebig vielen Achsenspiegelungen lässt sich auf eine Verkettung von ≤ 3Achsenspiegelungen reduzieren. (Dreispiegelungssatz)BeweisEinfache Folgerung aus Satz 2.10.Satz 2.12Jede Kongruenzabbildung ist von einem der Typen• Achsenspiegelung,• Drehung,• Verschiebung,• Schubspiegelung.BeweisEinfache Folgerung aus Satz 2.10. und der Analyse der Verkettung von ≤ 3 Achsenspiegelungen.2.9 Hintereinanderausführen von 4 und mehr GeradenspiegelungenIm vorangehenden Abschnitt haben wir allgemein gezeigt, dass sich Verkettungen von beliebig vielenAchsenspiegelungen auf die Verkettung von ≤ 3 Achsenspiegelungen zurückführen lassen. Wir haben beidiesem Nachweis nicht gezeigt, wie sich diese Achsenspiegelungen aus den gegebenen Achsenspiegelungenergeben. Die soll nun an zwei Beispielen konkret gezeigt werden. Wir untersuchen exemplarisch dieVerkettung von 2 Drehungen und die Verkettung von zwei Verschiebungen. Wir verwenden wieder die zuvorschon mehrfach angewandte Methode der „Elimination von Spiegelachsen“. Die Übertragung dieser Methodeauf weitere Fälle (etwa die Verkettung einer Drehung und einer Verschiebung) möge als Übungsaufgabedienen.Verkettung von zwei DrehungenGegeben seien zwei Drehungen um verschiedene Drehzentren Z 1 und Z 2 mit den Drehwinkeln α 1 und α 2 . DieVerkettung der Drehungen kann durch 4 Achsenspiegelungen (S f oS g )o(S h oS i ) dargestellt werden. Hier wirddie Abbildung eines Dreiecks ABC gezeigt, was nur zur besseren Veranschaulichung dient, die Angabe derAchsen alleine genügt natürlich. Die Achsenpaare (f,g) und (h,i) können wieder um ihren jeweiligenSchnittpunkt unter Beibehaltung des eingeschlossenen Winkels gedreht werden, so dass g’=h’ wird; es istdann g’ = Z 1Z2. Natürlich hätten wir schon zu Beginn gleich g und h so wählen können, dass siezusammenfallen und gleich Z Z sind.1 2
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 30 DEISSLERskript05-temp.docC''A''B''A'60 °Z1C'B'CA45 ° BZ2C''A''iB''hC'A'60 °Z130 °45 °gB'CAB22,5 °Z2fi'C''h'g'A''f'30 °B''ZC'A'60 °Z145 °22,5 °AZ2B'BCEs ist (S f oS g )o(S h oS i )= (S f’ oS g’ )o(S h’ oS i’ ) = S f’ o(S g’ oS h’ )oS i’ = S f’ oidoS i’ = S f’ oS i’ .Schneiden sich f’ und i’ im Punkt Z, dann ergibt sich eine Drehung um Z um α 1 +α 2 (Bild), sind f’ und i’parallel, dann ergibt sich eine Verschiebung. (Für welche Winkel α 1 und α 2 tritt dieser zweite Fall ein?)Selbstverständlich konnten wir schon im Voraus sagen, dass nur diese beiden Fälle eintreten konnten(warum?), der hier gegebene Nachweis gibt aber eine unmittelbare Konstruktion des Drehzentrums Z aus denAchsen der Einzeldrehungen an.Verkettung von zwei VerschiebungenGegeben seien zwei Verschiebungen in verschiedene Richtungen (gleiche Richtungen: trivial), die durchS f o S g und S h o S i dargestellt sind. Wir zeigen, dass die Verkettung wieder eine Verschiebung ist Wirerhalten die bekannte „Vektoraddition“ für die Verschiebungen.fghZugpunktfZugpunkt1h'CZugpunkt2ACig'AiBBDrehung von (g,h) um C, so dass g’ auf ACfälltZugpunkt1Zugpunkt2Drehung von (f,g’) um den Mittelpunkt von ACund von (h’,i) um den Mittelpunkt von BC so dassg‘’ und h‘’ zusammen fallen.Formaler zusammengefasst:g''Af'Ci'Bh''(S f o S g )o (S h o S i )= S f o(S g o S h )oS i =S f o(S g‘ o S h‘ )oS i = (S f o S g‘ )o (S h‘ o S i ) =(S f‘ o S g‘‘ )o (S h‘‘ o S i‘ ) = S f‘ o(S g‘‘ o S h‘‘ )oS i‘ =S f‘ o(id)oS i‘ = S f‘ oS i‘f‘ und i‘ sind parallel und ihr Abstand ist die Hälfteder Länge der Seite AB .
Seite 5 und 6: EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05
Seite 13: EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05

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