Zustandsgleichungen - Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Thermodynamik
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Thermodynamik
Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch
peter.hakenesch@hm.edu
www.lrz-muenchen.de/~hakenesch
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Thermodynamik
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1 Einleitung
2 Grundbegriffe
3 Systembeschreibung
4 Zustandsgleichungen
5 Kinetische Gastheorie
6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
7 Kalorische Zustandsgleichungen
8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
9 Zustandsänderungen
10 Reversible Kreisprozesse
11 Kreisprozesse thermischer Maschinen
12 Kälteanlagen
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Folie 1 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4 Zustandsgleichungen
4.1 Zustandsflächen
Beschreibung des thermodynamischen Zustands in Einphasensystemen durch drei Variable
- Druck p
- Temperatur T
- spezifisches Volumen v
Verknüpfung dieser Variablen erfolgt durch eine Zustandsfunktion oder auch Zustandsgleichung
F(p,T,v) = 0
oder in expliziter Schreibweise für die einzelnen Zustandsvariablen
p = p(T,v)
T = T(p,v)
v = v(p,T)
Beschreibung durch zwei unabhängige Variable, dritte Größe stellt abhängige Variable dar
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Zustandsgleichungen sind stoffabhängig und
werden in aller Regel empirisch ermittelt
Darstellung der Wertetrippel von p,v,T in einem
p,v,T –Koordinatensystem in Form einer Fläche
⇒
Zustandsfläche
Zustandsfläche eines reinen Stoffes
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Schnitt durch die Zustandsfläche bei p = cons. ⇒ Isobaren
Schnitt durch die Zustandsfläche bei T = const. ⇒ Isothermen
Schnitt durch die Zustandsfläche bei v = const. ⇒ Isochoren
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Linie A-B-C-D-E-F (Isobare)
Prozeß bei konstantem Druck infolge von
Wärmezufuhr durchläuft
feste ⇒ flüssige ⇒ gasförmige Phase
- Einphasengebiet (fest)
- Schmelzlinie
- Schmelzgebiet, Zweiphasengebiet (fest, flüssig)
- Erstarrungslinie
- Einphasengebiet (flüssig)
- Siedelinie
- Naßdampfgebiet, zwei Phasen (flüssig, gasf.)
- Taulinie
- Einphasengebiet (gasförmig)
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Einphasengebiete (Abschnitt A-B, C-D, E-F)
Stoff liegt in genau einer Phase vor, d.h. als
Festkörper, Flüssigkeit oder Gas
Schmelzgebiet (Abschnitt B-C), fest/flüssig
Übergang von der festen zur flüssigen Phase
⇒ Temperatur bleibt so lange konstant, bis der
Stoff vollständig geschmolzen ist
⇒ spezifisches Volumen v wird vergrößert
⇒ thermodynamisches Gleichgewicht bei
p = const. und T = const.
Schmelzlinie (B)
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Überschreiten der Schmelzlinie von der festen zur flüssigen Phase erfordert Schmelzwärme
Schmelzwärme bzw. Schmelzenthalpie oder auch Phasenänderungsenergie ist druckabhängig
Stoff spezifische Schmelzwärme σ [KJ/kg] Schmelztemperatur ϑ [°C]
Aluminium Al 356 658
Eisen (rein) Fe 207 1530
Stahl Fe + 0.2%C ca. 209 ca. 1500
Grauguß Fe + 2.0%C ca. 96 ca. 1200
Kupfer Cu 209 1083
Ammoniak NH 3 339 -77.9
Äthylalkohol C 2 H 5 OH 108 -114.2
Schwefeldioxid SO 2 116.8 -75.5
Quecksilber Hg 11.3 -38.9
Wasser (Eis) H 2 O 333.5 0
Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 10 5 [Pa]
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Erstarrungslinie (C)
Wärmeentzug in der flüssigen Phase
⇒ Umkehrung des Teilprozesses C-D
⇒ Stoff geht bei Überschreiten der
Erstarrungslinie in die feste Phase über
Siedelinie (D)
Trennung der flüssigen und gasförmigen Phase
durch zwei im Punkt K zusammenlaufende
Kurven (Linke Kurve = Siedelinie)
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Trotz Wärmezufuhr bleibt die Temperatur auf
der Isobaren konstant, während das
spezifische Volumen v stark zunimmt (D-E)
Taulinie (E)
Kennzeichnet Abschluß des Siedevorgangs
⇒ Stoff liegt vollständig in der Gasphase vor
⇒ Analog zur Schmelzenthalpie ist eine
Phasenänderungsenergie erforderlich, die
Verdampfungswärme bzw.
Verdampfungsenthalpie Δh D .
Bezeichnung Taulinie ergibt sich aus der
Umkehrung des Prozesses
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Stoff Verdampfungs-enthalpie Siedetemperatur Kritischer Kritische Temperatur
Δh D [KJ/kg]
Druck ϑ kr [°C]
ϑ S [°C] p kr [bar]
Ammoniak NH 3 1369 -33.4 112.8 132.3
Äthylalkohol C 2 H 5 OH 846 78.3 63.8 243.1
Schwefeldioxid SO 2 402 -10.0 78.8 157.5
Quecksilber Hg 285 356.7 1608 1480
Wasser H 2 O 2257 100.0 221.2 374.15
Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte, p = 10 5 [Pa]
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Gasphase (E-F)
Nach Überschreiten der Taulinie steigt
bei zunehmender Wärmezufuhr die
Temperatur in der Gasphase wieder an
Naßdampfgebiet (D-E)
Begrenzung durch Siedelinie und
Taulinie, Zweiphasengebiet (flüssig,
gasförmig)
Thermodynamisches Gleichgewicht bei
gleichem Druck und gleicher Temperatur
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Kritischer Punkt K
Berührungspunkt von Siedelinie und Taulinie.
Verläuft der Prozeß auf einer Isobaren oberhalb
des kritischen Punktes K, so ist ein direkter
Phasenübergang von der flüssigen zur
gasförmigen Phase möglich
Sublimationsgebiet
Kennzeichen: Niedrige Drücke und Temperaturen
Begrenzung zur festen und gasförmigen Phase
durch Sublimationslinie und Desublimationslinie
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Sublimation
Direkter Übergang von der festen in die
gasförmige Phase bzw. umgekehrt (G-H-I),
Sublimationswärme
Die für den Wechsel von der festen in die
gasförmige Phase erforderliche Wärmemenge,
entspricht der Summe aus Schmelz- und
Verdampfungswärme
Tripellinie
Abgrenzung des Sublimationsgebietes zum
Naßdampfgebiet
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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p,T-Diagramm
Projektion der p,v,T-Zustandsfläche auf die p,T-
Ebene
Schmelzgebiet ⇒ Schmelzdruckkurve
Naßdampfgebiet ⇒ Dampfdruckkurve
Sublimationsgebiet ⇒
Sublimationsdruckkurve
Dampfdruckkurve endet im kritischen Punkt K,
Zusammentreffen von Siede- und Taulinie
Bei höheren Temperaturen als der kritischen
Temperatur existiert keine scharfe Grenze mehr
zwischen der Gasphase und der flüssigen Phase
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Trippelpunkt
Schnittpunkt von Schmelzdruckkurve, Dampfdruckkurve
und Sublimationsdruckkurve im p,T-
Diagramm
Einziger Punkt, in dem sich alle drei Phasen in
einem thermodynamischen Gleichgewicht befinden
Trippelpunkt des Wassers
p Tr = 0.00611 [bar] und ϑ Tr = 0.01 [°C] = 273.16 [K].
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.2 Festkörper
Starke Bindungskräfte zwischen den einzelnen Atomen und Molekülen
⇒ Nur sehr kleine Schwingungen um Gitterplätze in der Kristallstruktur möglich
⇒ Auch bei höheren Drücken nur geringe Volumenänderung
⇒ Vereinfachung der allgemeinen Zustandsgleichung
F(p,v,T) = 0
zu
F(v,T) = 0
Abhängigkeit des Festkörpervolumens von der Temperatur ist insbesondere bei der Konzeption von
Bauteilen und Bauwerken, die thermischen Änderungen unterworfen sind, z.B. Brücken, zu beachten
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.2.1 Thermische Längendehnung
Schlanke Körper, d.h. Querschnitt im Verhältnis zur Gesamtlänge klein
⇒ Berücksichtigung der thermischen Längendehnung anstelle der Volumendehnung
⇒ Linearisierung der Längenänderung als Funktion der Temperatur für begrenzte
Temperaturintervalle
⇒ Experimentelle Bestimmung eines Wärmedehnungskoeffizient α
α =
1
L
0
⎛ dL ⎞
⋅
⎜
⎟
⎝ dϑ0
⎠
Mit der Bezugstemperatur ϑ 0 = 273.15 K (0°C) ergibt sich die temperaturabhängige Länge
L
ϑ
= ⋅ 1
L 0
( + α ⋅ Δϑ)
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Stoff α [K -1 ] Temperaturbereich in K
Aluminium 23.7⋅10 -6 273 -373
Blei 29.3⋅10 -6 273 –373
Chrom 8.3⋅10 -6 273 –373
Eisen 12.3⋅10 -6 273 –373
Gold 14.3⋅10 -6 273 –373
Kupfer 17.0⋅10 -6 273 –373
Magnesium 26.0⋅10 -6 273 –373
Platin 9.0⋅10 -6 273 –373
Silber 19.7⋅10 -6 273 –373
Zink 29.0⋅10 -6 273 -373
Quarzglas 0.59⋅10 -6 300 - 500
Fensterglas 7⋅10 -6 - 10⋅10 -6 300 - 500
Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.1: Längendehnung einer Autobahnbrücke
Bei 0°C beträgt die Länge einer Autobahnbrücke 650 m. Die Temperaturschwankung beträgt -20°C im
Winter bis zu +45°C im Sommer. Der Wärmedehnungskoeffizient des bei der Brückenkonstruktion
verwendeten Stahls beträgt α = 11⋅10 -6 /°C.
Welcher Bewegungsspielraum ist für die beweglichen Auflager der Brücke zu berücksichtigen?
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.2.2 Thermische Flächendehnung
Bestimmung analog zur Längendehnung
Rechteck mit den Abmessungen a 0 und b 0 und zu vernachlässigender Dicke d (z.B. dünne Folien) bei
der Temperatur ϑ 0
A
0
= a0
⋅b0
Veränderung der Seitenlängen infolge Δϑ
a = ⋅ ( 1+
α ⋅ Δϑ)
bzw. b = ⋅ ( 1+
α ⋅ Δϑ)
ϑ
Gesamtfläche
A
ϑ
a 0
= a ⋅ b = A
ϑ
ϑ
ϑ
b 0
2 2
( 1+
⋅α
⋅ Δϑ
+ α ⋅ Δϑ
)
0
⋅ 2
Vernachlässigung der quadratischen (kleinen) Terme (z.B. α Stahl 2 =1.21⋅10 -10 )
A
ϑ
= ⋅ 2
A 0
( 1+
⋅α
⋅ Δϑ)
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.2: Flächendehnung einer Zinkplatte
Eine Zinkplatte (α Zink = 29⋅10 -6 /°C) von 2.7 m² wird von 0°C auf 20°C erwärmt.
Wie groß ist die Flächenänderung?
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.2.3 Thermische Volumendehnung
Bestimmung analog zur thermischen Flächendehnung
Volumen eines Quaders mit den Abmessungen a 0 , b 0 , c 0 hat bei der Temperatur ϑ 0 = 0 °C
V
0
= a0
⋅b0
⋅ c0
Veränderung der Temperatur von 0 °C auf ϑ bewirkt Volumenänderung
V
ϑ
=V
2 2 3 3
( 1+
3⋅α
⋅ Δϑ
+ ⋅α
⋅ Δϑ
+ α ⋅ Δϑ
)
0
⋅
3
bzw. nach Vernachlässigung der Glieder zweiter und dritter Ordnung
V
ϑ
( 1+
⋅α
⋅ Δϑ)
= ⋅ 3
V 0
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.3: Thermische Dehnung eines Zylinderkopfes
Ein aus Aluminium gegossener Zylinderkopf hat bei 20°C ein Volumen von 2.56 ltr.
Wie groß ist die relative Volumenzunahme bei einer Temperaturerhöhung auf 98°C ?
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.3 Flüssigkeiten
Relativ leichte Verschiebbarkeit im Gegensatz zu Festkörpern
⇒
⇒
⇒
⇒
Auch bei hohen Drücken nur geringe Volumenänderung
Kompression von Wasser um 1% erfordert eine Druckerhöhung von 200 bar
Druckunabhängige Fluide werden als inkompressibel bezeichnet
Volumenänderung ist bei Flüssigkeiten um den Faktor 10 1 bis 10 2 kleiner als bei Gasen
Stoff γ bei 20°C Stoff γ bei 20°C
Benzin 1.06⋅10 -3 Methanol 1.20⋅10 -3
Benzol 1.24⋅10 -3 Petroleum 0.96⋅10 -3
Ethanol 1.10⋅10 -3 Quecksilber 0.181⋅10 -3
Glycerin 0.50⋅10 -3 Terpentinöl 0.97⋅10 -3
Glykol 0.64⋅10 -3 Wasser 0.207⋅10 -3
Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Bestimmung der Volumenänderung von Flüssigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur analog
zur Volumenänderung von Festkörpern
V
ϑ
= ⋅ 1
V 0
( + γ ⋅ Δϑ)
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Ü 4.4: Volumenänderung von Benzin
In den leeren Tank eines Fahrzeuges, der ein Volumen von 60 ltr. hat, wird Benzin eingefüllt, das
eine Temperatur von 20°C hat. Im Laufe des Tages wird ein Temperaturanstieg auf 41°C erwartet.
Um welche Menge Benzin muß die Füllmenge unter dem maximalen Tankvolumen bleiben, wenn
nichts infolge der Temperaturerhöhung ausfließen soll?
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.4 Ideale Gase
Zustandsgleichung des idealen Gases läßt sich aus zwei experimentell ermittelten Gasgesetzen
ableiten
- Gesetz von Gay-Lussac
- Gesetz von Boyle-Marriotte.
4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac
Bei konstantem Druck p wächst das Volumen V eines Gases pro Grad Erwärmung um 1/273.15 des
Volumens V 0 , das es bei einer Temperatur von 0°C hatte
V
= V
0
[ C] ⎞ ⎟⎠
⎛ ϑ °
⋅ ⎜1+
⎝ 273.15
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur bei unterschiedlichen Drücken
Extrapolation der Geraden über den gemessenen Temperaturbereich hinaus ergibt Schnittpunkt bei
ϑ = –273.15 °C, d.h. dem absoluten Nullpunkt
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Folie 27 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ersetzen der Temperatur ϑ [°C] durch die thermodynamische Temperatur T [K], d.h.
ergibt
ϑ = T-273.15°C = T – T 0
V T =
V bzw.
0
T 0
V
2
T =
2
(p = const.)
V
1
T
1
4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte
Das Produkt aus dem Druck p und dem Volumen V eines idealen Gases ist bei gleichbleibender
Temperatur konstant
p ⋅ V = const. bzw. p1 ⋅ V1
= p2
⋅V2
(T = const.) oder p = p(V )
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Auftragen der Kurven der Zustandsfunktion p = p(V) in einem p,V-Diagramm für verschiedene
Temperaturen ergibt eine Hyperbelschar
Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Ideale Gase:
⇒
Zustandsgleichung aus der Verknüpfung der Gesetze von Gay-Lussac und Boyle-Mariotte
Prozeß (1) → (2)
Ausgangszustand 1: Druck p 1 , Temperatur T 1
Endzustand 2: Druck p 2 , Temperatur T 2
Aufspaltung in zwei Teilprozesse
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Teilprozeß 1:
Druckerhöhung von p 1 auf p 2 bei Beibehaltung der Temperatur T 1 . Nach dem Gesetz von Boyle-
Mariotte ergibt sich das Volumen nach der Druckerhöhung von p 1 auf p 2 zu
V
Teilprozeß 2:
p
1
( p , T ) ⋅V
( p T )
2 1
=
1,
1
p
mit T 1 = T 2 = const.
2
Temperaturerhöhung von T 1 auf T 2 , wobei der bereits im ersten Schritt erreichte Druck p 2 konstant
gehalten wird. Entsprechend dem Gesetz von Gay-Lussac gilt
folgt
V
V
p
( p2,
T1
) T1
( p2,
T2
) T2
1
T
⋅ v
1
1
= mit p
1
p2
= const.
⎡ J
= const.
≡ R ⎢
⎣kg
⋅ K
= , mit V = V ( p ), V = V ( p )
⎤
⎥
⎦
bzw.
1 1,T1
2 2,T2
p ⋅ v = R ⋅T
p ⋅ V = m ⋅ R ⋅T
p = ρ ⋅ R ⋅T
⇒
⇒
Thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases
Konstante R : spezifische Gaskonstante
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Gas Dichte ρ [kg/m³] Gaskonstante R [J/kg⋅K]
Helium He 0.1785 2077.30
Wasserstoff H 2 0.08987 4124.50
Stickstoff N 2 1.2505 296.80
Sauerstoff O 2 1.42895 259.84
Luft 1.2928 287.10
Kohlenmonoxid CO 1.2500 296.84
Kohlendioxid CO 2 1.9768 188.92
Schwefeldioxid SO 2 2.9265 129.78
Methan CH 4 0.7168 518.26
Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C
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Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.5: Berechnung der Gaskonstanten von Luft
Eine Luftmasse von m = 1.6 kg nimmt bei einem Druck von p = 1,0132 bar eine Temperatur von
T = 293 K ein Volumen V = 1.32839 m³ ein
Gesucht ist die spezifische Gaskonstante R
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Folie 33 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Allgemeine, molare oder auch universelle Gaskonstante
Zustandsgleichung des idealen Gases
p ⋅ v = R ⋅T
⇒ p ⋅V
= m ⋅ R ⋅T
Ersetzen der Masse m [kg] durch das Produkt aus Stoffmenge n [1/kmol] und Molmasse M [kg/kmol]
m = n ⋅ M
Zustandsgleichung des idealen Gases
⇒ p ⋅ V = n ⋅ M ⋅ R ⋅T
bzw.
V
p ⋅ = M ⋅ R ⋅T
n
Mit dem Molvolumen v m [m³/kmol]
V
v m
=
n
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Folie 34 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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folgt
p ⋅ vm = M ⋅ R ⋅T
Produkt aus Molmasse M und Gaskonstante R läßt sich zusammenfassen zu
⎡
R m
= M ⋅ R = 8314 . 51⎢
⎣
J
kmol
⋅ K
⎤
⎥
⎦
⇒
⇒
Allgemeine, molare oder auch universelle Gaskonstante
Zustandsgleichung des idealen Gases
p ⋅ v
m
= R
m
⋅T
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Folie 35 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.6: Isochore Erwärmung von Stickstoff
Ein Stahltank enthält V 1 = 17.84 m³ Stickstoff bei einem Druck p 1 = 2.7 bar und einer Temperatur von
ϑ 1 = 19.5°C. Infolge von Schweißarbeiten an der Außenhaut steigt die Temperatur auf ϑ 1 = 48°C.
Gesucht sind
- Stickstoffmasse m N2 ,
- Molzahl n,
- Druck p 2 nach der Erwärmung
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Folie 36 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.7: Isobare Erwärmung von Helium
Helium wird isobar (d.h. dp=0) von ϑ 1 = -5°C auf ϑ 2 = 84°C erwärmt.
Gesucht ist die prozentuale Volumenzunahme
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Folie 37 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.8:
Isotherme Kompression von idealem Gas
Ein Luftvolumen von V 1 = 10.47 m³ wird isotherm (dT = 0) von p 1 = 1.06 bar auf p 2 = 8.72 bar
komprimiert.
Gesucht ist das Volumen nach der Kompression.
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Folie 38 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.4.4 Gesetz von Avogadro
Gleiche Volumina von idealen Gasen enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck die
gleiche Anzahl von Molekülen
Definition des Molvolumens, d.h. der Raumbedarf für n = 1 mol einer beliebigen Substanz
Anzahl der Atome bzw. Moleküle pro mol
N A = 6.0221367⋅10 23 1/mol
Avogadro-Konstante oder Loschmidtsche Zahl
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Folie 39 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.4.5 Mischung idealer Gase
Technische Anwendungen
⇒ Keine Verwendung reiner Gase, sondern Mischungen aus unterschiedlichen Gasen
Bsp. Luft:
Gemisch aus Stickstoff, Sauerstoff, Kohlendioxid, sowie einige Edelgase wie Argon und Neon
Zur Bestimmung der thermodynamischen Größen wie z.B. der Gaskonstanten der Mischung ist die
Kenntnis der Zusammensetzung der Mischung sowie die Kenntnis der Gaskonstanten der
Einzelkomponenten erforderlich
Beschreibung der Zusammensetzung der Mischung durch Angabe der
- Massenanteile oder
- Volumenanteile
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Folie 40 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Massenanteile
Gesamtmasse der Mischung
∑
m = m1 + m2
+ ..... + m n
= m i
n
i=
1
wobei
n
mi
μ
i
= ⇒ ∑ μ
i
= 1
m
i=
1
den auf die Gesamtmasse m bezogenen Masseanteil der i-ten Komponente beschreibt
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Folie 41 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Volumenanteile
V 1 , V 2 , ..., V n : Volumen der einzelnen Komponenten vor dem Zusammenmischen,
Druck und Temperatur bleiben bei dem Mischungsvorgang unverändert
Mischung zweier Gase
Analog zu Massenanteilen lassen sich auch sich auch Volumenanteile von Gasen zusammenfassen
V
∑
= V1 + V2
+ ..... + V n
= V i
n
i=
1
Volumenanteil r i der i-ten Komponente entspricht dem auf das Gesamtvolumen V bezogene
Teilvolumen V i
n
Vi
r
i
= ⇒ ∑ ri
V
i=
1
= 1
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Folie 42 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Gaskonstante der Mischung
Annahme
Alle n Komponenten einer Mischung haben den gleichen Druck p und die gleiche Temperatur T ⇒
p ⋅V
1
p ⋅V
p ⋅V
2
n
= m
= m
M
1
= m
2
n
⋅ R
1
⋅ R
⋅ R
⋅T
2
n
⋅T
⋅T
Aufsummierung über alle n Gleichungen ergibt
mit
p ⋅
i
n
∑
V
⎡
= ⎢
⎣
n
∑
i
i= 1 i=
1
i
m
i
⋅ R
m = m ⋅ μ folgt
i
⎤
⎥
⎦
⋅T
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Folie 43 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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p ⋅
i
n
n
⎡ ⎤
Vi
= m ⋅ ⎢∑
μi
⋅ Ri
⎥
= 1 ⎣ i=
1
14243
⎦
∑
Gaskons tan te der Mischung
⋅T
Gaskonstante R der Gesamtmischung entspricht der Summe der Produkte aus Massenanteile μ i und
Gaskonstanten R i der einzelnen Komponenten
R =
n
∑
i=
1
μ ⋅
i
R i
Sind die Molmassen M i bekannt, so läßt sich die Gaskonstante der Mischung mit Hilfe der
universellen Gaskonstante R m berechnen
R
m
= R
R = R
m
i
⋅
⋅ M
n
∑
i=
1
i
μ
M
i
i
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Folie 44 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Molmasse der Mischung
Molmasse der Mischung, bzw. der Mittelwert der Molmassen M
M
=
n
∑
i=
1
r i
⋅ M i
Dichte der Mischung
ρ =
n
∑
i=
1
r i
⋅ ρ
i
Beziehung zwischen Massenanteilen und Raumanteilen
mi
μ
i
=
m
ni
⋅ M
=
n ⋅ M
i
= r
i
⋅
M
M
i
= r
i
⋅
R
R
i
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Folie 45 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Partialdruck
Theoretisches Konstrukt: Während des Mischungsvorganges expandiert jede Teilkomponente von
seinem Anfangsvolumen V i auf das größere Volumen V und sein Druck sinkt von p i auf p
Druck der Komponente in der Mischung wird als Teildruck oder auch als Partialdruck bezeichnet
Partialdruck läßt sich lediglich rechnerisch ermitteln, nicht jedoch meßtechnisch bestimmen
Berechnung von Partialdrücken basiert auf dem Gesetz von Dalton:
In einer idealen Gasmischung verhält sich jede Komponente so als wäre sie allein vorhanden
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Folie 46 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Zustandsgleichungen der idealen Gase nach der Mischung
p
p
p
1
2
n
⋅V
= m
⋅V
= m
M
1
2
⋅V
= m
n
⋅ R
1
⋅ R
⋅ R
⋅T
2
n
⋅T
⋅T
wobei p 1 , p 2 , ...., p n die Partialdrücke der Einzelgase in der Mischung bezeichnen
Addition der einzelnen Zustandsgleichungen ergibt
⎡
⎢
⎣
n
∑
⎤ ⎡
pi
⎥ ⋅ V = ⎢
⎦ ⎣
n
∑
m
⎤ ⎡
⋅ Ri
⎥ ⋅ T = m ⋅⎢
⎦ ⎣
i
i= 1
i=
1
i=
1
n
∑
μ ⋅ R
Gesamtdruck der Mischung entspricht der Summe der Partialdrücke
∑
p = p1 + p2
+ ..... + p n
= p i
n
i=
1
i
Partialdruck p i einer Komponente i ergibt sich aus dem Volumenanteil r i und dem Gesamtdruck p
p = r ⋅ p
i
i
i
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Folie 47 von 60
⎤
⎥
⎦
⋅T

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.9: Luft
Die Zusammensetzung von Luft unter Normalbedingungen besteht aus ca.
-Stickstoff: 78 % (Volumen)
- Sauerstoff: 21%
- Argon: 1%
Gesucht sind
- Molmasse M Luft
- Gaskonstante R Luft
- Dichte im Normzustand ρ n
- Partialdrücke der Komponenten p i
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Folie 48 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.5 Reale Gase
Verhalten realer Gase bei abnehmendem Druck entsprechend
lim
p→0
p ⋅ v
= 1
R ⋅T
⇒
Reale Gase verhalten sich bei niedrigen Drücken ähnlich wie ideale Gase
Korrektur des abweichenden Verhaltens bei höherem Drücken durch Realgasfaktor Z
⇒ Zustandsgleichung für reale Gase lautet somit
p ⋅ v
= Z ⇔ p ⋅ v = Z ⋅ R ⋅T
R ⋅T
Realgasfaktor Z ist eine Funktion in Abhängigkeit von jeweiligen Stoff, der Temperatur und Druck
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Folie 49 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken
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Folie 50 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.6 Dämpfe
Physikalische Eigenschaften entsprechen denen von Gasen,
Thermodynamisches Gleichgewicht ⇒ Zweiphasensystem
4.6.1 Dampfarten
Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses bei isobarer Erwärmung (d.h. dp = 0)
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Folie 51 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen bei p = const.
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Folie 52 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Naßdampf (Zweiphasengebiet) Bereich 2 bis 4
Schwerkraft bewirkt Bildung einer Trennfläche
zwischen der flüssigen und der gasförmigen
Phase (= gesättigter Dampf)
Überhitzter Dampf (Zustand 5)
Wasser liegt vollständig in der Gasphase vor
Wärmezufuhr ⇒ Temperaturanstieg
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Folie 53 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.6.2 Dampfdruckkurven
Bei Verdampfung unter konstantem Druck bleibt auch die Temperatur konstant ⇒ Druck und
Temperatur bilden Dampfdruckkurve p = p( T )
, beginnt am Schmelzpunkt, endet im kritischen Punkt
- Temperatur = Siedtemperatur
- Druck = Dampfdruck oder Sättigungsdruck
einer Flüssigkeit
Dampfdruckkurve p( T )
p = ist eine stoffspezifische
Größe und muß für jeden Stoff experimentell
ermittelt werden
Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe
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Folie 54 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.6.3 Grenzkurven
Sättigungsdampftafel:
Tabellarische Darstellung thermischer Daten von Dämpfen für technischen Anwendungen
- Dampfdruckkurve, Wertepaare des Sättigungsdrucks p s und der Sättigungstemperatur T s und
- spezifisches Volumen v' des Stoffes auf der Siedelinie
- spezifisches Volumen v'' des Stoffes auf der Taulinie
Zunehmender Sättigungsdruck p s ⇒ Verringerung der
Volumenzunahme Δ v = v′′
− v′
beim Übergang von der
flüssigen in die gasförmige Phase, verschwindet im
kritischen Punkt K vollständig
Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm
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Folie 55 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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4.6.4 Thermische Zustandsgleichung von Dampf
Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasengebiet dar, in dem die flüssige und die gasförmige Phase den
gleichen Druck und die gleiche Temperatur aufweisen,
⇒ Verknüpfung von Druck und Temperatur über Dampfdruckkurve
Vollständige Zustandsbeschreibung erfordert
- Druck
- Temperatur
- Mengenverhältnis der beiden Phasen.
Mengenverhältnis wird als Dampfgehalt x bezeichnet
m' Masse der flüssigen Phase
m'' Masse der gasförmigen Phase
m′′
m′′
x = =
m′
+ m′′
m
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Folie 56 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Für Punkte, die auf der linken Grenzkurve (Siedelinie)
liegen, gilt
m'' = 0 ⇒ x = 0
Für Punkte, die auf der rechten Grenzkurve (Taulinie)
liegen, gilt
m' = 0 ⇒ x = 1
⇒ Dampfgehalt x : 0 < x < 1
Restfeuchte oder Nässe
Flüssigkeitsanteil des Naßdampfes, der noch nicht in die gasförmige Phase übergegangen ist
1 −
m′
x =
m
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Folie 57 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Thermische Zustandsgleichung von Naßdampf
Volumenbilanz
V = V ′ + V ′
bzw.
m′
m ′′
m ⋅ v = m′
⋅ v′
+ m ′′ ⋅ v′′
⇔ v = ⋅ v′
+ ⋅ v ′′
m m
Definition der Restfeuchte
( − x) ⋅ v′
+ x ⋅ v ′′ = v′
+ x ⋅ ( v′′
− v )
v = 1
′
⇒ Naßdampfzustand läßt sich auf jeder Isobare durch die spezifischen Volumina v' und v'' in
Abhängigkeit vom Dampfgehalt beschreiben
Dampfgehalt x :
v − v′
x =
v′′
− v′
Thermischer Zustand des Naßdampfes läßt sich beschreiben durch die Funktion v = v( p( T ),
x)
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Folie 58 von 60

Thermodynamik Zustandsgleichungen
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Ü 4.10: Wasser
Für eine Sättigungstemperatur von 25°C sind für Wasser folgende Größen zu bestimmen:
- Sättigungsdruck p s
- Spezifische Volumina auf der Siede- und Taulinie v' und v''
- Spezifisches Volumen v für einen Dampfgehalt von x = 37%
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Folie 59 von 60