Stetigkeit auf abgeschlossenen Intervallen, Zwischenwertsatz ...

13.Vorlesung MafI II, SoSe 2008, 03.06.2008
Thema:
Stetigkeit auf abgeschlossenen Intervallen, Zwischenwertsatz,
Gleichmäßige Stetigkeit, Asymptotisches Wachstum und O-Notation
Stetige Ergänzung
Beispiel:
fx
für x = 0 nicht definiert
f x
für x 0
1 für x 0
gx sin für x = 0 nicht definiert
→ Die Funktion hat keinen Grenzwert, deshalb ist
keine Ergänzung möglich.
Erweiterung des Definitionsbereiches an einer Stelle, wo f(x)
eigentlich nicht definiert ist, aber einen Grenzwert hat.
hx x 2x1
x1
x1
Definition
I
fI heißt stetig (im Intervall I), wenn f an jeder Stelle a I stetig ist.
Summe und Produkt stetiger Funktionen sind stetig. Der Quotient
ist stetig, wenn gx 0
Seien f I und g J stetig, dann ist auch h(x) = f(g(x)) stetig, sofern fI J.
Beispiele stetiger Funktionen: f x c f x x
Rationale Funktionen
, wobei p(x), q(x) Polynome sind
→ sind stetig an allen Stellen, wo qx 0
exp, sin, cos sind auch stetig.
Wichtige Eigenschaften von Funktionen, die auf einem abgeschlossenen Intervall I = [a,b] stetig sind
(ohne Beweise)
1) Jede solche Funktion ist beschränkt
K x a x b |fx| K
2) Jede solche Funktion nimmt ich Maximum und ihr Minimum an:
x ,x IxIfx fx fx
3) Zwischenwertsatz: Jeder Wert zwischen f(x)
und f(b) wird angenommen.
c fa cfb xIfx c
4) Gleichmäßige Stetigkeit
ε 0 δ 0 x, x I|x x| δ
|fx fx |
Zum Vergleich: Stetigkeit
x I ε 0 δ 0 x I
1

O-Notation
Asymptotische Laufzeit von Algorithmen
Beispiel:
Binäre Suche
Laufzeit (Anzahl Vergleiche) log n
Die Laufzeit der Binärsuche in n Werten ist von der Ordnung log n → Οlog n
Definition
f(n) und g(n) seien zwei Funktionen
fn Οgn cn nn fn c·gn
obere Schranke:
fn Ωgn c0n nn fn c·gn
untere Schranke:
fn Θgn fn Οgnfn Ωgn
Laufzeit eines Algorithmus sei fn 23,5n 12n 4000 (in ms)
fn Οn (n ist der dominierende Term für n ∞)
Οn k = konstant polynomielle Laufzeit
a n a n a Οn
Aber: Die Gleichungen mit Ο-Notation dürfen nur von links nach rechts gelesen werden.
3n Οn 20n Οn 3n 20n
Eigentlich ist Οgn eine Menge von Funktionen und man müsste fn Οgn statt
fn Οgn schreiben.
Für Funktionen f(n) und Οgn mit positiven Werten gilt: (ist beschränkt)
fn Οgn fn
gn gn Ωfn
Insbesondere
Wenn lim existiert, dann ist fn Οgn
log n Οlog n
log n log n
log b Οlog n
Basis des Logarithmus spielt bei Ο-Notation keine Rolle. Οlog n
Definition
starke obere und untere Schranken
fn οgn c0n n nfn c·gn
fn gn c0n nn fn c·gn
fn Οgn
fn οgn
fn Ωgn
fn gn
fn Θgn
fn wächst höchstens so stark wie gn
fn wächst echt weniger stark als gn
fn wächst mindestens so stark wie gn
fn wächst echt stärker als gn
fn wächst genauso stark wie gn
fn
fn οgn lim 0gn fn
gn
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