6) Die einfachsten statisch bestimmten Träger - Goepf.bettschen.org

BAULEITER HOCHBAU
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E
6) DIE EINFACHSTEN STATISCH
BESTIMMTEN TRAEGER
1) Definition für statisch bestimmte Systeme
2) Auflagerreaktionen beim einfachen Balken
3) Schnittkräfte beim einfachen Balken
a) Die inneren Kräfte
b) das Biegemoment
c) Die Querkraft
d) Zusammenhang zwischen
Querkraft und Biegemoment
e) Die Normalkraft
4) Der Kragträger
5) Balken mit Kragarmen
a) Balken mit einem Kragarm
b) Balken mit beidseitigen
Kragarmen
c) Ungünstige Laststellungen
und Grenzwerte
Göpf Bettschen

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 2
1) Definition für statisch bestimmte Systeme
Zur Bestimmung der Auflagerunbekannten stehen drei statische
Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:
V = 0 ; H = 0 ; M = 0 ;
Ein Träger heisst daher statisch bestimmt gelagert (äusserlich statisch bestimmt), wenn
nicht mehr als drei unbekannte Auflagerstücke vorhanden sind.
F
AH
Av
Länge l
Bv
fest
beweglich
Soll also ein Träger auf zwei Stützen statisch bestimmt gelagert werden,
so muss er ein festes und ein bewegliches Auflager erhalten, denn nur
dann sind im ganzen 2 + 1 = 3 Auflagerunbekannte vorhanden.
Statisch unbestimmt nennt man dagegen einen Träger, wenn mehr als drei
unbekannte Grössen auftreten,
Statisch unbestimmte Systeme
4 Unbekannte 6 Unbekannte 4 Unbekannte
So bezeichnet man z.B. einen Träger mit zusammen sechs unbekannten
Auflagerreaktionen als 6 - 3 = 3 - fach statisch unbestimmt.
Die aus den Gleichgewichtsbedingungen nicht bestimmbaren Grössen müssen dann mit
Hilfe von Elastizitätsgleichungen, die hier nicht behandelt werden, aus den
Formänderungen der Träger berechnet werden.
Ein System gilt dann als statisch bestimmt, wenn seine
Auflagerreaktionen mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der
Ebene bestimmt werden können.

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2) Auflagerreaktionen beim einfachen Balken
Unter dem Begriff 'einfacher Balken' versteht man einen Balken, der statisch bestimmt
gelagert ist, d.h. seine Auflagerreaktionen können mit den drei Gleichgewichtsbedingungen
der Ebene bestimmt werden.
Er kann auch Kragarme aufweisen.
Die Lagerung wird sichergestellt durch ein festes und ein bewegliches Lager.
Das feste Lager kann sowohl horizontale wie auch vertikale Kräfte aufnehmen.
Das bewegliche Lager, richtig ausgeführt mittels einer Rolle, kann nur Kräfte auf der
Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte Balken-Rolle , Rolle-Lager aufnehmen
(abgesehen von Reibungskräften).
Wir haben am einfachen Balken also drei unbekannte Auflagerkräfte;
damit der Balken in Ruhe bleibt müssen diese Auflagerkräfte mit der
Belastung im Gleichgewicht sein.
Zur Bestimmung dieser drei unbekannten Auflagerkräfte stehen uns die drei
Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung. Wir erhalten also drei Gleichungen
mit drei Unbekannten; das zeigt uns, dass der einfache Balken statisch bestimmt gelagert
ist.
Analytische Bestimmung der Auflagerdrücke
(Auflagerreaktionen, Auflagerkräfte)
Die drei Auflagerkräfte beim einfachen Balken sind mit der Belastung im Gleichgewicht.
Zur Bestimmung dieser drei unbekannten Auflagerkräfte stehen uns die drei
Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung.
AH
F
Summe V = 0
Av
Länge l
Bv
Summe H = 0
Summe M = 0
A B
Die Auflagerreaktionen könnten auch graphisch bestimmt werden (siehe Kapitel
‚Gleichgewicht von Kräften’).
Auf diese Methode wird hier aber nicht mehr eingegangen.

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Beispiele zur analytische Bestimmung der Auflagerdrücke
A
Beispiel a)
F1 F2 F3
60°
1.0 2.0 1.0 2.0
6.0 m
B
F1 = 25 kN
F2 = 40 kN
F3 = 15 kN
1) Aufteilung F2 in Horizontal- und
Vertikalkomponeneten
graphisch
F2
60˚
F2
V
oder anaytisch:
F2 H = 40 ∙ cos 60˚ = 20.00 kN
F2 V = 40 ∙ sin 60˚ = 34.64 kN
F2 H
2) Neues System, jetzt nur noch mit Vertikal- und Horizontalkräften
25 kN 34.64 kN 15 kN
A H
20 kN
A V
1.0 2.0 1.0 2.0
B V
3) Berechnung der Auflagerreaktionen
I) Horizontalkräfte
∑H = 0
A H = 20 kN
II) Vertikalkräfte
Av = ∑ F ∙ x’ / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager B,
geteilt durch den Abstand von A zu B)
Av = (25 ∙ 5.0 + 34.64 ∙ 3.0 + 15 ∙ 2.0) / 6.0 = 43.15 kN
Bv = ∑ F ∙ x / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager A,
geteilt durch den Abstand von A zu B)
Bv = (25 ∙ 1.0 + 34.64 ∙ 3.0 + 15 ∙ 4.0) / 6.0 = 31.49 kN
III) Kontrolle mit Summe aller vertikalen Kräfte
Av + Bv + ∑F
43.15 + 31.49 – 25 – 34.64 – 15 = 0 → o.k.

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Beispiel b
Beispiel c

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Beispiel d
Beispiel e

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3) Schnittkräfte beim einfachen Balken
a) Die inneren Kräfte
Ein Stab wird in Achsrichtung durch zwei gleich grosse, entgegengesetzt wirkende Kräfte F
belastet.
Weil sich der ganze Stab im Gleichgewicht befindet, muss das auch für jeden seiner Teile
zutreffen. Wenn wir also in Gedanken den Stab durch einen Schnitt
s---s in zwei Teile zerlegen, muss jeder der beiden Teile für sich im Gleichgewicht sein.
Das ist nur möglich, wenn wir uns an den Schnittstellen Kräfte wirkend denken, die den an
dem betreffenden Teil angreifenden äusseren Kräften das Gleichgewicht halten.
Diese Kräfte werden von den Molekülen zu beiden Seiten der gedachten Schnitflächen
aufeinander ausgeübt und heissen innere Kräfte.
Sie werden durch einen wirklich geführten Schnitt zerstört, die beiden Stabhälften sind
dann, voneinander getrennt betrachtet, nicht mehr im Gleichgewicht.
Die am linken Teil angreifende Kraft muss entgegengesetzt gleich gross sein wie die
innere Kraft am rechten Teil. Aus der Bedingung, dass jeder Teil im Gleich-gewicht sein
muss, sehen wir, dass jede dieser inneren Kräfte die Grösse F hat und in die Stabachse
fällt.
Die gleichen Ueberlegungen wie beim Zugstab können wir auch beim beliebig belasteten
Träger anstellen.
Durch die Auflagerkräfte A und B ist der Körper im Gleichgewicht.
Trennen wir nun wieder durch einen gedachten Schnitt s - s einen Körperteil ab, so muss
auch dieser Teil im Gleichgewicht sein.
Aus diesen Überlegungen können nun die Formeln für die sogenannten Schnittkräfte
abgeleitet werden:
Das Moment M, die Normalkraft N und
die Querkraft V bezeichnet man als
Schnittkräfte; sie geben uns später
über die Materialbeanspruchung
Aufschluss und sind deshalb wichtige
Bemessungswerte.
Ri
.
a
Ri
s
S
M
s V
N

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b) Das Biegemoment
M = a ∙ Ri ( Ri = innere Resultierende)
M = - a ∙ Ri → weil Ri = - Rl
M = - a ∙ Ri = A ∙ ea + Fl ∙ ep
M = Summe Fi ∙ ei
(links oder rechts vom Schnitt)
Die Ableitungen zur Berechnung von Biegemomenten zeigen (hier wird darauf verzichtet),
dass das Biegemoment eines bestimmten Schnittes gleich der Summe aller statischen
Momente aller Kräfte links oder rechts vom Schnitt ist.
Das heisst: das im Schnitt wirkende Moment ist mit dem Moment der äusseren
Kräfte im Gleichgewicht.
Für die Bemessung eines Tragwerkes ist es nun wichtig, den Schnitt mit der grössten
Momentenbeanspruchung zu kennen. Man muss also für verschiedene Schnitte die
Momente ausrechnen und diese an den betreffenden Stellen abtragen.
Durch Verbindung dieser Punkte erhält man die sogenannte Momentenlinie.
Oft kann aber auch nach den Regeln der analytischen Geometrie auf die Form der
Momentenlinie geschlossen werden.
Vorzeichenregel :
Für einfach gelagerte Balken bezeichnet man Momente welche auf der
unteren Seite des Balkens Zug erzeugen als positive Momente, und Momente
welche auf der oberen Seite des Balkens Zug erzeugen als negative
Momente.
F F F
+
-
A
Momentenlinie
B

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Beispiele Momentenberechnung

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Fortsetzung Momentenberechnung
Lösung zu Beispiel a)
Lösung zu Beispiel b)
Lösung zu Beispiel c)

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Lösung zu Beispiel d)
Momentenfläche
Lösung zu Beispiel e)

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Lösung zu Beispiel f)
Lösung zu Beispiel g)

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c) Die Querkraft
Neben dem Biegemoment gibt es ja noch die weiteren Schnittkräfte 'Querkraft' und
'Normalkraft'.
Die Querkraft entspricht der zum Schnitt parallelen Komponente der inneren
Resultierenden, wenn der Schnitt senkrecht zur Schwerachse gelegt wird.
Die Querkräfte stehen also quer zur Balkenachse und versuchen eine Querverschiebung
zwischen den Schnittebenen zu bewirken.
AH
F
1 2
Av
Bv
A
B
Schnitt 1 Schnitt 2
AH
Av
1
V
V
Fv
F
FH 2
AH
Av
1
F
V 2
V
A
Bv
A
Bv
B
F
1 2
B
Der Verlauf der Querkraft über
ein Tragwerk wird mit einer
sogenannten Querkraftlinie -
oder Fläche angegeben.
AH
Av
Definition der Querkraft
Die Querkraft V für eine Schnittstelle ist gleich der Summe aller senkrecht zur
Balkenachse wirkenden Kräfte links oder rechts vom Schnitt.
Vorzeichenregel
Liegt das Körperinnere in Richtung der Querkraft gesehen rechts von ihr, so
bezeichnet man sie als positiv.
Liegt das Körperinnere in Richtung der Querkraft gesehen links von ihr, so
bezeichnet man sie als negativ.
A
+
-
B
Bv
v
Übungen zur Querkraftberechnung
gleiche Beispiele wie bei Momentenberechnung

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 15
Lösung zu Beispiel a)
Lösung zu Beispiel b)

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 16
Lösung zu Beispiel c)
Lösung zu Beispiel d)

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 17
Lösung zu Beispiel e)

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d) Zusammenhang zwischen Querkraft und Biegemoment
F1 F2 F3
A
Länge l
B
+
-
Querkraftfläche
+
Momentenfläche
Geht M / x gegen Null, so wird tg oder gleich Null werden, was einem Maximum
oder Minimum der Momentenkurve entspricht.
Die Momentenlinie
weist dort ein
Maximum oder
Minimum auf, wo die
Querkraft gleich Null
ist.
Anwendungsbeispiel

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 19
Berechnung von Biegemomenten mit der Querkraftsfläche
Die Biegemomente können auch als eine Funktion der Querkraftfläche bestimmt werden:
Das Biegemonent an der Stelle x
entspricht der Querkraftfläche vom Auflager bis zur Stelle x.
Anhand der schon in den vorherigen Beispielen berechneten Querkräften und
Biegemomenten ist diese Berechnungmethode hier dargestellt:

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 20
e) Die Normalkraft
Definition :
Die Normalkraft N für eine Schnittstelle ist gleich der Summe aller parallel zur
Balkenachse wirkenden Kräfte links oder rechts vom Schnitt.
Vorzeichenregel :
Zugkräfte werden als positiv ( + ), Druckkräfte als negativ ( - ) bezeichnet.
Beispiele :

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4) Der Kragträger
a) Kragträger mit einer Einzellast
b) Kragträger mit mehreren Einzellasten
d) Kragträger mit beliebiger Belastung

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Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 23
5) Balken mit Kragarmen
a) Balken mit einem Kragarm
Statt Theorie, wird das Vorgehen anhand der Berechnung an Beispielen gezeigt:
Variante
Berechnung vom max. Biegemoment über die Querkraftsfläche:
Mmax bei V= 0, also bei x= 2.00 m, bzw Mmin bei Auflager B
Mmax= 1.88 x 2.00 = 3.76 kNm
MB = 1.88 x 2.00 – 1.20 x 8.12 = - 5.9 kNm = - 6.0 kNm (Rundungsfehler)

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Träger mit gleichmässig verteilter Last
Variante
Berechnung vom max. Biegemoment
über die Querkraftsfläche:
Mmax bei V= 0, also bei x= 1.68 m
bzw Mmin bei Auflager B
Mmax= 0.5 x 10.08 x 1.68 = 8.47 kNm
MB =
0.5 x 10.08 x 1.68 – 0.5 x13.92 x 2.32
= - 7.68 kNm

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 25
b) Balken mit beidseitigen Kragarmen
Träger mit zwei überkragenden Enden sind sinngemäss wie Träger mit einem Kragarm zu
behandeln.
Lasten auf den Kragarmen veringern das Feldmoment, entlasten die gegenüberliegende
Stütze und vergrössern den Druck für die benachbarte Stütze.
Beispiel :
Balken mit beidseitigen Kragarmen und gleichmässiger Belastung

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 26
Fortstzung: Balken mit beidseitigen Kragarmen und gleichmässiger Belastung
Variante
Berechnung vom max.
Biegemoment über die
Querkraftsfläche:
Mmax bei V= 0,
also bei ca. x= 2.31 m
Mmax = - 0.5 x 20.0 x 2.00
+ 0.5 x 23.12 x 2.31 = 6.7 kNm
Gerundet ca. 6.5 kNm

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 27
Balken mit beidseitigen Kragarmen und gemischter Belastung
Dieses Beispiel dient nur zur Information und gehört nicht zum Pflichtstoff
Beispiel :
Balken mit beidseitigen Kragarmen und gemischter Belastung
Schritt 1: Berechnung der Auflagerkräfte
Schritt 2: Berechnung der Querkräfte
Schritt 3: Berechnung der Biegemomente

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 28
c) Ungünstige Laststellungen und Grenzwerte
Beim einfachenTräger auf zwei Stützen erhält man die grössten Stützkräfte und die
grössten Biegemomente, wenn der Träger vollbelastet wird.
Weil die Nutzlast aber meist nicht unbedingt zwingend auf dem ganzen Träger wirkt,
müssen bei Träger mit Kragarmen (allgemein bei Trägern mit mehreren Feldern) die
verschiedenen Nutzungszustände untersucht werden.
Wir begnügen uns aber, wie im Hochbau üblich, mit feldweise veränderlichen Lasten.
Beim Träger auf zwei Stützen mit ein oder zwei Kragarmen erhält man die ungünstigsten
Werte der Auflagerdrücke nicht bei Vollast, sondern für die veränderliche, wechselnde
Nutzlast bei Teilbelastungen. Um die grössten Schnittkräfte zu erhalten, müssen nun
verschiedene Laststellungen untersucht werden.
Bei einem Träger mit zwei Kragarmen und gleichmässig verteilter Belastung können wir
folgende mögliche Laststellungen unterscheiden:
a) Träger auf zwei Stützen mit Kragarmen mit
gleichmässig verteilter Belastung
(Eigengewicht g, Nutzlast q)
Eigengewicht g
Nutzlast q
l 1
A
l 2 l 3
B
b) Nutzlast nur im Feld (l 2 ) ergibt das grösste
Feldmoment Mf max .
c) Nutzlast nur auf l 1 : grösstes negatives M A
und kleinstmögliche Auflagerkraft B (ev.
negativ).
d) Nutzlast nur auf l 3 : grösstes negatives M B
und kleinstmögliche Auflagerkraft A (ev.
negativ).
e) Nutzlast auf l 1 und l 3 ergibt minimales
Feldmoment (ev. negativ).
f) Nutzlast auf l 1 und l 2 ergibt A max (Lastfall b
und c).
g) Nutzlast auf l 2 und l 3 ergibt B max (Lastfall b
und d).
Weil der Lastfall Eigengewicht immer vorhanden ist, kann man ihn auch getrennt
berechnen und die Werte dann mit den entsprechenden Ergebnissen aus den Nutzlasten
überlagern.

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 29
Beispiel: Ungünstige Laststellungen beim Träger mit zwei Kragarmen
Eigengewicht HEB 300: 117 kg/m’
a) Lastfall: Nur Eigengewicht g k = 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’
b) Lastfall: Eigengewicht (g k =2.0 kN/m’) und Nutzlast (q k = 4.0 kN/m’) auf Innenfeld
c) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld links

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 30
d) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts
e) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts und links
f) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld links und Feld mitte

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 31
g) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf Feld rechts und Feld mitte
h) Lastfall: Eigengewicht und Nutzlast auf ganzem Träger feldweise wirkend
(mit Berücksichtigung der verschiedenen Nutzungszustände)
Die maximalen Schnittkräfte erhält man durch Überlagerung der verschiedenen
Nutzungszustände.

Statik - Einfach statisch bestimmte Träger - göpf bettschen - Seite 32
Ungünstige Laststellungen bei einer rollenden Last
Beispiel (Die Last 10 kN tritt immer nur an einem Ort auf)
Die Berechnung der Schnittkräfte wird jeweils für eine Laststellung an einem extremen Ort
ausgeführt.