Grenzwerte von Funktionen - auf Matthias-Draeger.info

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
f I \ a I sei ein Intervall aI
(An der Stelle a muss f nicht definiert sein.)
• Die Funktion hat an der Stelle a den Grenzwert c, wenn
für jede Folge x mit x I \ a, die gegen a
konvergiert, gilt:
lim fx c
Schreibweise:
lim fx c bzw. lim fx c
• f hat einen linksseitigen Grenzwert c, wenn die Aussage für alle Folgen x mit x gilt.
• rechtsseitiger Grenzwert analog
Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen übertragen sich:
lim
fx gx
limfx limgx
W G ,
G .
limfx ·gx limfx ·limgx
fx lim fx
lim
gx
sofern lim gx 0
lim gx
Bemerkung: Die Definition des Grenzwertes einer Funktion lässt sich auch auf uneigentliche
Grenzwerte c ∞ oder auf a ∞ anwenden.
Beispiele:
lim
0
lim
?
lim
∞
lim
∞
Satz:
(Vergleichskriterium)
Wenn fx gx hx x I \ a und lim fx lim hx c,
dann gilt lim gx c.
Anwendung: gx
x0
Vergleich der Flächen:
inneres Dreieck Kreissektor äußeres Dreieck
1
2 sin x · cos x 1 2 ·x1 2 ·tanx1 2 · sin x
cos x
cos x
x
sin x 1
cos x
1
cos x sin x cos x gilt auch für x 0
x
1
lim
cos x 1
lim
sin x
cos x 1 lim 1
x
2