Berührende Kreise.pdf - Hans & Meta Walser
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<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 3/122.3 n = 3Acht <strong>Kreise</strong>Eigentlich sehen wir nur sieben <strong>Kreise</strong>, von denen einer, der zentrale Kreis, von densechs anderen <strong>Kreise</strong>n berührt wird. Wir müssen diesen Kreis doppelt zählen und jedenvon den beiden alternierend durch je drei <strong>Kreise</strong> berühren lassen. Wie es zu dieser eigenartigenZählweise kommt, wird später erklärt.
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 4/122.4 n = 416 <strong>Kreise</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 5/122.5 n = 532 = 2 5 <strong>Kreise</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 6/122.6 n = 664 = 2 6 <strong>Kreise</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 7/122.7 n = 7128 = 2 7 <strong>Kreise</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 8/122.8 n = 8256 = 2 8 <strong>Kreise</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 9/123 HintergrundWir zeichnen einen n-dimensionalen Hyperwürfel in isometrischer Darstellung. Vonjeder Ecke aus verlaufen kann n gleich stark verkürzte Kanten. Daher kann jeder Eckeals Zentrum eines <strong>Kreise</strong>s verstanden werden, dessen Radius die Hälfte der Lände derverkürzten Kante ist und der daher n Nachbarkreise berührt.Dies im ebenen Bild. Im n-dimensionalen Raum entsprechen den <strong>Kreise</strong>n Hyperkugeln.Das folgende Bild illustriert den Fall n = 4 .Vierdimensionaler Hyperwürfel mit 16 <strong>Kreise</strong>n
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 10/12Bei n = 3 fallen in der isometrischen Darstellung zwei Würfelecken aufeinander. Daherdie Doppelzählung des „zentralen“ <strong>Kreise</strong>s.Zwei Ecken fallen aufeinanderDieser Effekt tritt auch bei anderen Dimensionen auf.
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 11/12Wenn wir die Würfelecken weniger symmetrisch zeichnen, werden alle acht <strong>Kreise</strong>sichtbar. In dieser Situation sind die Winkel zwischen den projizierten Kanten nichtmehr regelmäßig.Alle acht <strong>Kreise</strong> sichtbar
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: Kreisfiguren mit berührenden <strong>Kreise</strong>n 12/124 MuPAD-ProgrammExemplarisch das Programm für n = 4 :n:=4:N:=2^n-1:for k from 0 to N dox[k]:=0:y[k]:=0:for j from 1 to n dox[k]:=x[k]+round(frac(k*(1/2)^(n-j+1)))*cos(j*PI/n):y[k]:=y[k]+round(frac(k*(1/2)^(n-j+1)))*sin(j*PI/n):end_for:end_for:Kreis:=k->plot::Curve2d([x[k]+1/2*cos(t), y[k]+1/2*sin(t)],t=0..2*PI, LineWidth=1/2, LineColor=[1,0,0]):plot(Kreis(k)$k=0..N, Scaling=Constrained, Axes=None,Width=150, Height=150):
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