Komplexe Zahlen , konjugierte komplexe Zahl, Polarform, Moivre ...
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5.Vorlesung MafI II, SoSe 08, 29.04.2008<br />
Thema: <strong>Komplexe</strong> <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> , <strong>konjugierte</strong> <strong>komplexe</strong> <strong>Zahl</strong>, <strong>Polarform</strong>, <strong>Moivre</strong>’sche Formel<br />
Definition:<br />
Eine <strong>komplexe</strong> <strong>Zahl</strong> ist ein Paar (a,b) von reellen <strong><strong>Zahl</strong>en</strong>.<br />
Menge der <strong>komplexe</strong>n <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> <br />
Rechenregeln:<br />
a, b c, d ac,bd<br />
a, b · c, d ac bd, ad bc<br />
a = Realteil = Re z<br />
b = Imaginärteil = Im z<br />
Indem man Realteil und Imaginärteil als Koordinaten interpretiert,<br />
kann man <strong>komplexe</strong> <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> als Punkt in der Gauß’schen<br />
<strong><strong>Zahl</strong>en</strong>ebene darstellen.<br />
Satz: Die <strong>komplexe</strong>n <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> bilden mit + und · einen Körper mit dem Nullelement (0,0) und<br />
Einselement (1,0).<br />
Die reellen <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> sind in „enthalten“ als die <strong>komplexe</strong>n <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> mit Imaginärteil = 0.<br />
Die <strong>komplexe</strong> <strong>Zahl</strong> (0,1) heißt die imaginäre Einheit und wird mit i (manchmal auch j) bezeichnet.<br />
Schreibweise: a, b ab<br />
a, b <br />
Nachrechnen: a ba, 0 0, b · 0,1 a, 0 0, b a,b<br />
·0,1 · 0,1 1,0 1<br />
In den <strong>komplexe</strong>n <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> hat die Gleichung x 1 eine Lösung: „ √1“<br />
Tatsächliches Rechnen mit <strong>komplexe</strong>n <strong><strong>Zahl</strong>en</strong>:<br />
• Verwendung der Darstellung a b<br />
• Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz<br />
• Vereinfachen mit der Regel 1<br />
a b · c d ·ca·db·cb·dac bd adbc·<br />
Nachprüfen der Körpereigenschaften:<br />
„+“: assoziativ, kommutativ, Nullelement (0,0),<br />
inverses Element: a, b a,b bzw. a b ab<br />
„·“: assoziativ, kommutativ, Einselement (1,0)<br />
inverses Element: a b <br />
Definition: a, b <br />
,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a, b 0,0<br />
<br />
<br />
<br />
· <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1
Die <strong>konjugierte</strong> <strong>komplexe</strong> <strong>Zahl</strong> zur <strong>komplexe</strong>n <strong>Zahl</strong> ab ist die <strong>Zahl</strong> z ab.<br />
Rechenregeln für <strong>komplexe</strong> <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> u + v:<br />
uv uv u u<br />
u·v u·v u u <br />
u u<br />
uu2·Re u uu2·Im u<br />
u·ua b <br />
Die <strong>Polarform</strong> von <strong>komplexe</strong>n <strong><strong>Zahl</strong>en</strong> ist die geometrische Interpretation von Addition und<br />
Multiplikation.<br />
Die Länge des Vektors vom Ursprung zum Punkt ab nennt man den Betrag von z<br />
|| √a b .<br />
Den Winkel zwischen dem Vektor und der positiven reellen<br />
Achse nennt man das Argument von z:<br />
φargz arctan (gemessen gegen Uhrzeigersinn)<br />
<br />
φ 90° für a = 0<br />
ab·cos φ · sin φ r·e <br />
|u ·v| |u|·|v|<br />
argu·vargu·argv<br />
Beweis durch Nachrechnen und Anwendung von Summenformeln für sin und cos.<br />
Nachprüfen von |u ·v| |u|·|v|:<br />
|a b · c d| |a b| · |c d|<br />
ac bd adbc·<br />
ac bd adbc a b · c d a c a d b c b d <br />
de <strong>Moivre</strong>’sche Formeln<br />
cos x · sin x cosn ·x ·sinn ·x<br />
Herleitung:<br />
cos nα cos α 2 cos α·sin α 4 cos α·sin α 6 cos α·sin α<br />
sin nα 1 cos α·sinα 3 cos α·sin α 5 cos α·sin α<br />
2