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EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 27 DEISSLERskript05-temp.docFixelemente von V A,B : (für A ≠ B)Invarianten:keine Fixpunkte,alle Geraden parallel zu AB sind Fixgeraden.geradentreuwinkelmaßtreulängentreuflächeninhaltstreuUmlaufsinn bleibt erhaltenZusätzliche Eigenschaft:g' || g (d.h. Originalgerade und Bildgerade sind parallel). Begründung?Aufgabe(a) ABDC sei ein Parallelogramm. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition 2.5,dass gilt V A,B = V C,D .(b) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition 2.5, dass für die Verkettung vonzwei Verschiebungen gilt V A,B o V B,C = V A,C .ACBDCAB2.7 Schubspiegelungen (Gleitspiegelungen)Definition 2.6Schubspiegelungen sind Abbildungen, die aus demHintereinanderausführen einer Verschiebung und einerAchsenspiegelung bestehen. Dabei liegt die Spiegelachse parallel zurVerschiebungsrichtung.Pv rP’• Schubspiegelungen kann man durch die Verkettung von Spiegelungen an 3 Achsen darstellen, von denendie ersten beiden parallel zueinander sind und die dritte senkrecht dazu ist.• Man kann die Reihenfolge von Verschiebung und Achsenspiegelung vertauschen, wenn dieVerschiebung parallel zur Spiegelachse verläuft: V v r o S g = S g o V v r .AufgabeBeweisen Sie, dass die Verkettung einer Achsenspiegelung mit einerVerschiebung immer eine Schubspiegelung ist (auch wenn die Verschiebunggnicht parallel zur Spiegelachse verläuft) und führen Sie die Konstruktion derv rSpiegelachse und des Verschiebungsvektors für einige Beispiele durch.Beachten Sie: In diesem Fall kann man die Achsenspiegelung und die Verschiebung nicht vertauschen. Wirvereinbaren hier: Zuerst die Achsenspiegelung S g , dann die Verschiebung.AufgabeWas ist die zur SchubspiegelungV v r o S g inverse Abbildung?
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 28 DEISSLERskript05-temp.doc2.8 Kongruenzabbildungen - Produkte von AchsenspiegelungenMit der bisherigen Vorarbeit sind wir in der Lage, die angestrebte Klassifizierung aller Kongruenzabbildungenvorzunehmen.Wir geben nochmals eine kurze Zusammenfassung des bisherigen Vorgehens:• Zunächst werden Kongruenzabbildungen als bijektive, geradentreue, längentreue Abbildungen der Ebenedefiniert.• Achsenspiegelungen erweisen sich als Kongruenzabbildungen.• Verkettung von Achsenspiegelungen sind Kongruenzabbildungen.• Jede Kongruenzabbildung ist durch die Abbildung eines Dreiecks eindeutig festgelegt.• Wir wissen, welche Abbildungstypen sich durch die Verkettung von höchstens 3 Achsenspiegelungenergeben:Achsenspiegelung bei 1 Achse (gegensinnige Abbildung),Drehung oder Verschiebungen bei 2 Achsen (gleichsinnige Abbildung),Schubspiegelung oder Achsenspiegelung bei 3 Achsen (gegensinnige Abbildung).Wir wollen nun zeigen, dass sich auch jede Kongruenzabbildung durch höchstens 3 Achsenspiegelungendarstellen lässt. Dazu beweisen wir zunächst den folgenden Satz.Satz 2.9Gegeben seien zwei Dreiecke ABC und A*B*C* mit gleich langen Seiten.Dann lässt sich Dreieck ABC auf Dreieck A*B*C* durch eine Verkettung von höchstens 3Achsenspiegelungen abbilden.Beweis:Gegeben sei ein Dreieck ABC und ein dazu kongruentes Dreieck A*B*C*.Anzugeben ist ein Produkt von 1, 2 oder 3 Achsenspiegelungen, welches ABC auf A*B*C* abbildet.Idee: Angabe von Achsenspiegelungen (oder von identischen Abb.) mit den Eigenschaftenf: A a A* , ( B a B’, C a C’)g: B’a B* ; A* bleibt fest, ( C’a C’’) warum gibt es eine solche Spiegelung?h: C’’ a C* ; A* und B* bleiben fest. warum gibt es eine solche Spiegelung?Ausgangsdreiecke ⇒ Konstruktion der AchsenspiegelungenfgCCC'C''hB*B*BC*BB'C*AA*AA*AufgabeFühren Sie für die nebenstehenden Ausgangsdreieckedieselbe Konstruktion der Spiegelachsen durch.CBC*B*AA*
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