Praxisleitfaden Qualität - M-QM

Praxisleitfaden Qualität
Walter Jahn, Lorenz Braun
Prozessoptimierung mit multivariater Statistik in 150
Beispielen
ISBN 3-446-40616-6
Leseprobe
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser.de/3-446-40616-6 sowie im Buchhandel

5 Qualität in der Fertigung
Dieses Kapitel ist zweifelsfrei für den Nutzer aus der Fertigung das wichtigste, da in diesem
grundsätzliche Fragen, wie z. B.
• Was ist Qualität?
• Was besagen die Bezeichnungen Produktqualität, Prozessqualität und Lieferantenqualität?
• Wie kann die Qualität für Vergleiche messbar gemacht werden?
• Wie können Sie die Kundenanforderungen spezifizieren?
• Was ist Fähigkeit?
• Wie können Sie die Fähigkeit ermitteln?
• Wie können Sie aufgrund der Fähigkeiten entscheiden?
• Welche Entscheidungsmöglichkeiten haben Sie?
• Was heißt Prozessverbesserung?
• Was ist eine Prozessgleichung?
• Wie können Sie mit der Prozessgleichung die Prozesse steuern?
• Wie können Sie die Ergebnisse der statistischen Prozessanalyse und Steuerung der Prozesse
in die Praxis überführen?
beantwortet werden.
Zur Beantwortung dieser und zahlreicher anderer Fragen müssen wir strukturiert vorgehen,
um die komplizierte Materie für Sie so aufzubereiten, damit Sie die Methoden zur notwendigen
Lösung Ihrer betrieblichen Probleme anwenden und vor allem deren Ergebnisse zum Nutzen
für das Unternehmen interpretieren können.
5.1 Was ist ein Produkt ?
Das Ergebnis jeder Tätigkeit und jedes (Herstellungs- oder Dienstleistungs-) Prozesses ist ein
Produkt.
Das Produkt kann z. B. ein Nahrungsmittel sein, oder es ist ein Teil für die Weiterverwendung
in umfassenderen Produkten, wie z. B. der Motor für ein Auto usw. Das Produkt kann aber
auch eine Dienstleitung, z. B. eine Taxi-Fahrt oder die Bestellung von Materialien für die Herstellung,
der Vertrieb der Produkte usw. sein.
Jedes Produkt wird auf einem Markt realisiert, d. h. angeboten und gekauft. Aber damit ein
Produkt gekauft wird, muss es Anforderungen von Kunden erfüllen. Diese Anforderungen werden
häufig durch Eigenschaften charakterisiert, so z. B. muss ein PKW modern sein, geringen
Benzinverbrauch haben, ständig einsatzbereit sein. Die Eigenschaften werden z. B. auch für
Produktweiterentwicklungen durch die WAS Fragen ermittelt.

156 5 Qualität in der Fertigung
Eigenschaften sind aber häufig nicht oder nicht einfach zu messen. Daher müssen die Eigenschaften
parametrisiert werden. Oft sind die Parameter physikalisch, chemisch, biologisch oder
ökonomisch stetig messbare Variablen. Der Spritverbrauch beim PKW ist ein physikalisch
messbarer Parameter. Die Eigenschaft „modern“ muss aber erst noch in solche Parameter
übersetzt werden. Modern könnte sich auf die Elektronik im PKW beziehen und die Motorsteuerung
oder die Klimaanlage betreffen. Diese Aggregate können dann durch eine Vielzahl
von Variablen parametrisiert werden.
Die Ausprägungen der Variablen, d. h. welche Werte sollen die Variablen annehmen, werden
unter der Frage WIE z. B. bei QFD charakterisiert.
Die immense Vielzahl verschiedener Produkte, die unterschiedlichen Anforderungen an die
Produkte und die zahlreichen Weiterverwendungen der Produkte zwingen uns dazu, eine
Ordnung in diese riesige Menge und den unterschiedlichen Sprachgebrauch zu bringen.
Daher vereinbaren wir, dass ein Produkt durch m, m ≥ 1 Produktvariable Y 1 , …, Y m beschrieben
wird.
Die Produktvariablen sind Realisierungen von Zufallsgrößen. Das wird deutlich, wenn wir uns
ein konkretes Produkt anschauen.
Beispiel 5.1.1: Ziegelsteinherstellung. Nicht unabhängige Zufallsgrößen
Ein Ziegelstein besteht aus einer Mischung aus Lehm, Kalk, Feldspat und gewissen Additiven.
Die Verteilung der Komponenten wird auch nach sehr langer Mischzeit nicht völlig
homogen sein.
Die geformten Ziegelsteine werden in Stapeln auf Paletten geschichtet und langsam durch
einen Brennofen gefahren.
Das heterogene Gemisch aus verschiedenen Komponenten, die unterschiedliche Lage eines
Ziegelstein im Stapel, die unterschiedlich lange Dauer der Ofenreise und die damit verbundene
unterschiedliche Temperaturkapazität pro Stein führen dazu, dass die Produktvariablen
des Ziegelsteins, wie die Bruchfestigkeit, die geometrischen Abmessungen, das Gewicht usw.
selbst für eine „gleichbehandelte“ Charge in gewissen Grenzen schwanken. Die Messwerte
für die Produktvariablen sind zufallsbehaftet, d. h. die Messwerte haben einen mehr oder
weniger großen zufälligen Fehler.
Die Produktvariablen sind nicht unabhängig voneinander, sondern sie sind mehr oder weniger
stark miteinander korreliert. Diesen Sachverhalt können Sie sich anhand der Abbildung 5.1.1
verdeutlichen.
r 12
Y 2 ±Δ Y 2
Y 1
r 23
r 13
Y 3
Abb. 5.1.1: Korrelative Abhängigkeiten für Produktvariable

5.1 Was ist ein Produkt?
157
Diese Abbildung zeigt Ihnen, dass sich z. B. die Veränderung des Wertes von Y 2 um den Betrag
ΔY 2 sowohl auf Y 1 als auch auf Y 3 auswirken kann. Die „Größe“ dieser Abhängigkeiten,
besser der Grad der linearen Abhängigkeiten zwischen jeweils zwei Zufallsvariable wird durch
den Korrelationskoeffizienten r jk , j, k = 1,2,3 gemessen. Das sind dimensionslose Zahlen, die
zwischen –1 und +1 liegen. Sind zwei Variablen unabhängig voneinander, dann ist der Korrelationskoeffizient
gleich null.
Beispiel 5.1.2: Dämpfung der Motorvibration. Abhängigkeiten
Für die Dämpfung der Motorvibration werden Hydrolager verwendet. An diesem Produkt
werden viele Produktvariablen gemessen. Wir wollen hier nur die beiden Produktvariablen
Y 1 = dynamische Steifigkeit [N/mm] und Y 2 = Phasenverschiebung [Φ] betrachten Mit den
Daten aus einer großen Stichprobe wurde die dreidimensionale Häufigkeitsverteilung in
Abbildung 5.1.2 gezeichnet.
Was können Sie aus der Abbildung 5.1.2 ablesen?
•
•
•
Die Werte für die beiden Produktvariable streuen sehr stark. Das ist ein Ausdruck für
den zufälligen Charakter der Produktvariablen.
Es gibt viele Ausreißer.
Die Grundfläche der Häufigkeitsverteilung, d. h. die Punktwolke für die Messwertpaare,
ausgedrückt durch das Streudiagramm in Abbildung 5.1.3, ist offensichtlich nicht kreisförmig,
sondern elliptisch umrissen. Das zeigt Ihnen, dass die beiden Produktvariablen
nicht unabhängig voneinander sind.
Abb. 5.1.2: Dreidimensionale Häufigkeitsverteilung für zwei Produktvariablen eines Hydrolagers

158 5 Qualität in der Fertigung
250
CDYN
200
150
100
0 10 20 30 40 50 60
PHASE
Abb. 5.1.3: Streudiagramm für die hydraulischen Motorlager
Aus Abbildung 5.1.2 und Abbildung 5.1.3 müssen Sie die Schlussfolgerungen ziehen,
dass
• die Daten aufbereitet werden müssen; Ausreißer sind zu erkennen und zu eliminieren,
• jeder Prozess zu Herstellung eines Produktes gesteuert werden muss, um die vielen
Ausreißer zu vermeiden und die Streuung zu reduzieren.
Für die Steuerung benötigen Sie Zielwerte und zulässige Streuintervalle für die Produktvariablen
und eine Prozessgleichung.
5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in
Ordnung sind oder verbessert werden müssen?
Die konkreten Produktdarstellungen zeigen Ihnen, dass
• jedes Produkt durch die Angabe von Sollwerten und Toleranzgrenzen für alle nicht unabhängigen
Produktvariablen präzisiert werden muss – man spricht in diesem Zusammenhang
von der Spezifizierung aller relevanten Kundenanforderungen und
• ein Kriterium gesucht wird, nach dem entschieden wird, ob ein Produkt simultan alle
relevanten Kundenanforderungen erfüllt oder der Prozess verbessert werden muss.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
159
5.2.1 Was ist ein modernes Produktaudit ?
Audits im Qualitätsmanagement sind durch die Unternehmensleitung initiierte, systematische
und unabhängige Qualitätsprüfungen, um festzustellen, ob die qualitätsbezogenen Tätigkeiten
den geplanten Anforderungen entsprechen, ob diese Anforderungen tatsächlich verwirklicht
sind und ob sie geeignet sind, die Ziele zu erreichen (Linß [2005, 393]). Nach Linß wird in
Systemaudits, Produktaudits und Prozessaudits unterschieden.
Durch das Produktaudit soll nach ISO 9000: 2000 ff. und Linß [2004, 394] die Übereinstimmung
der Ausführung von Produkten mit den festgelegten Qualitätsforderungen untersucht
und beurteilt werden.
Die beiden Seiten eines Audits, nämlich die
•
•
Anforderungen und
der Istzustand eines Produktes
müssen quantifiziert werden. Das Gleiche gilt für die Beurteilung der Übereinstimmung, damit
z. B. Übereinstimmungen verglichen werden können, um festzustellen, ob Verbesserungsmaßnahmen
wirksam waren. Zu diesem Zweck zählen wir zum „modernen“ Produktaudit
die Aktivitäten:
1. Zusammenstellung der (ex- und/oder internen) Kundenanforderungen zu einem Kunden-
Anforderungs-Profil (KAP),
2. Parametrisierung der Kundenanforderungen durch die Produktvariablen,
3. Datensammlung für alle Produktvariablen,
4. Zusammenstellung der Sollwerte und Toleranzgrenzen; falls erforderlich muss die statistische
Tolerierung für alle nicht unabhängigen Produktvariablen durchgeführt werden,
5. Nachweis der simultanen Erfüllung aller relevanten Kundenanforderungen mit
6. korrigierten univariaten und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes,
7. Entscheidung aufgrund der Indizes für
– Prozessverbesserung im Sinne der
–
–
–
·
·
Reduktion der Variabilität mindestens einer Produktvariablen,
Übereinstimmung der Mittel- mit den Sollwerten,
neue statistische Tolerierung,
Kontrolle des Prozesses mit den uni- und/oder multivariaten Kontrollkarten,
Investitionen in Maschinen, Anlagen, Mitarbeiter, Methodik usw.
5.2.1.1 Was beinhaltet das Kunden-Anforderungs-Profil (KAP)?
Ein (in- oder externer) Kunde, der eine Dienstleistung oder das materielles Produkt eines Vorläuferprozesses
benötigt, stellt Anforderungen an das Produkt und seine zu gewährleistenden
Funktionen. Die Anforderungen werden häufig in Form von Eigenschaften formuliert.
Über die Kundenanforderungen wird das Produkt definiert.

160 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.2.1: Kunststoffscheiben. Definition von Kundenanforderungen
Problem:
Die Glasscheiben in einem PKW sollen durch Kunststoffscheiben auf Basis von Polycarbonat
mit Hartbeschichtung ersetzt werden, um das
•
•
•
zukünftige Design von Scheiben und Karosserie durch ganzheitliches Design und
Konstruktion zu revolutionieren.
die Sicherheitsaspekte zu verbessern,
das Gewicht zu reduzieren usw.
Aus der Analyse der Marktsituation sollen unter Beachtung der KAP der europäischen
Automobilhersteller nachfolgenden Studien
1. über die Machbarkeit und
2. internationalen Verfügbarkeit der Prozesse
erarbeitet werden.
Hierbei sollen die globalen Ziele
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Verbesserung der Sicherheit gegen Einbruch,
Reduktion des Gewichts,
Verbesserung des Komfort (Geräuschdämpfung, thermische Eigenschaften)
Verbesserung des Schutzes gegen Unfälle, Überfälle usw.,
Erhöhung der Verschleißfestigkeit (Kratzfestigkeit, …)
Verbesserung der Formgebung/Design und Konstruktion,
Erhaltung der optischen Eigenschaften des Glases,
Erhöhung der Wirtschaftlichkeit bei den Herstellern und
Verbesserung der Instandhaltungsfreundlichkeit
verfolgt werden.
Die globalen Ziele werden auf geforderte Eigenschaften und auch schon geforderte Parameter
zurückgeführt und im Kunden-Anforderungs-Profil (KAP) zusammengefasst.
Unter einem Parameter wollen wir hier eine messbare Variable verstehen.
Zu den Eigenschaften gehören z. B.
•
•
die Zähigkeit
diese kann parametrisiert werden durch die physikalischen Variablen
–
–
–
–
Biegefestigkeit,
Schlagfestigkeit,
Bruchfestigkeit,
E-Modul
• Beständigkeit der Oberfläche nach dem Verkleben,
–
–
Temperaturbereich,
Medien,

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
161
–
–
–
Luftfeuchte,
NaCl bzw. CaCl-Lösungen,
Tenside
• Verformbarkeit,
–
–
–
–
Spannungs- Verformungs- Verhalten mit der
Normalspannung,
Tangentialspannung,
Scherspannung
• optische Eigenschaften,
–
–
–
–
–
–
Trübung
Lichtreflektion,
Lichttransmission,
Verzerrung,
Brechungsindex,
Lichtdurchlässigkeit
• Oberflächeneigenschaften
–
–
–
–
–
–
–
Farbe
Verfärbung,
Schlierenbildung,
Glanz,
Beschichtungsdefekte,
Abriebfestigkeit,
Kratzfestigkeit
• Thermisches Verhalten
–
–
–
–
Wärmedämmung,
Wärmedurchgang,
Wärmeausdehnung,
Überwölbung
Anforderungen in Parameterform sind z. B.
•
•
•
•
•
Steifigkeit,
Gewicht,
Lebensdauer,
geometrische Maße, wie z. B. Scheibendicke, Kantenrundung,
Oberflächenspannung,
und vieles mehr.
Die Parametrisierung führt zur Benennung der Produktvariablen. Hier einige Beispiele:
Y 1 = Biegefestigkeit
Y 2 = Bruchfestigkeit (gleiche Bruchfestigkeit über einem großen Temperaturbereich)
Y 3 = Formbarkeit
Y 4 = Lichtdurchlässigkeit (Transparenz)
Y 5 = Elastizitätsmodul
Y 6 = Einbaustabilität
Y 7 = Geräuschdämpfung

162 5 Qualität in der Fertigung
Y 8 = Kratzfestigkeit
Y 9 = Witterungsbeständigkeit
Y 10 = Korrosionsbeständigkeit
Y 11 = Gewicht
Y 12 = Reflexion der Wärmestrahlung
Y 13 = Wirtschaftlichkeit, Preis
Y 14 = Abriebfestigkeit
Y 15 = optische Verzerrung
und viele mehr.
Die Produktvariable sind mit Sicherheit nicht unabhängig voneinander.
Alle Eigenschaften müssen parametrisiert werden. Das ist bisher nicht gelungen. Ursachen
hierfür sind:
•
•
•
•
•
•
•
fehlende Gewissheit über die Vollständigkeit der Eigenschaften und damit der Parametrisierung,
fehlende Invarianz der vom Kunden beschriebenen Eigenschaften,
mehrere Eigenschaften sind Funktionen von diversen anderen Parametern.
Diese Funktionen sind mitunter kompliziert.
Keine klare Trennung von Eigenschaften, Parametern und deren Prüfungen.
Die bisher parametrisierten Eigenschaften sind unvollständig spezifiziert.
Die Sollwerte liegen z. T. als Bereiche und nur selten als Zahlen vor, Toleranzgrenzen fehlen
grundsätzlich.
Dieses Beispiel demonstriert, das die Zusammenstellung des KAP eine wichtige und auch
komplizierte Aufgabe ist, an der verschiedene Experten zusammenarbeiten sollten.
5.2.1.2 Wie kann man die parametrisierten Kundenanforderungen statistisch
tolerieren?
Bei der Definition des Produktaudits wird auf die beiden Seiten, nämlich die
•
•
Anforderungen und
den Istzustand eines Produktes
hingewiesen. Hier wollen wir uns damit befassen, wie
•
•
gegebene CAD Toleranzen zu überprüfen sind oder
diese beim Fehlen von Sollwerten und Toleranzgrenzen berechnet werden können.
Die Frage der statistischen Tolerierung ist bedeutsam, da die Produktvariablen in der Regel
nicht unabhängig, sondern im Gegenteil sehr häufig sehr stark miteinander korreliert sind. Die
meisten – bisher bekannten – statistischen Tolerierungsverfahren basieren auf dem Faltungssatz
für Zufallsgrößen. Dieser setzt die Unabhängigkeit der Zufallsgrößen voraus. Wie wir bei der
Korrelationsanalyse im Abschnitt 5.6 sehen, wird die Straffheit einer Abhängigkeitsstruktur
durch die Determinante der Korrelationsmatrix beurteilt.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
163
Bei einem Autobauer sollten für den Karosseriebau die Toleranzen vieler Maße überprüft
werden, da es Probleme bei der Montage gab. Zur Auswahl standen
•
•
das Maßkettenkonzept nach dem Faltungssatz und
die statistische Tolerierung von Jahn.
Als Entscheidungskriterium wählte ich die Determinante der Korrelationsmatrix.
Für ca. 60 Produktvariable galt Det(R YY ) = 1.28 10 –135 . Dieser Wert liegt sehr viel näher an
der Null als an der für das Maßkettenkonzept geforderten 1! Das Maßkettenkonzept muss
zugunsten der statistischen Tolerierung von Jahn verworfen werden.
Problem
Ein Kunde kommt mit seinem Wunsch nach einem bestimmten Produkt zu einem Unternehmen.
Z. B. ein Autobauer möchte ein Dämpfungssystem (Motorlager) von seinem Lieferanten. Der
Kunde formuliert seine Anforderungen an die Eigenschaften des Motorlagers hinsichtlich
der Vibration, des Fahrverhaltens und der Dämmung des Geräuschpegels. Der Hersteller des
Dämpfungssystems (der Lieferant) akzeptiert den Wunsch, parametrisiert die Eigenschaften,
z. B. in die Produktvariablen statische und dynamische Steifigkeiten, Phasenverschiebung,
Ausreißkräfte usw., spezifiziert die Produktvariablen in Form von Sollwerten und Toleranzgrenzen
für die Produktentwicklung mit Hilfe eines CAD Systems oder des Maßkettenkonzeptes.
Für die Herstellung sind diese Toleranzen in der Regel nicht geeignet. Hierfür sollten
aufgrund der Abhängigkeitsstruktur der Produktvariablen die Maßtoleranzen zumindest
durch die statistische Tolerierung für alle relevanten Produktvariablen überprüft werden. Die
statistischen Toleranzen für eine Pilotfertigung oder für Vorläuferprodukte werden mit dem
Kunden abgestimmt, denn die Anforderungen können zu einem Widerspruch innerhalb der
Maßkettentoleranzen oder zwischen den Maßketten- und statistischen Toleranzen führen, wie
auch im vorliegenden Fall, zu einer hohen Steifigkeit der Gummimischung für das Fahrverhalten
und einer niedrigen Steifigkeit für die Geräuschdämmung. Die statistischen Toleranzen
werden als Toleranzen anerkannt und die Produkte werden produziert. Der Produzent für
das Motorlager liefert die Produkte und weist nach, dass die geforderte Qualität im Sinne der
simultan Erfüllung aller relevanten Kundenanforderungen geliefert wird. Danach stellt er die
Rechnung und verlangt sein Geld.
Das Problem beinhaltet zwei zu lösende Teilprobleme:
•
•
Tolerierung der nicht unabhängigen Produktvariable für die Entwicklung und Fertigung,
Nachweis der simultanen Erfüllung aller spezifizierten relevanten Kundenanforderungen.
Problemlösung
Bisheriges Kernstück einer funktions-, fertigungs- und montagegerechten Tolerierung ist die
Maßkettentheorie . Sie ist die Lehre von der funktionsgerechten Bemessung aneinander gereihter
Maße, deren Toleranzen sich summieren. Die Maßkette ist eine Aneinanderreihung von
zusammenwirkenden Einzelmaßen und dem von ihnen abhängigen Schlussmaß. Sie bildet bei
schematischer Darstellung einen geschlossenen Linienzug (eine Masche). Die Maße (Einzelmaße
– Schlussmaß) sind die Glieder der Maßkette. Eine Grundeigenschaft der Maßkette mit
Schlussmaß ist ihre Geschlossenheit. Bei der Berechnung von Maßketten (Toleranzketten) ist zu

164 5 Qualität in der Fertigung
beachten, dass die Einzelmaße unterschiedlichen Systemen angehören können, und zwar dem
herzustellenden Gerät, dem Werkstück, der Bearbeitungseinheit aus Maschine, Vorrichtung,
Werkzeug usw. Die Maßkette schafft Voraussetzungen zur Festlegung der Abmessungen der
Einzelteile und des Gerätes, der Einzeltoleranzen, der Bearbeitungsfolge, der Arbeitszugaben
usw. Die Toleranzkettentheorie ist die Lehre von der möglichen Größe und Lage der Toleranz
(Schlusstoleranz) des funktionsbestimmenden resultierenden Maßes (Summenmaß) einer
Maßkette. Unter Funktionssicherheit wird dabei die Einhaltung der für ein Erzeugnis vorgegebenen
Funktionsfehlergrenzen für Grund- und Zusatzfehler unter vorgegebenen Einsatzbedingungen
verstanden. Innerhalb dieser Grenzen ist das Produkt funktionstüchtig. Die Funktionstoleranz
ist die Differenz zwischen den oberen und unteren zulässigen Grenzwerten aller die
Funktionstüchtigkeit beschreibenden Eigenschaften eines Produktes. Die Herstellungstoleranz
ist die Differenz zwischen dem oberen und unteren erreichten Grenzwert bei der Herstellung
mehrerer gleichartiger Einzelteile, Baugruppen oder Fertigprodukte. Die Maßtoleranz ist die
Differenz zwischen dem zulässigen Größt- und Kleinstmaß. Die Messtoleranz ist die Differenz
zwischen der zulässigen oberen und unteren Abweichung des Messwertes von der Messgröße.
Sie entspricht der zulässigen Fehlergrenze der Messung.
Die Bedeutung der Tolerierung liegt in
• der Gewinnung von Zielwerten und den zugehörigen Intervallen für die Steuer- und Regelung
von Prozessen und
• der Ableitung von Genauigkeitsintervallen (Toleranzintervallen) für die Input- und Prozessvariablen.
Wie wird eine Maßkette berechnet?
Das Nennmaß N 0 des Schlussmaßes setzt sich für lineare Maßketten mit parallelen
Maßkettengliedern additiv aus den Nennmaßen N j der m Einzelmaße
N
0
m
= ∑kj
N
j=
1
j
zusammen, wobei die k j die Richtungskoeffizienten sind, siehe z. B. Hofmann [1986]. Diese
Koeffizienten nehmen die Werte +1 oder –1 an, je nachdem, ob der Einfluss des Einzelmaßes auf
das Schlussmaß positiv oder negativ ist. Positive Einzelmaße bewirken bei ihrer Vergrößerung
oder Verkleinerung eine gleichsinnige Veränderung des Schlussmaßes. Der Richtungskoeffizient
ist der Maßkette zu entnehmen.
Wie wird eine Toleranzkette berechnet?
Sind die Toleranzen der Einzelmaße und die Kleinstspiele S kj gegeben, so beträgt nach Hofmann
[1986] die Schlusstoleranz T 0 des Schlussmaßes
0
m−e m
∑ j ∑ kj
j= 1 j= m− e+
1
T = T + S
Hieraus können die Einzeltoleranzen T j berechnet werden.
.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
165
Unterscheidet sich die Tolerierung für die Produktentwicklung von der für die Fertigung?
Dem Maßkettenkonzept soll die statistische Tolerierung gegenüber gestellt werden, denn
•
•
die Produktvariablen der gefertigten Produkte sind Zufallsgrößen und
die Zufallsgrößen sind nicht unabhängig voneinander.
Das Maßkettenkonzept auf die Fertigung angewandt, basiert auf der Faltung von Zufallsgrößen
und setzt Unabhängigkeit voraus. Diese Voraussetzung ist aber nur selten erfüllt. Daher wollen
wir uns mit einer Möglichkeit der statistischen Tolerierung befassen, die auch bei korrelierten
Produktvariablen richtige Resultate liefert.
Die statistische Tolerierung quantifiziert das „Können des Prozesses“. Folglich müssen die
statistischen Toleranzgrenzen für alle relevanten Produktvariablen mit den Experten der Produktentwicklung
abgestimmt werden, damit aus den statistischen allgemeingültige Toleranzen
werden.
Für die Berechnung der multivariaten Prozessfähigkeitsindizes als Ausdruck des inhärenten
Potentials des Prozesses, Produkte mit vorgegebenen Eigenschaften zu produzieren (Qualität),
benötigen wir, neben dem Können des Prozesses, die Möglichkeit des Vergleiches des Soll- und
Istzustandes der Fertigung für den multivariaten Fall.
Der Vektor der Produktvariablen sei wieder Y T = (Y 1 , …, Y m ). Dieser Vektor sei m-dimensional
normal verteilt Y ~ N m (µ, Σ YY ), wobei die Kovarianzmatrix Σ YY positiv definit sein soll oder die
Verteilung von Y gehöre zur Familie der elliptisch umrissenen Verteilungen.
5.2.1.3 Auf welchem Prinzip basiert die statistische Tolerierung ?
Der Vektor Y wird in die beiden Teile
Y T = (Y j , Y T m – j )
zerlegt.
Die einzelnen Produktvariablen sind nicht unabhängig voneinander, sondern durch die
Abhängigkeitsstruktur, ausgedrückt durch die folgende partitionierte Kovarianzmatrix des
aufgespalteten Vektors der Produktvariablen, miteinander verbunden.
Die Kovarianzmatrix der Produktvariablen ist
⎛
2
σ
⎞
j σj.
m−
j
ΣYY
= ⎜ ⎟.
⎝ Σm−j.
m−j⎠
Die Realisierungen (Messwertvektoren) des normal verteilten Vektors der Produktvariablen
sind Punkte im m-dimensionalen euklidischen Raum und liegen wegen der Verteilungsvoraussetzung
innerhalb eines Hyperellipsoides. Das sieht man, wenn man den Exponent der
multivariaten Normalverteilung
1 ⎧ 1
T −1
⎫
f( y; μΣ , YY ) = ⋅ exp ⎨− ⋅( Y − μ) ⋅Σ ⋅( − )
1
YY Y μ⎬
⎩ 2
⎭
2 ⋅ π ⋅ Σ 2
gleich einer Konstanten setzt, z. B.
YY
T −1
Y − ⋅ YY ⋅ Y − = c1−α
( μ) Σ ( μ ) . (1)

166 5 Qualität in der Fertigung
Dann ist das die Gleichung für ein Hyperellipsoid mit dem Mittelpunkt µ, wobei 1 – α die
Wahrscheinlichkeit ist, mit der die Punkte innerhalb des Hyperellipsoides liegen. Das Hyperellipsoid
beschreibt das Können des Prozesses. Die Form des Hyperellipsoides wird durch die
Abhängigkeitsstruktur bestimmt. Diese wiederum haben wir durch den Grad der Multikollinearität
−1
YY
δ = R (2)
charakterisiert.
Zunehmender Grad der Multikollinearität führt zu größeren Diagonalelemente der inversen
Korrelationsmatrix,
R
−1
YY
⎧
2 −1
(1 − ρj/
m−
j) , für alle j = 1, …,
m
⎪ −ρ
= ⎨ jk / m−( j, k)
, j, k 1, , ,
1
= … m j
⎪ ≠
⎡
2 2
(1 − ρ
2
j/ m−j) (1 − ρk/
m−k)
⎤
⎪ ⎩ ⎣
⎦
wobei ρ 2 j/m – j das Quadrat des multiplen Korrelationskoeffizienten zwischen Y j und einer Linearkombination
in den restlichen (Y 1 , …, Y j – 1 , Y j + 1 , …, Y m ) = Y m – j ist. ρ jk/m – (j, k) sind die
partiellen Korrelationskoeffizienten zwischen Y j und Y k unter der Bedingung der restlichen
Produktvariablen.
Zumindest einige der multiplen Korrelationskoeffizienten für beliebige Y j in Abhängigkeit von
den Linearkombinationen in den anderen Produktvariablen werden mit wachsendem δ größer.
Damit werden die Differenzen 1 – ρ 2 j/m – j kleiner und somit die Quotienten (1 – ρ2 j/m – j )–1
größer. Das heißt aber nicht anderes, als dass sich ein oder mehrere Produktvariablen sehr gut
durch andere darstellen lassen. Sind die zugehörigen multiplen Korrelationskoeffizienten groß
genug, dann sagt man, diese Produktvariablen sind redundant.
Beachtet man noch den dritten Fakt, dass die Längen der Hauptachsen des Hyperellipsoides
gleich L j sind, mit
2
j λj χm
,1 −α
L = 2⋅ ⋅ für j = 1, … m
wobei λ j die Eigenwerte der Kovarianzmatrix Σ YY sind, dann sieht man, dass mit zunehmendem
Grad der Multikollinearität das Hyperellipsoid einer „Zigarre“ immer ähnlicher und zumindest
die 1. Hauptachse des Ellipsoides immer länger wird.
Ist der Grad der Multikolinearität δ = 1, dann sind die Produktvariablen nach der obigen
Beziehung unkorreliert und das Hyperellipsoid wird zu einer Hyperkugel.
Bei vielen Anwendungen ist für jede Produktvariable Y j , j = 1, …, m ein Toleranzintervall
gegeben. Inwieweit bei deren Festlegungen die Abhängigkeitsstruktur zwischen den Produktvariablen
beachtet wurde, muss in jedem konkreten Fall hinterfragt werden. In der Regel wird
das nicht der Fall sein. In diesen Fällen müssen die Toleranzgrenzen aufgrund der statistischen
Kenntnisse über den Prozess zumindest überprüft, meist jedoch neu berechnet und mit den
Konstrukteuren abgestimmt werden. Sind die Toleranzgrenzen aus technischer Sicht bindend,
dann könnte das kartesische Produkt dieser Toleranzintervalle, das ist dann ein Hyperkubus für
den gemeinsamen Toleranzbereich, gebildet werden. Die Forderung der simultanen Erfüllung
aller relevanten Kundenanforderungen bedeutet geometrisch, dass das Hyperellipsoid mit
vorgebbarer Wahrscheinlichkeit in diesem Hyperkubus enthalten sein muss, d. h.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
167
⎡
m ⎤
T −1
P⎢( Yj − μj) ⋅ ΣYY ⋅( Yj − μj) ∈X( To, j − Tu,
j) ⎥ = 1 − α.
⎢⎣ j = 1 ⎥⎦
(5)
Die Frage ist nun,
5.2.1.4 Wie können unter der Bedingung (1) die Toleranzintervalle für jede
einzelne Produktvariable unter Beachtung der Abhängigkeitsstruktur
statistisch bestimmt werden?
So, dass das kartesische Produkt der einzelnen Toleranzintervalle die Bedingung (2) erfüllt.
Y 2 (Produktvariable)
Abb. 5.2.1: Toleranzgebiet und Streuungsellipse
Y 1 (Produktvariable)
Die Lösung dieses Problems ist:
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, müssen hier im 2-dimensionalen Fall die Tangenten an
die Ellipse, parallel zu den beiden Achsen der Produktvariable, bestimmt werden. Im m-dimensionalen
Fall müssen die Tangentialhyperebenen an das Hyperellipsoid bestimmt werden.
Für diese Konstruktion ist das nachfolgende Theorem von ausschlaggebender Bedeutung.
Satz 1 (Jahn): Die Projektionen der Ellipse bzw. des Hyperellipsoides auf die Koordinatenachsen
haben die Längen
2
j ≤ j/ m−j = j/ m−j,
Y σ σ
wobei σ 2 j/m – 1 die bedingte Varianz der j-ten Komponente von Y unter der Bedingung der
Konstanz der restlichen Komponenten des Vektors der Produktvariable ist, wobei m – j = m – 1
wieder die Indexmenge {1, …, j – 1, j + 1, …, m} bezeichnet.
Den Beweis für diesen überaus wichtigen Satz findet man auf der beiliegenden CD.

168 5 Qualität in der Fertigung
Bemerkungen:
1. Das Theorem ist für die Berechnung der statistischen Toleranzgrenzen über die Momente
der bedingten Verteilung von Y j unter der Bedingung Y m – j = y m – j d. h. konstant, überaus
bedeutsam.
Korollar 1 (Jahn): Die oberen und unteren statistischen Toleranzgrenzen für die einzelnen,
nicht unabhängigen Produktvariablen können nach den Beziehungen
USL
LSL
2 2
j = μj + χm,1 −α
⋅σj/
m−j
2 2
j = μj − χm,1 −α
⋅σj/
m−j
berechnet werden, wobei χ 2 m,1 – α das 1 – α Quantil der Chi Quadrat Verteilung mit m
Freiheitsgraden ist.
2. Die statistischen Toleranzgrenzen USTL und LSTL (upper and lower tolerance limits)
beschreiben das “Können” des Prozesses. Diese Grenzen sind daher unbedingt mit den
Konstrukteuren abzustimmen.
Korollar 2 (Wang et. al[1999]): Die statistischen Toleranzgrenzen werden nach den Beziehungen
und
USL
LSL
berechnet.
2 −1 2
χm,1−α
⋅ SY−1. Y−1 χm,1
−α
⋅ SYY
j = μj + = μ
1
j +
−
Det( SYY ) Det( SY −1. Y −1)
Det( ) Det( )
2 −1 2
χm,1−α
⋅ SY−1. Y−1 χm,1
−α
⋅ SYY
j = μj − = μ
1
j −
−
Det( SYY ) Det( SY −1. Y −1)
Det( ) Det( )
Korollar 3 (Jahn):
Die bedingten Stichprobenvarianzen S 2 j/m – j können auch aus den Diagonalelementen der
inversen Kovarianzmatrix berechnet werden. Es gilt
S
−1
YY
⎧⎡
−
⋅ − ⎤
− = − =
⎣ 2 2 1 -2
Sj (1 Rj/ m j) Sj/
m j, für j 1, …,
m
⎦
⎪ S ⋅S ⋅ R
k
= ⎨ j k jk/ m−
j,
k
− , für j ≠
⎪ 1
⎪ ⎡
2 2
(1 − R − ⋅ − − ⎤ 2
j/ m j) (1 Rk/
m k)
⎩
⎣
⎦

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
169
Beispiel 5.2.2: Akkubohrschrauber. Statistische Tolerierung
Die Produktvariablen und der Sollzustand für dieses Beispiel sind in der Tabelle 5.2.1
zusammengestellt.
Tabelle 5.2.1: Sollzustand für die Plastikschalen
Parameter Sollwert Toleranzgrenzen
Y 1 = Thermoschrumpf 1,1 0,2 2
Y 2 = Axialität 0 –0,3 0,3
Y 3 = Dicke 3,1 2,9 3,3
Y 4 = Parallelität, 0 –0,6 0,6
Für die Berechnung der statistischen Toleranzgrenzen benötigen wir die Stichprobenkovarianzmatrix
und deren Inverse. Beide Matrizen sind in Tabelle 5.2.2 und Tabelle 5.2.3
enthalten.
Tabelle 5.2.2: Kovarianzmatrix für die Produktvariablen
Thermoschrumpf Axialität Dicke Parallel
Thermoschrumpf 0,22495 0,00353 –0,00455 –0,10751
Axialit 0,00353 0,04206 –0,00081 0,04239
Dicke –0,00455 –0,00081 0,00882 0,01654
Parallel –0,10751 0,04239 0,01654 0,24588
T u
T o
Tabelle 5.2.3: Inverse Kovarianzmatrix
Thermoschrumpf Axialität Dicke Parallel
Thermoschrumpf 62.301 –44.043 –42.555 37.697
Axialit –44.043 334.037 173.955 –88.554
Dicke –42.555 173.955 1.394.678 –142.413
Parallel 37.697 –88.554 –142.413 82.002
Mit den Elementen der inversen Kovarianzmatrix kann man nach Korollar 1 die statistischen
Toleranzgrenzen für die vier Produktvariablen berechnen. In der Tabelle 5.2.4 sind
die Werte zusammengestellt.
Tabelle 5.2.4: Sollwerte und statistische Toleranzgrenzen
Sollwert
±Toleranz
Thermoschrumpf 1,1 ±1,62
Axialität 0 ±0,7
Dicke 3,1 ±0,34
Parallelität 0 ±1,4
Mit den statistischen Toleranzgrenzen können wir die univariaten und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
berechnen (vgl. Abschnitt 5.2.1.6 und 5.2.1.7).

170 5 Qualität in der Fertigung
5.2.1.5 Wie kann man das „Produkt“ statistisch tolerieren?
Wir stellten bereits fest, dass ein Produkt durch m, m ≥ 1 nicht unabhängige Produktvariablen
Y 1 , …, Y m beschrieben wird.
Wir forderten auch schon, dass ein Prozess so gesteuert werden muss, dass simultan alle Kundenanforderungen
erfüllt werden. Wir wissen auch, dass ein Prozess nur
•
•
•
•
mit einer Einstellung der Input- und Prozessvariablen,
mit einer optimalen Teilmenge von Input- und Prozessvariablen,
entweder mit Blick auf eine Produktvariable oder einer geschickten Zusammenfassung
aller Produktvariablen gesteuerten werden kann und
dass wir hierfür entweder den Sollwert und die Toleranzgrenzen für die eine Produktvariable
oder die vereinigten Sollvorgaben für das „Produkt“ als Ziele für die Steuerung
benötigen.
Die vereinigten Sollvorgaben wollen wir Toleranzbereich für das Produkt nennen und deren
Grenze Toleranzgrenze für das Produkt (TG Prod ) nennen.
Σ
*
YY
In dem Ausdruck Σ ∗ YY
⎛T , − , ⎞ ⎛ o, − u, ⎞
= diag ⎜ oj T uj T
⎝
⎟ diag
6 ⎠
⎜ j T
R
j
YY
⎝ 6
⎟
⎠
bezeichnen R YY die Abhängigkeitsstruktur und T o T = (T o,1 … T o,m ) bzw. T u T = (T u,1 … T u,m ) die
Vektoren der oberen bzw. unteren Toleranzgrenzen für alle relevanten Produktvariablen. Die
Korrelationsmatrix muss aus einer großen Stichprobe geschätzt werden.
Unter diesen Annahmen gilt
T * −1
o ΣYY
o Prod
c* = ( T − M) ( ) ( T − M) = TG .
TG Prod ist die Toleranzgrenze für das Produkt T 2 , d. h. die über T 2 zusammengefassten Produktvariablen.
Die Toleranzgrenze (TG Prod ) für das Produkt hängt ab von
1. der Abhängigkeitsstruktur R YY – über die theoretische Kovarianzmatrix Σ * YY ,
2. die Toleranzgrenzen für die einzelnen Produktvariablen und
3. den Vektor der Sollwerte.
Mit der berechneten Toleranzgrenze TG Prod wird die simultane Erfüllung aller relevanten Kundenanforderungen
geprüft. Die Gleichung für T 2 ist auch bekannt als Mahalanobis Abstand.
5.2.1.6 Univariate Prozessfähigkeitsindizes
W as heißt „ein Prozess ist fähig“?
Die Fähigkeit i st das inhärente Potential eines Prozesses, Produkte mit vorgegebenen Eigenschaften
zu produzieren. Die Anwendung auf betriebliche Prozesse bedeutet,
• dass für eine, mehrere oder alle Produktvariablen Toleranzgrenze vorliegen, die den „vorgegebenen
Eigenschaften“ entsprechen und

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
171
• impliziert, dass geprüft werden kann, ob die produzierten Produkte den vorgegebenen
Eigenschaften entsprechen.
In der Folge werden wir uns ausführlich mit
•
•
den univariaten und
multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
befassen.
Wie kann die Eigenschaft „ein Prozess ist fähig“ nachprüfbar formuliert und quantifiziert
werden?
Für die Beantwortung der Frage stellen wir zunächst alles zusammen, was uns bekannt ist. Die
Produktvariable sei Y. T o und T u seien die gegebenen Toleranzgrenzen und M sei der Soll wert.
Die Produktvariable Y sei normal verteilt mit dem geforderten Erwartungswert µ = Sollwert
= M und der zulässigen Standardabweichung
σ
T
− T
6
Zul = o u .
Dieser Ausdruck ist das Ergebnis der 3 σ-Regel, die besagt, dass im Intervall µ – 3 σ ≤ Y ≤ µ + 3 σ
ca. 99.73 % aller Einzelwerte der vorausgesetzten Normalverteilung mit dem Erwartungswert
µ und der Standardabweichung σ liegen.
Die Produktion liefert Produkte an denen nach einer zufälligen Auswahl die Werte Y i , i = 1, …, N
gemessen werden, wobei N den Stichprobenumfang bezeichnet.
Es ist nun zu prüfen, ob die Stichprobe mit den spezifizierten Kundenanforderungen in Form
des Sollwertes und der Toleranzgrenzen übereinstimmt. Hierfür können statistische Hypothesentests
verwendet werden.
• Die Nullhypothese H 0 : σ 2 = σ 2 zul gegen die Alternative H 1 : σ2 ≠ σ 2 zul kann mit dem F-Test
Fˆ
2 2
σzul ( To − Tu
)
= =
2 2
σ 36 ⋅ S
• und die Hypothese H 0 : µ = M gegen H 1 : µ ≠ M kann mit dem Abweichungstest
Y − M
zˆ = N −1.
σ
zul
geprüft werden.
Die beiden Tests wurden formalisiert, so dass wir Ausdrücke für die univariaten Prozessfähigkeitsindizes
erhalten.
Wie können Sie die univariate Prozessfähigkeitsindizes für eine Produktvariable berechnen?
Eine Produktvariable wird mit Y bezeichnet, deren Verhalten durch die Verteilungsfunktion
(Vf)Y ~ P(Y ≤ y) = F(y) oder falls sie existiert durch die Verteilungsdichte (Vd) f(y) charakterisiert
wird. Durch die Prozessfähigkeiten wird beurteilt, ob die statistische Breite von f(y)

172 5 Qualität in der Fertigung
vollständig oder nur z. T. innerhalb des Toleranzintervalls liegt. Die statistische Breite wird
nach der 3 σ-Regel berechnet.
Bevor wir eine Formel für den Vergleich zwischen der Toleranzbreite und Breite der Verteilungsdichte
angeben, sollen noch einige wichtige Begriffe erläutert und präzisiert werden.
Häufig wird der Ausdruck, „der Prozess wird beherrscht“ ver wendet und durch die Zeitinvarianz
der Verteilung erklärt, wobei darauf hingewiesen wird, dass die zeitlichen Veränderungen
eine Verschiebung der Verteilung auf der Achse der Produktvariablen, eine Änderung der
Streuung oder eine Änderung der Form der Verteilung sein kann, siehe z. B. Rinne, Mittag
[1999]).
An dieser Stelle muss darauf hingewiesen werden, dass der Prozess zur Herstellung eines Produktes
durch die Häufigkeitsverteilung einer Produktvariablen beurteilt werden soll. Das ist
nur bedingt möglich. Die Beherrschbarkeit eines Prozesses wird durch die folgende Definition
präzisiert.
Definition: Die Aufschlüsselung der Varianz der Produktvariablen Y durch die in der Prozessgleichung
vorkommenden Input- und Prozessvariablen wird durch das Maß der Beherrschbarkeit
gemessen.
Diese Definition ist notwendig, denn die Produktvariable Y ist Ergebnis des Wirkens eines
Prozesses, die Produktvariable ist eine Zufallsgröße und die Verteilung der Produktvariablen
kann nur nach dem Ursache-Wirkungs-Prinzip über die Veränderung der Input- und Prozessvariablen
verändert werden. Ein beherrschter Prozess bedeutet, dass er so gesteuert werden
muss, dass alle spezifizierten Kundenanforderungen an das Produkt simultan erfüllt werden,
d. h. der Vektor der Mittelwerte der gemessenen Werte für die Produktvariablen Y 1 , …, Y m
muss im statistischen Sinne mit dem Vektor der Sollwerte M 1 , …, M m übereinstimmen, die
Variabilität des Vektors der Produktvariablen muss so klein sein, dass die Verteilung innerhalb
des Toleranzbereiches liegt und die Verteilung muss zeitlich stabil bleiben, d. h. die Mittelwertvektoren
und die Stichprobenkovarianzmatrizen zeitlich aufeinanderfolgender Stichproben
dürfen keinen Trend besitzen.
Für die Überprüfung der statistischen Beherrschbarkeit eines Prozesses müssen wir die Maße
der Beherrschbarkeit und die uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes berechnen.
Die uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes als Ausdruck des inhärenten Potential
eines Prozesses, Produkte mit den durch die Toleranzgrenzen für alle relevanten Produktvariablen
vorgegebenen Eigenschaften zu produzieren, werden als Entscheidungskriterium
für die Notwendigkeit der Prozessverbesserung im Sinne der Reduktion der Variabilität der
Produktvariablen und damit der Vergrößerung des Maßes der Beherrschbarkeit verwendet.
Die Maße der Beherrschbarkeit dienen ebenfalls für die Entscheidung zur Prozessverbesserung
im Sinne der Suche nach weiteren Input- und Prozessvariablen, die die Variabilität der
Produktvariablen besser erklären.
Bei der Festlegung der CAD Toleranzgrenzen unterscheiden wir die Möglichkeiten, die in der
Abbildung dargestellt sind.
• Einseitige Tolerierung, d. h. es gibt nur eine obere T o oder untere T u Toleranzgrenze.
• Auf die Angabe des Sollwertes wird in diesen Fällen häufig verzichtet. Wir müssen prüfen,
ob das sinnvoll ist, denn der Sollwert wird als Zielwert für die Steuerung des Prozesses
benötigt.
• Zweiseitige Tolerierung. Hier müssen wir zwischen dem symmetrischen und unsymmetrischen
Fall unterscheiden.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
173
Fall 1
Fall 2
Fall 3
Abb. 5.2.2: Toleranzintervalle
Die Toleranz wird nun wie folgt definiert:
Δ
T u Sollwert T o
Produktvariable Y
⎧To
− Sollwert, bei Vorgabe von To
⎪
Sollwert − Tu, bei Vorgabe von T
⎪
u
⎪T − T bei Vorgabe von T und T
=
o u
o u
⎨ ,
⎪ 2
⎪ − Tu To −
Tu To
⎪
⎩
min{(Soll ),( Soll)}, bei gegebenen und und
asymmetrischer Tolerierung
Für den Toleranzbereich schreiben wir in der Regel [T o , T u ] = T o – T u = 2 Δ.
Im symmetrischen Fall gilt
To
+ Tu
Sollwert = = Toleranzmittelwert.
2
Zweiseitige Toleranzgrenzen – die Produktvariable ist normal verteilt
Der Sollzustand für die Produktvariable Y wird durch
•
•
den Sollwert M und die
Toleranzgrenzen
–
–
T u untere Toleranzgrenze
T o obere Toleranzgrenze
definiert.
Der Prozess sei optimal eingestellt. An zufällig ausgewählten Produkten wird die normal
verteilte Produktvariable Y gemessen. Die Messwerte sind Y 1 , …, Y N , wobei N der Stichprobenumfang
ist.
Visuell kann der Istzustand mit dem Sollzustand verglichen werden, indem man schaut, ob
die Häufigkeitsverteilung der Messwerte, wie die Durchmesser der gedrehten Welle in der
Abbildung 5.2.3, innerhalb der eingezeichneten Toleranzgrenzen liegt und der Mittelwert der
Wellendurchmesser im statistischen Sinne mit dem Sollwert übereinstimmt. Bei der Welle in

174 5 Qualität in der Fertigung
Häufigkeiten
50
Sollwert
T o
T u
-3s
40
30
+3s
20
10
0
19.8 19.9 20 20.1 20.2
Wellendurchmesser [mm]
Abb. 5.2.3: Häufigkeitsverteilung der Durchmesser einer Welle
Abbildung 5.2.3 liegt die ±3 S Breite der Häufigkeitsverteilung vollständig im Toleranzintervall.
Die univariate Prozessfähigkeit als Quotient der Toleranzbreite zur Breite der Häufigkeitsverteilung
muss größer als 1 sein. Es wird kein Ausschuss produziert. Der Sprachgebrauch „im
statistischen Sinn“ soll jeweils deutlich machen, dass wir es mit stochastischen Sachverhalten
zu tun haben. Hieraus folgt, dass alle Aussagen mit einer Unschärfe versehen sind, die der
Streuung von Variablen adäquat sind.
Der zahlenmäßige Vergleich zwischen dem Soll- und Istzustand basiert auf einem Charakterisierungssatz,
nach dem eine Normalverteilung vollständig durch den Mittelwert y
und die Standardabweichung s beschrieben wird. Die Schätzfunktionen y für den Erwartungswert
und s 2 für die Varianz sind unabhängig voneinander. Nach der 3 σ-Regel erhält
man mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.0027 die Breite der Häufigkeitsverteilung
y + 3 ⋅ s −[ y − 3 ⋅ s] = 6⋅
s .
Die einfache Prozessfähigkeit C p (siehe Bhote [1990], Omnias [1992], Rinne, Mittag [1999])
vergleicht die Sollbreite (T o – T u ) mit der Breite 6 · s der Häufigkeitsverteilung:
Toleranzbreite
was der Kunde fordert To
− Tu
Cp
= = =
(1)
Breite der Häufigkeitsverteilung was der Kunde erhält 6 ⋅ s
Wenn C p < 1, dann ist die Breite der Häufigkeitsverteilung größer als die Toleranzbreite.
Produkte mit Werten für den Produktvariable, die nicht den Anforderungen genügen sind
die Folge.
Wenn C p > 1, dann ist die Breite der Häufigkeitsverteilung kleiner als die Toleranzbreite, d. h.
die Häufigkeitsverteilung passt vollständig in das Toleranzintervall.
Aber trotzdem kann Ausschuss produziert werden. Das liegt daran, dass bisher nur das
Streuverhalten des Produktes mit der Toleranzbreite verglichen wurde. Nach dem Charakterisierungssatz
muss in diesen Vergleich die Abweichung zwischen dem Soll- und Mittelwert
einbezogen werden. Hierzu muss der Korrekturfaktor

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
175
k =
y − M
1 ⋅ ( To
− T ) u
2
(2)
berechnet werden, mit dem C p zu
C pk = (1 – k) C p (3)
korrigiert wird. Diese Darstellung setzt voraus, dass der Sollwert in der Mitte des Toleranzintervalls
liegt und bewertet die Abweichungen vom Sollwert.
Ist C pk < 1, dann wird Ausschuss produziert, der Prozess muss verbessert werden, siehe Juran
[1990]. Ist C pk > 1, dann genügen die Produkte der durch den Sollwert und die Toleranzgrenzen
spezifizierten Anforderung.
Welche Entscheidungen aufgrund der univariaten Prozessfähigkeitsindizes können Sie treffen?
Die besprochenen möglichen Entscheidungen aufgrund der Prozessfähigkeiten werden durch
die Abbildung 5.2.4 visualisiert.
Damit kann man sagen, die Fähigkeit beschreibt das inhärente Potential eines Prozesses, Produkte
oder Dienstleistungen zu produzieren, die spezifizierten Anforderungen genügen.
Daten
T u M T o T u M T o T u M T o
Cp ≤ 1 Cp > 1 Cp > 1
Cpk ≤1 Cpk < 1 Cpk > 1
Prozessverbesserung
oder Überprüfung der
Tolerierung
SPC
Reduktion der
Streuung
Justierung
Abb. 5.2.4: Entscheidungen aufgrund der Prozessfähigkeiten
Beispiel 5.2.3: Wellendurchmesser. Univariate Prozessfähigkeit
Eine zu drehende Welle soll den Solldurchmesser M = 12.5 [mm] und die Toleranzen
T u = 12.35 [mm] und T o = 12.65 [mm] haben. Eine Stichprobe von N = 130 Wellen ergab
die statistischen Maßzahlen
Y = 12,499 [mm] und s = 0,05012 [mm].

176 5 Qualität in der Fertigung
Setzt man diese Größe in die Formeln für die Prozessfähigkeitsindizes ein, dann erhält
man
C p = 1,00, k = –0,01 und C pk = 0,99.
Die Häufigkeitsverteilung liegt vollständig im Toleranzintervall, darf aber nicht hin- und
herbewegen. Nach der Abbildung 5.2.4 muss der Prozess verbessert werden, um zu garantieren,
dass kein Ausschuss produziert wird.
Bemerkung zu den univariaten Prozessfähigkeitsindizes
Die univariaten Prozessfähigkeitsindizes besitzen die äquivalente Darstellung
und
C
p
To
− T
=
6 S
u
⎧To
− Y Y − Tu⎫
Cpk = Min ⎨ , ⎬ = Min { Clo, Cpu},
⎩ 3S
3S
⎭
wobei C po die Prozessfähigkeit für die obere und C pu für die untere einseitige Toleranzgrenze
bezeichnen.
Diese Darstellung bewertet eindeutig die Abweichungen von den Toleranzgrenzen und ist
insbesondere dann zu empfehlen, wenn die Streuung der Produktvariablen sehr groß ist, oder
die Verteilung der Werte der Produktvariablen nahe bei einer Toleranzgrenze liegt.
Sind Rückschlüsse von den Fähigkeiten auf den Ausschussanteil möglich?
Bei der Antwort auf diese Frage sind einige Aspekte zu beachten.
Prozessfähigkeiten und Verlustfunktion
Die ökonomisch en Kennzahlen werden über die Verlustfunktion bewertet, wobei der ökonomische
Verlust einer produzierten Einheit durch den Abstand seines Wertes für die Produktvariablen
vom Sollwert entsteht. Der erwartete Verlust ist dann im Grunde genommen eine
Kennzahl für die Fähigkeit.
Erste Hinweise auf diese Problematik finden sich bereits bei den British Standards 2564 aus
dem Jahre 1955 und bei Juran [1974] in seinem Quality Control Handbook.
L(y)
1
Abb. 5.2.5: Verlustfunktion
Tu Sollwert To Y

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
177
Um diese Zusammenhänge zu verdeutlichen, betrachten wir zunächst einmal den Ausschussanteil
p.
Zu p gehört die binäre Verlustfunktion
⎧0, für Y ∈[ To
− Tu]
Ly ( ) = ⎨
⎩ 1, für Y ∉[ To
− Tu]
Diese Verlustfunktion ist ein Sprungfunktion. Das zeigt die Abbildung 5.2.5.
Besitzt Y die Vd f(y) und die Vf F(y), dann erhält man den erwarteten Verlust
∞
∫
E[ L( Y)] = L( y) ⋅ f( y)dy
−∞
∫
= 0 ⋅ f( y)dy + 1 ⋅ f( y)dy
y∈TB
= P( Y∉ TB) = : p
∫
y∉TB
wobei [T o – T u ] =: TB.
Für die zweiseitige Betrachtung erhält man
p = 1 – P(T u ≤ Y ≤ T o ) = 1 – F(T o ) + F(T u ) = p o + p u .
Für die einseitige Betrachtung erhält man
bzw.
p = P(Y > T o ) = 1 – F(T o )
p = P(Y < T u ) = F(T u ).
Diese Betrachtung über die traditionelle Verlustfunktion hat wesentliche Nachteile. Zum einen
drückt sie nur den Verlust des Produzenten aus, obwohl der Konsument natürlich ebenfalls
durch die nicht zielwertkonformen Produkte Verluste erleidet. Zum anderen ist der Verlauf
dieser Verlustfunktion in keiner Weise plausibel. Betrachten wir z. B. ein Produkt, dessen Wert
für die Produktvariable in unmittelbarer Nähe der oberen oder unteren Toleranzgrenze, aber
noch innerhalb des Toleranzintervalls liegt, so wird der Verlust mit 0 bewertet. Für einen anderen
Wert, der sich vom vorangegangenen nur ganz wenig unterscheidet, aber außerhalb des
Toleranzbereiches liegt, wird der Verlust 1 angenommen.
Taguchi hat diesen Missstand durch die Einführung der quadratischen Verlustfunktion korrigiert.
Danach ist ein Produkt umso besser, je näher der Wert seines Produktvariables am
Sollwert liegt. Je größer die Differenz zwischen Soll- und Istwert ist, desto größer ist der Verlust
über die gesamte Lebenszeit des Produktes.
Für die zweiseitige Tolerierung lautet die Taguchi-Verlustfunktion
L T (y) = c (y – M Y ) 2 ,
wobei M Y der Sollwert für die Produktvariable Y und c ein Proportionalitätsfaktor sind. Analog
kann man die Verlustfunktion für einseitige Tolerierung aufschreiben.

178 5 Qualität in der Fertigung
Für den Erwartungswert der Verlustfunktion – das Risiko – erhält man mit der Vd f(y)
∞
∫
∞
2 2
y ∫ μy μY Y
−∞
∞ ∞ ∞
∫
2 2
μY μY Y ∫ μY μY Y ∫
−∞ −∞ −∞
E[ L( y)] = c ⋅( y − M ) ⋅ f( y)d y = c ⋅ [( y − ) + ( − M )] f( y)dy
−∞
⎧⎪
⎫⎪
= c ⋅⎨
( y− ) f( y)dy+ 2 ⋅( −M ) ⋅ ( y− ) ⋅ f( y)d y+ ( −M ) ⋅ f( y)dy⎬
⎪⎩
⎪⎭
= c ⋅ { σ + ( − ) }
2 2
μY
MY
Das ist der bekannte mittlere quadratische Fehler (engl. mean square error), der z. B. für die
Güte einer Schätzfunktion verwendet wird. Der Term (µ Y – M Y ) 2 ist der quadratische Bias.
Damit werden die zwei Hauptaufgaben aus der Abbildung zur Entscheidung mit den Prozessfähigkeiten
noch einmal verdeutlicht. Der Bias gibt die Abweichung des Mittelwertes vom
Sollwert an. Ist ein Bias vorhanden, dann muss der Prozess neu zentriert werden, sodass diese
Abweichung null wird. Ist die Streuung so groß, dass die „Schwänze“ der Verteilung über die
Toleranzgrenzen hinausragen, dann muss der Prozess so verbessert werden, dass die Streuung
kleiner wird.
Prozessfähigkeit nach Taguchi auf der Grundlage der Verlustfunktion
Nach Rammelmüller [1993] und Taam [1993] können die univariaten Prozessfähigkeitsindizes
auch wie folgt geschrieben werden
To
− Tu
T − T 6 S Cp
C = = =
D
wobei
o u
pm
2 2
1
6 S + ( Y − M)
⎡
2
( Y − M)
⎤2
⎢1
+
2 ⎥
1
2 2
⎡ ( Y − M)
⎤
D = ⎢1
+
2 ⎥
⎣ S ⎦
⎣ S ⎦
die Abweichung des Mittelwertes der Werte für die Produktvariable vom Sollwert M misst.
Beispiel 5.2.4: Wellendurchmesser. Prozessfähigkeit nach Taguchi
Verwenden Sie die Angaben für den Soll- und Istzustand von oben und setzen diese Werte
in die Formeln für die Taguchi Fähigkeiten ein, dann erhalten Sie die Werte D = 1.000199
und C pm = 0,9998. Diese Werte stimmen mit den Werten von oben überein. Damit ist auch
die zu fällende Entscheidung dieselbe.
Welche Schlüsse können Sie aus den verschiedenen univariaten Prozessfähigkeitsindizes für
die praktische Anwendung ziehen?
C p beschreibt das Verhältnis von Spezifikationsbreite zur Breite der Verteilung der Messwerte für
die Produktvariable. Je größer C p wird, desto weniger streuen die Werte für die Produktvariable.
Bei C p = 1 stimmt die 6 s Breite der Häufigkeitsverteilung mit der Toleranzbreite überein.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
179
C pk wächst für jedes konstante σ linear mit der Annäherung des Mittelwertes Y an den Sollwert.
Das heißt aber, ein Mittelwert Y nahe beim Sollwert wird genauso bewertet wie ein Mittelwert
nahe einer der Toleranzgrenzen. Daraus folgt für die Anwendung, dass ein großer C pk -Wert
mitunter zu wenig über die Zentriertheit des Prozesses aussagt.
C pm beinhaltet sowohl die Streuung der Produktvariablen, wie auch die Zentriertheit ( Y − M )
der Verteilung der Produktvariablen auf den Sollwert. C pm = 1 besagt, dass Y innerhalb der mittleren
Drittels von (T o – T u ) liegt. Hieraus folgt, der Index C pk sollte durch C pm ersetzt werden.
Das ist ein positiver Beitrag zur Diskussion, welcher Philosophie bei der Kontrolle von Prozessen
zu folgen ist,
•
•
dem Nachweis der Erfüllung der spezifizierten Kundenanforderungen oder
der Erfüllung gewisser statistischer Gesetzmäßigkeiten.
Im Kapitel 6 wird diese Diskussion noch einmal aufgegriffen.
Prozessfähigkeit und Ausfallrate
Wir betrachten nur die univariate Produktvariable Y mit dem Sollzustand M = Sollwert und
der unteren T u und oberen T o Toleranzgrenze.
[T o – T u ] ist das Toleranzintervall. Falls der Wert Y i eines Produktes für die Produktvariable
Y innerhalb des Toleranzintervalls liegt, d. h. falls Y i ∈ [T o – T u ], dann sagen wir das Produkt
ist konform zur Spezifikation. Wenn Y i ∉ [T o – T u ], dann sagen wir, das Produkt ist nicht
konform zur Spezifikation.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Messwert Y i , i = 1, …, N von Y außerhalb der Toleranzgrenzen
liegt, ist
p = 1 – F(T o ) + F(T u ).
Die Fähigkeit des Prozesses ist eine Funktion der Ausfallrate, d. h.
p = P( Y ∈[ To
− Tu]) = 1 − ∫ f( y)d y.
[ To−Tu]
Prozesse mit kleinem p werden fähig genannt. Wie klein p sein muss, um einen Prozess als
fähig zu charakterisieren ist das Anliegen des Qualitätsverantwortlichen des Unternehmens. In
der Praxis hat sich die Forderung p < 0.0027 für fähige Prozess bewährt. Es muss aber darauf
verwiesen werden, dass eine solche Forderung von den Herstellungskosten abhängig ist und
daher nur akademischen Charakter hat.
Setzen wir noch voraus, dass Y ~ N (µ, σ 2 ) gilt, dann erhalten wir für das einseitig nach oben
begrenzten Toleranzintervall
∞
⎧
2
1 ⎪ ( y − μ)
⎫⎪
po = P( Y > To) = ∫ exp⎨−
2 ⎬d y.
σ 2 π ⎪⎩
2 σ ⎪⎭
To
Hierfür können wir nach der Standardisierung der Zufallsgröße Y und deren Toleranzgrenzen
auch schreiben
∞
o − μ o − μ μ − o
⎛ T ⎞ ⎛T ⎞ ⎛ T ⎞
po = P ⎜Z > ⎟ = = − ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ∫ Φ()d z z 1 Φ Φ
⎝ ⎠
⎜
⎝
⎟.
σ ω σ ⎠
To
−μ
σ

180 5 Qualität in der Fertigung
Hieraus folgt,
p o = 1 – Φ (3 C po ) = Φ (–3 C po ).
Ein analoger Ausdruck ist der Ausschussanteil bei dem einseitig unten begrenzten Toleranzintervall.
Das p ist nun leider unbekannt. Daher betrachten wir für eine Stichprobe die Schätzung
N
1
Fˆ( y ) = ∑I ( Yi
< y )
N
i=
1
für unbekannte Verteilungsfunktion F, wobei I (Y i < y) die Indikatorfunktion
⎧1, falls Yi
< y
I( Yi
< y)
= ⎨
⎩0, falls Yi
≥ y
bezeichnet.
Damit erhalten wir
1
pˆ = 1 − Fˆ( T ) + Fˆ( T ) = 1 − I( T ≤ Y ≤ T )
und die Schätzungen
bzw.
und
∑
o u u i o
N
i=
1
̃ ⎛T − ⎞ ⎛ − ⎞
= − ⎜ o Y Y T
p 1 Φ ⎟ + Φ
⎝ ⎠
⎜ u
s ⎝ s
⎟
⎠
p̃
Tu
⎛ u − ⎞ ⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟
̃
o
Φ
T Y , pT
= Φ
T Y
o
⎝ s ⎠
⎜
⎝ s
⎟
⎠
p̃ = p̃ + p̃
T .
u To Damit können wir für den Prozessfähigkeitsindex schreiben
N
⎛Y − Tu
⎞ ⎛To
− Y ⎞ 1
−1 −
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − ̃
1
C ̃
pk min , min { Φ ( pT
), Φ ( p )}
u
T .
o
⎝ s ⎠ ⎝ s ⎠ 3
Beispiel 5.2.5: Fähigkeiten und Ausfallrate
Y ~ N(0, σ 2 ). Der Sollzustand für diese Produktvariable ist
Sollwert M = 0,
T u = –0,3
T o = 0,3.
Da s und p unbekannt sind, ziehen wir eine Stichprobe vom Umfang N = 113.
Mit den Werten dieser Stichprobe berechnen wir den Mittelwert = 0,00968 und die Standardabweichung
s = 0,20509.
Damit berechnen wir die statistischen 3 s-Grenzen [–0,605596, 0,624958].
Die univariaten Prozessfähigkeitsindizes sind C p = 0,49, k = 0,03 und C pk = 0,47.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
181
Damit gilt
To − Y 0,3 − 0,00968
= = 1,415
s 0,20509
und
Y
− Tu 0,00968 − ( −0,3)
= = 1,51
s 0,20509
Aus einer Tafel mit den Werten der standardisierten Normalverteilung erhalten wir für
diese beiden Zahlen die Werte
F(1,42) = 1 – 0,92219 = 0,0778
und
F(1,51) = 1 – 0,934478 = 0,0655.
Oberhalb der oberen Toleranzgrenze T o liegen 7,78 % aller Einzelwerte und unterhalb der
unteren Toleranzgrenze liegen 6,55 % der Werte.
Zusammenfassend können sagen, bei der univariaten Prozessfähigkeit C pk = 0,47 liegen ca.
14,3 % aller Werte außerhalb der Toleranzen.
Bei einer Prozessfähigkeit C pk = 0,8 lägen nur noch ca. 1,4 % außerhalb der Toleranzgrenzen.
Hieraus lesen wir ab, dass die Vergrößerung der Prozessfähigkeit um ca. 58 % eine Verringerung
des Ausschusses von ca. 90 % zur Folge hat.
Beispiel 5.2.6: Wellendurchmesser. Ausfallrate
Die Prozessfähigkeit C p = 1 zeigt, dass kein Messwert für die gefertigten Wellen außerhalb
des Toleranzintervalls liegt, d. h. die Anteil der Messwert oberhalb der oberen Toleranzgrenze
ist null und der Anteil der Messwerte unterhalb von T u ist ebenfalls null.
Wenn wir allerdings diese Anteile nach obiger Formel schätzen, dann erhalten wir die
Werte:
•
•
geschätzter Anteil oberhalb der oberen Toleranzgrenze ist 1296 [ppm]
geschätzter Anteil unterhalb der unteren Toleranzgrenze ist 1472 [ppm]
Zusammen ergibt das einen Anteil außerhalb des Toleranzintervalls von 2768 [ppm].
Voraussetzungen für die Durchführung von Fähigkeitsnachweisen
Wie jedes mathematische oder mathematisch statistisches Verfahren ist die Durchführung von
Prozessfähigkeitsnachweisen an Voraussetzungen geknüpft. Diese betreffen
•
•
•
•
•
die Fähigkeit des Mitarbeiters,
die Fähigkeit des Messprozesses,
die Fähigkeit der Prozesse, Maschinen und Anlagen,
Verteilung der Produktvariablen,
die Prozessbeherrschung.

182 5 Qualität in der Fertigung
Wenn Sie die Fähigkeit des Messprozesses oder der Maschinen untersuchen wollen, verweise
ich Sie auf das Buch von Rinne, Mittag [1999]. Dort werden diese Verfahren sehr ausführlich
beschrieben.
Wenn Sie Hypothesen über die zugrunde liegende Verteilung der Produktvariablen Y prüfen
wollen, verweise ich Sie auf die einschlägigen Bücher über die univariate Statistik von Schwarze
[1997], Lehnen, Wegmann [1985], Rinne, Mittag [1999] u. a.
In der Literatur, so z. B. auch bei Rinne und Mittag, wird auf die Bedeutung der Stabilität der
„Verhältnisse in der Produktion“ hingewiesen und erklärt, dass damit die zeitliche Konstanz
der Verteilung der Produktvariablen gemeint ist.
Braucht man die Stabilität für die Interpretation der Prozessfähigkeitsindizes?
Ich meine nicht, denn die Stabilitätsanforderung müsste vor der Fähigkeitsanalyse überprüft
werden. Erst nachdem nachgewiesen wurde, dass ein Prozess fähig ist, sollten Regelkarten
eingeführt werden. Andererseits wird behauptet, die Stabilität mit Regelkarten nachzuweisen.
Das sieht aus, wie eine Katze, die sich in den Schwanz beißt.
Die Toleranzgrenzen liegen fest. Jedes Produkt, dessen Wert für die Produktvariable außerhalb
des Toleranzintervalls liegt, ist Ausschuss. Der Grund, warum das Produkt Ausschuss ist, ist
zwar interessant, aber erst bei der Ursachenforschung und nicht bei der Definition der Fähigkeiten.
Der Begriff Stabilität sorgt immer wieder für Irritationen, so z. B. in den Arbeiten von
Stark [1999] und Kaiser, Nowack [1999]. In diesen Arbeiten will man neue Gesichtspunkte
für die univariaten Fähigkeitsberechnungen und Kontrollkartentechniken ableiten, lässt aber
die spezifizierten Kundenanforderungen außer acht und bezieht nur statistische Aspekte ein.
Das ist nicht zulässig.
Können wir auch univariate Prozessfähigkeitsindizes berechnen, wenn die Produktvariable
nicht normal verteilt ist?
Ja. Wir betrachten als Benchmark den Fall, die
Produktvariable Y ist binomial verteilt.
Die Produktvariable Y kann nur zwei verschiedene Werte annehmen, z. B.
Y
⎧0, wenn das Produkt n. i. O.
= ⎨
⎩ 1, wenn das Produkt i. O.
wie z. B. bei der Wareneingangsprüfung.
Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Fälle seien P(Y = 0) = p und P(Y = 1) = 1 – p. Die
Ausschusswahrscheinlichkeit p ist unbekannt und wird mit einer Stichprobe von N Werten,
die ja nur 0 oder 1 sein können, bestimmt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Stichprobe vom Umfang N k Produkte defekt sind,
ist durch die folgende Formel gegeben,
⎛
N
⎞ ⎛N
⎞
P ⎜∑
yi
= k⎟
= ⎜ ⎟ p ⋅(1 − p)
⎝ ⎠ ⎝ k ⎠
i=
1
wobei k zwischen 0 und N liegt.
k N−k

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
183
Die Häufigkeiten für die verschiedenen k, d. h. für k = 0, k = 1, … werden durch die Häufigkeitsverteilung
visualisiert und durch das Einzeichnen des Sollwertes p und der Toleranzgrenzen
p u und p o mit dem Sollzustand verglichen. Die Binomialverteilung wird ebenfalls vollständig
durch den Mittelwert
Y = pˆ und die Standardabweichung s =
pˆ
(1 − pˆ)
N
charakterisiert. Damit können die obigen Formeln 1, 2 und 3 zur Berechnung der Prozessfähigkeitsindizes
verwendet werden. Man erhält
p −
−
o p
pˆ
p
u
Cp = , k = und Cpk = (1 − k) ⋅Cp.
6 ⋅ s 1
( po
− pu)
2
Wir betrachten noch den etwas selteneren Fall,
die Produktvariable Y ist nach Poisson verteilt.
Bei dieser Verteilung sind Mittelwert und Standardabweichung gleich, d. h. es gilt Y = λ und
s = λ . Hiermit sind wiederum die Formeln 1, 2 und 3 von oben anwendbar.
Müssen Sie etwas über die Verteilungen der Prozessfähigkeitsindizes wissen?
Ja, den n die univariaten Prozessfähigkeitsindizes sind Zufallsgrößen. Das wird deutlich, wenn
Sie beachten, dass diese von Y und s abhängen. Y und s sind aber Zufallsgrößen, denn diese
hängen wiederum nur von den Stichprobenwerten Y 1 , …, Y N ab.
Aus der Verteilung der Prozessfähigkeitsindizes können Sie die Konfidenzintervalle für die
Indizes berechnen.
Wozu benötigen Sie die Konfidenzintervalle für die Prozessfähigkeitsindizes?
Die Prozessfähigkeitsindizes sind Zufallsgrößen. Sie schwanken von Stichprobe zu Stichprobe,
obwohl die Produktionsbedingungen gleich sind. Ist die ursprüngliche Streuung groß, so kann
das zu Fehlentscheidungen führen. Daher wollen wir Ihnen mit den Konfidenzintervallen ein
Instrument in die Hand geben, um die Unsicherheit zu quantifizieren.
Für die Ableitung der Konfidenzintervalle benötigen wir die Verteilung der Indizes. Um diese
berechnen zu können, fasse ich die bisherigen Ergebnisse zusammen.
Unter der Voraussetzung Y ∼ N (μ, σ 2 ) gilt
1.
Y
⎛
2
σ ⎞
∼ N ⎜μ
, ⎟ , wobei N der Stichprobenumfang ist
⎝ N ⎠
2.
( N −1)
⋅ s
σ
2
2
2
∼ χ , falls Y 1 , …, Y N unabhängig nach N (0, 1) verteilt sind
3. Y und s 2 sind unabhängig voneinander verteilt und

184 5 Qualität in der Fertigung
4.
Y − μ
⋅
σ
( N −1)
( N −1)
N
⋅ s
2
⋅σ
2
Y − μ
= ⋅ N ∼ t
s
N −1
5. Konfidenzintervall für σ 2 ist durch
2 2
( N −1) ⋅ s 2 ( N −1)
⋅ s
≤ σ ≤
2 2
χ
χ
α
α
1−
2 2
gegeben. Daraus folgt
( N −1) ⋅ s 2 ( N −1)
⋅ s
≤ σ ≤
2 2
χ
χ
R
2 2
L
,
wobei R den rechten Schwanz und L den linken Schwanz der χ 2 -Verteilung bezeichnen.
Beweise: siehe z. B. Schmetterer [1956, S 131].
In
C
p
To
− T
=
6 ⋅ s
u
sind T o und T u fest. Nur s ist eine Zufallsgröße. Damit erhält man für C p das Konfidenzintervall:
C
≤ κ
≤ C
p p p
mit
wobei
1 1
Cp = Cp ⋅ und Cp = Cp
⋅
b
b
u
o
N − 1
bo, α =
2
χ α
N −1,1−
2
N − 1
bu, α =
2
χ α
N −1, 2
κ
p
To
− T
=
6 ⋅ σ
u
In ähnlicher Weise kann man ein Konfidenzintervall für C pk berechnen. Ausgangspunkt ist die
Darstellung von C pk in der Form

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
185
C
pk
1
T ( o u )
o Y Y T
⋅ T − T − Y − M
⎧ − − u⎫
= Min , 2
⎨
⎬ =
.
⎩ 3⋅ s 3⋅ s ⎭
3⋅
s
Die Konfidenzintervalle für µ und σ 2 sind:
und
s ⋅t s ⋅t
Y − ≤ μ ≤ Y +
N
N
α
α
N−1, N−1,
2 2
2 2
( N −1) ⋅ s 2 ( N −1)
⋅ s
≤ σ ≤
χ
χ
α
α
N−1,1− N−1,
2 2
Indem man die Konfidenzintervalle für µ und σ 2 in die Formel für C pk einsetzt, erhält
man das Konfidenzintervall für C pk mit der unteren Intervallgrenze C pk
C
pk
=
t α ⋅ s
1
N −1, ⋅ ( T − − − 2
o Tu
) Y − M
2
N
3 ⋅ s ⋅
N − 1
χ
2
α
N −1, 2
.
Zur Abkürzung setzen wir
und
a
b
α
α
N −1, 2
: = ,
N
=
t
N − 1
o. α 2
χ α
N −1,1−
2
N − 1
bu, α =
2
χ α
N −1, 2
Damit erhält man
C
pk
1 1
⋅( To − Tu) − Y − M − aα
⋅ s ⋅( To − Tu)
− Y − M
=
2
=
2
aα
−
3⋅ s ⋅b 3⋅ s ⋅b 3⋅b
1 a 3 ⋅Cpk
− a
α
= Cpk
⋅ − =
b 3⋅b 3⋅b
u, α u, α u, α
u, α u, α u, α
α
.

186 5 Qualität in der Fertigung
Analog erhält man für die obere Intervallgrenze Cpk
3 ⋅ Cpk
+ aα
Cpk
=
3 ⋅ bo,
α
so dass
⎛3⋅Cpk
− aα
3⋅ Cpk
+ aα
⎞
P ⎜
≤ κpk
≤ ⎟ = 1 − α.
⎝ 3⋅b
3⋅b
⎠
u, ε
o, ε
Beispiel 5.2.7: Akkubohrschrauber. Konfidenzintervalle für C p und C pk
Die Sollvorgaben für die Produktvariable Y 2 Produktvariable sind
M 2 = 0 [mm]
T u,3 = –0.3 [mm]
T o,3 = 0.3 [mm]
Aus der Stichprobe von N = 113 vermessenen Gehäusen erhält man die statistischen Maßzahlen
für den Istzustand
Y 2 = 0.0099 [mm]
s 2 = 0.204 [mm]
Damit erhält man
C
k
p
0.6
= = 0.49
6 ⋅ 0.204
0.0099
= =
0.3
C pk = 0.474.
0.033
Die Konfidenzintervalle zu C p und C pk sollen für die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05
bestimmt werden. Dazu muss man die Koeffizienten a α und b o , α und b u , α berechnen.
a
α
t
N
α
−1, = 2 1.9814
= = 0.18639
N 113
mit
und
t 112,0.025 = 1.9814
N − 1 112
= = = 0.92998
129.5
bo, α 2
χ α
N −1,1−
2
und
N − 1 112
= = = 1.22842
χ α
74.22
N −1, 2
bu, α 2

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
187
mit
χ
χ
2
112,0.975
2
112,0.025
= 129.5
= 74.22
Damit erhält man
P( Cp ≤ κp ≤ Cp) = 1−
α
P (0.3989 ≤ κ ≤ 0.5268) = 0.95
und
p
P( Cpk ≤ κpk ≤ Cpk
) = 1−
α
P (0.335 ≤ κ ≤ 0.577) = 0.995
pk
Die berechneten Prozessfähigkeiten und deren Konfidenzintervalle zeigen, dass der Prozess
zur Herstellung der Plastikschalen verbessert werden muss.
Zusammenstellung der Eigenschaften des univariaten Prozessfähigkeitsindizes C p
•
•
Der einfache Prozessfähigkeitsindex C p ist eine streng monoton fallende Funktion von σ.
Die Funktion C p ist konvex, d. h.
dC p To
− Tu
1
=− =− C
2
dσ
6 ⋅ σ σ
p
Die grafische Darstellung von C p ist in der Abbildung 5.2.6 enthalten
5
Cpj
0.33333
0.2 s j
3
Abb. 5.2.6: C p in Abhängigkeit von σ
Die Elastizität der Funktion C p wird nach der Beziehung
dC
Cp
η( Cp) = = −1
dσ
σ
p

188 5 Qualität in der Fertigung
berechnet. Dieser Ausdruck bedeutet, C p ist isoelastisch, d. h. eine Vergrößerung von σ um 1 %
führt zu einer Verkleinerung von C p von 1 %.
•
•
Die Anforderung an C p lautet nach Montgomery [1996], S. 446 C p > 1.33.
Die Aussagen über C p betreffen die Verbindung zum Gutanteil der Produktion oder zur
Ausschussquote. Diese können erst nach der Korrektur mit dem Korrekturfaktor k formuliert
werden, da eine Verteilung, insbesondere die Normalverteilung, durch die beiden
Momente Mittelwert und Standardabweichung vollständig charakterisiert wird.
• Die Schätzfunktion für C p , hier mit
ˆ To
− Tu
Cp
=
6 ⋅ s
Ĉp
bezeichnet, ist
• Die Verteilung von C p ist unter der Annahme Y ~ N(μ, σ 2 ) eine χ 2 N – 1 Verteilung mit
N – 1 FG. Die Schätzfunktion Ĉ p ist asymptotisch erwartungstreu und MSE-konsistent
• Das Konfidenzintervall für C p ist
⎛⎧
2 2
χ
⎫⎞
α χ α
⎜
⎪
− − −
⎪⎟
⎜⎨
ˆ N 1, N 1,1
2 2
P Cp
⋅ ≤ Cp
≤ ⎬⎟
= −
⎪ −1 −1
⎪
1 α
N
N
⎜
⎝⎪
⎪⎟
⎩
⎭⎠
• Ein Test zur Prüfung der Hypothese H 0 : C
χ
N − 1
2 0
= C p ⋅
2
χ α
N −1,1−
2
p
0
p
≤ C gegen die Alternative H 1 : C
p
0
p
> C ist
Die Hypothese H 0 bedeutet, der Prozess ist nicht fähig. C p bezeichnet die Vorgabe des
0
Unternehmens bzgl. der Prozessfähigkeit, z. B. den Wert c p = 1.33 .
• Für den Korrekturfaktor k erhält man die Resultate
μ − M
k =
1 ( To
− T ) u
2
k = 0 ⇔ µ = M
k = 1 ⇔ µ = T o oder µ = T u
0 < k < 1 ⇔ µ ∈ {( T o , T u ) \ {M}}
k > 1 ⇔ µ ∉ [T u , T o ]
lim k =∞
μ →±∞
k ist eine lineare Funktion von µ, wie die Abbildung 5.2.7 zeigt.
k ist nur von µ abhängig. Die Funktion k ist nicht monoton.
K ist linear fallend für µ < M und linear wachsend für µ > M.
k ist somit ein dimensionsloses Maß für die Dezentrierung, bzw. 1 – k ist ein Maß für die
Zentrierung des Prozesses auf den Sollwert M.
0

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
189
0.6667
0.8
0.6
k i
0.4
0.2
0
-2 -1 0 1 2
m i
Abb. 5.2.7: Darstellung von k
Eine Schätzfunktion für k ist
kˆ
=
Y − M
1 ( To
− Tu
)
2
mit
2
k ˆ ∼ N1
( μk
, σk
),
μ
k
2 2
μ − M
2 σY
σY
= und σk
= = .
1 N
( T −
−
⋅
o Tu ) ( To Tu
)
N Δ
2 2
Die Schätzfunktion ˆk ist verzerrt. k wird systematisch zu groß geschätzt. Die Schätzfunktion
ist aber asymptotisch erwartungstreu, d. h. der Bias konvergiert mit dem Stichprobenumfang
N gegen null.
Für die Ableitung eines Tests zur Prüfung von Hypothesen über k muss ˆk etwas umgeformt
werden.
Es gilt
ˆ Y − M k − μk
μk
k = : Z = = σk
+ .
Δ σ σ
Der Ausdruck
k − μk
U = ∼ N (0, 1)
σ
k
Für den 2. Ausdruck kann man schreiben
k
k
δ
2
2 2
2 2
⎛μ ⎞ ⎛ − ⎞
k μY
M Δ k N
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
2
⎝σ ⎠ ⎝σ / N ⎠ σ
k Y Y
Der Ausdruck (U + δ) 2 ~ χ 2 (1; δ 2 ), d. h. das Quadrat der Summe der beiden Summanden U und
δ 2 ist nichtzentral χ 2 verteilt mit einem Freiheitsgrad und dem Nichtzentralitätsparameter δ 2 .

190 5 Qualität in der Fertigung
Mit diesen Darstellungen erhält man das Schwankungsintervall für ˆk
σ Y
χ
⎛Δ ⎞ ˆ σ ⎛Δ
⎞ .
Δ N
2 2 2 2
2 k N Y 2 k N
α ⎜ ⎟ ≤ k ≤ χ
2 1−
α ⎜ 2 ⎟
2
⎝ σY
⎠ Δ N
2
⎝ σY
⎠
Setzt man in den Nichtzentralitätsparameter ein hypothetisches k 0 ein, dann kann man das
Intervall als Test verwenden.
Vorstellung von C pk :
Die Verbindung zwischen C pk und der Ausschussquote bzw. dem Anteil der guten Produktion
(Gutanteil) ist gegeben durch
⎛To
− μY
⎞ ⎛Tu
− μY
⎞
Q = P({ Tu
≤ Y ≤ To})
= Φ⎜ ⎟ − Φ
⎝ σ ⎠
⎜
⎝ σ ⎟
⎠
Löst man C p nach σ auf, dann erhält man
⎛ To
− μY
⎞ ⎛ Tu
− μY
⎞
Q = Φ⎜6⋅Cp
⎟ − Φ⎜6⋅Cp
⎝ T − T ⎠ ⎝ T − T ⎟
⎠
o u o u
Y
Hieraus kann man zunächst ablesen, dass C p allein zur Beschreibung der Ausschusses oder
alternativ dazu des Gutanteils nicht ausreicht.
Die Verwendung von
liefert
To + Tu To − T
μY
= + κ u , mit κ ∈R
2 2
Q = Q( C , κ) = Φ[3 ⋅(1 − κ) C ] − Φ[ −3 ⋅ (1 + κ) C ].
p p p
Sind k und C p bekannt, dann ist die zweiseitige Ausschussquote eindeutig durch
d. h.
bestimmt.
P = 2 − Φ[3 ⋅ C (1 + k)] − Φ[3 ⋅C (1 − k)]
p
⎛ 1 + k ⎞
P = 2 − Φ(3 Cpk
) + Φ⎜3Cpk
⎝
⎟
1 − k ⎠
p
Y
Korrigierter Prozessfähigkeitsindex C pk
min ( To
− μY; μY
− Tu)
Δ − μY
− M
Cpk
= = = (1 − k)
C
3σ
3σ
Y
C pk soll möglichst groß sein, denn große C pk garantieren geringe Ausschussquoten.
Y
p
C
pk
⎧ Cpo
für μY
< M
⎪
= ⎨Cp
fürμY
= M
⎪
⎩Cpu
fürμY
> M

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
191
μY
− Tu
To
− μY
wobei Cpu
= und Cpo
= .
3 ⋅ σY
3 ⋅ σY
Die Funktion C pk = C pk (µ Y , σ Y ) besitzt bezüglich der Argumentvariablen die Eigenschaften
max
C ( μY; σY) = C ( M; σY)
= C
μ ∈ R
μ
Y
Y
pk pk p
lim
C −∞
→±∞
pk ( μY; σY)
und bzgl. der Variablen σ
und
⎧∞ für Tu
< μY
< To
lim
⎪
C ( μY; σY) = ⎨0 fürμY = T oderμY
= T
σ → 0
⎪
⎩ −∞ für μY
< Tu
oder μY
> T
Y
pk u o
lim
C =
→∞
pk ( μY; σY) 0.
σ
C pk > η, wenn der Streubereich [μ Y – 3 η σ Y ; μ Y + 3 η σ Y ] vollständig im Toleranzbereich
[T u ; T o ] enthalten ist. Hieraus folgt, dass C pk > 1, wenn [μ Y – 3 σ Y ; μ Y + 3 σ Y ] vollständig in
[T u ; T o ] liegt.
Die partiellen Ableitungen von C pk nach µ Y und σ Y sind
⎧ 1
− für μY
> M
∂Cpk
⎪ 3 σY
= ⎨
∂μY
⎪
1
für μY
< M
⎪⎩ 3 σY
∂C
∂σ
pk
Y
1
=− C
σ
Y
pk
.
Hiermit können die Elastizitäten berechnet werden Es gilt
η σ
∂Cpk
Cpk
( Cpk
) = : = −1
∂σ
σ
Y
d. h. bzgl. σ Y ist C pk eine isoelastische Funktion.
Y
⎧ μ
−
Y
∂Cpk
Cpk
⎪ Δ − μY
− M
ημ
( Cpk
) = : = ⎨
∂μY
μY
⎪
μ +
Y
⎪ ⎩ Δ − μY
− M
ist nicht eindeutig, so dass bzgl. µ Y keine Aussage über die Elastizität formuliert werden kann.
Die Darstellung von C pk ist in der Abbildung 5.2.8 zu sehen.
o

192 5 Qualität in der Fertigung
4
3
2
40
20
10
0
1
0
10
20
30
Abb. 5.2.8: Darstellung des korrigierten Prozessfähigkeitsindexes
Die Schätzfunktion für C pk ist
Cˆ
pk
0.5 ( To
− Tu)
− Y − M
= = (1 − k)
Cˆ
s
3 Y
p
Die Verteilungsdichte für Ĉ pk ist recht kompliziert. Diese wurde von Chou, Owen [1989]
abgeleitet. Hier soll auf die Wiederholung der Darstellung verzichtet werden, da deren Angabe
keinen praktischen Nutzen zeigt.
Prozessfähigkeitsindex C pm nach Taguchi
Ausgangspunkt für diese Darstellung ist die Variabilität τ 2 von Y bzgl. des Sollwertes M, d. h. die
Beziehung E [(Y – M) 2 ] = σ 2 Y + (µ Y – M) 2 =: τ 2 , in der σ 2 Y die Varianz um den Erwartungswert
µ Y und der zweite Term den quadratischen Bias angibt. Da σ ≤ τ mit der Gleichheit nur für
µ Y = M, gilt selbstverständlich C pm ≤ C p . Genauer kann man schreiben
C pm = σ Y / τ C p .
Die grafische Darstellung von C pm ist in der Abbildung 5.2.9 enthalten.
Die beiden Graphen für C pk und C pm unterscheiden sich vor allem hinsichtlich der nichtlinearen
Abhängigkeit des Indexes C pm von µ Y und σ Y .

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
193
2
1.5
1
30
40
20
10
10
0.5
0 0
Abb. 5.2.9: Darstellung des Prozessfähigkeitsindexes nach Taguchi
20
5.2.1.7 Was sind multivariate Prozessfähigkeitsindizes?
Problem
Ein Prozess wird fähig genannt, wenn er konsequent Produkte produziert, dessen Produktvariablen
innerhalb des Spezifikationsbereiches liegen. Ein Produkt wird durch m, m ≥ 1 nicht
unabhängige Produktvariable Y 1 , …, Y m beschrieben. Der rechteckige Spezifikations- oder
Toleranzbereich ist
m
TB : = { Y : Y ∈R
und Y ∈ [ T , T ] für j = 1, …, m}.
j u, j o, j
Manchmal ist TB durch ein Hyperellipsoid oder ein anderes Gebilde spezifiziert.
Ein Maß für die Fähigkeit des Prozesses, der aufgrund aller relevanten, nicht unabhängigen
Produktvariablen beurteilt werden soll, wird multivariater Prozessfähigkeitsindex genannt und
mit MC p (einfacher) bzw. MC pk (korrigierter) bezeichnet. Das Problem besteht nun darin,
die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes zu bestimmen und Entscheidungen aufgrund der
multivariaten Prozessfähigkeitsindizes zu treffen.
Sind die Entscheidungsmöglichkeiten analog denen der univariaten Prozessfähigkeitsindizes?
In der neueren Literatur gibt es einige Ansätze für multivariate Prozessfähigkeitsindizes, so wie
diese in den Arbeiten von Chan, Chen, Spiring [1988], Taam et al. [1993], Wang et al. [2000],
Jahn [1997].
Die Notwendigkeit für die Ableitung von Formeln soll an Beispielen mit unterschiedlicher
Abhängigkeitsstruktur betrachtet werden.

194 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.2.8: Simulationen. Maßzahlen und univariate Fähigkeiten
Es wird der zweidimensionale Fall mit den beiden Produktvariablen Y 1 und Y 2 betrachtet.
Der Y sei normal verteilt mit dem Vektor der Erwartungswerte µ T = (µ 1 , µ 2 ) und der
Kovarianzmatrix
Σ
YY
⎛
2
σ ⎞
1 σ12
= ⎜
2
⎟.
⎝ σ ⎠
2
Die Sollwerte seien M T = (5.0, 5.0),
und die unteren und oberen Toleranzgrenzen seien
T o T = (7.5, 7.5)
T u T = (2.5, 2.5).
Für die beiden Fälle werden Stichproben mit den sehr großen Stichprobenumfängen
N 1 = N 2 = 5000 simuliert.
Für den unkorrelierter Fall erhält man die Schätzungen r 12 = –0.0078,
S YY
⎛0.6261 −0.0053 ⎞
= ⎜
⎝
⎟,
0.7395 ⎠
und die univariaten Prozessfähigkeitsindizes der Tabelle 5.2.5.
Tabelle 5.2.5: Univariate Prozessfähigkeitsindizes für den unkorrelierten Fall
T u T o Mittel Stdabw. C p k C pk
Y 1 2,5 7,5 5,505 0,7913 1,053 0,202 0,8401
Y 2 2,5 7,5 4,288 0,86 0,969 0,2846 0,6933
Für den extrem hoch korrelierten Fall erhält man die Schätzungen r 12 = 0.9987,
S YY
⎛0.6591 0.70827 ⎞
= ⎜
⎝
⎟,
0.76344⎠
und die univariaten Prozessfähigkeitsindizes der Tabelle 5.2.6.
Tabelle 5.2.6: Univariate Prozessfähigkeitsindizes für den hoch korrelierten Fall
T u T o Mittel Stdabw. C p k C pk
Y 1 2,5 7,5 5,4904 0,8122 1,0261 0,1962 0,8248
Y 2 2,5 7,5 4,2899 0,8732 0,9544 0,2841 0,6833
Aus den Tabellen liest man ab, dass sich die statistischen Maßzahlen für den unkorrelierten
und hoch korrelierten Fall im statistischen Sinne nicht unterscheiden und die Kovarianzmatrizen
und damit natürlich die Korrelationsmatrizen sich wesentlich unterscheiden.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
195
Sind der unkorrelierte und hoch korrelierte Fall aber bzgl. der simultanen Erfüllung der
Kundenanforderungen beider Produktvariablen als gleich anzusehen?
Zur Beantwortung dieser Frage müssen weitere Charakteristika berechnet werden. Zu diesen
zählen die Eigenwerte, die Längen der Hauptachsen der Streuungsellipsen, in deren Inneren
alle Punkte (Y i1 , Y i2 ), i = 1, …, N mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α = 0.0027 liegen und die
Projektionen der Hauptachsen auf die Achsen der Produktvariablen.
Längen der Hauptachsen der Ellipse :
Für die Kovarianzmatrix Σ YY können wir die Eigenwerte über die charakteristische Gleichung
det(S YY – λ I) = 0,
d. h.
2
1 s12
2
21 s2
s − λ
s
− λ
= 0
berechnen.
Wir erhalten die quadratische Gleichung
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 − λ 2 − λ − 12 = λ − λ 1 + 2 + 1 2 − 12
2
λ λ Sp SYY
SYY
( s )( s ) s ( s s ) ( s s s )
= − ⋅ ( ) + det( ) = 0
Beispiel 5.2.9: Simulationen. Eigenwerte und Längen der Hauptachsen
Hieraus können wir für beide Fälle die Eigenwerte für den
unkorrelierten Fall
λ 1 = 0.73975 und λ 2 = 0.62585 und den
hoch korrelierten Fall
λ 1 = 1.42092 und λ 2 = 0.0006178
berechnen.
Die Eigenwerte unterscheiden sich wesentlich.
Mit den Eigenwerten können wir die Längen der Hauptachsen der Streuungsellipsen nach
der Formel
L
j
= 2 λ ⋅c,
j
berechnen, wobei
c
=−2⋅ln(2⋅π
⋅h
⋅ 1 −ρ12
2 ).
Die maximale Höhe h max der Vd ist Φ (0, 0). Die Höhe der Vd für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit
α ist
1 1
h α = 0.0027 = = = 0.083367
2π det( Σ YY ) 11.995087

196 5 Qualität in der Fertigung
Hieraus folgt
c
2 π ⋅0.0027 ⋅ det( ΣYY
)
=−2⋅ln(2⋅π
⋅ h0.0027
det( ΣYY
) =−2ln
2π
det( Σ )
2
1 −α,
m
=− 2 ln( α) =− 2 ln(0.0027) = 11.82973 = χ .
YY
Die Längen der Hauptachsen der Ellipsen für die beiden Fälle sind
L
L
1,unkorr
2,unkorr
= 0.73975 ⋅ 11.82973 = 2 ⋅ 2.95822 = 5.9164
= 0.62585 ⋅ 11.82973 = 2 ⋅ 2.72096 = 5.4419
und
L
L
1,hochkorr
2,hochkorr
= 2 ⋅ 1.42092 ⋅ 11.82973 = 2 ⋅ 4.09989 = 8.19978,
= 2 ⋅ 0.0006178 ⋅ 11.82973 = 2 ⋅ 0.08548 = 0.17097
Die Projektionen der ersten beiden Hauptachsen auf die Koordinaten- (Toleranz-) Achsen
ergibt
P 1 = 4.18
P 2 = 5.798.
Die Flächeninhalte der beiden Ellipsen sind
für den unkorrelierten Fall F unkorr = 25.287 und
für den hoch korrelierten Fall F hoch korr = 1.101.
Aus dem Beispiel 5.2.9 erkennt man, dass im Falle der Unkorreliertheit die Ellipse im Toleranzgebiet
liegen würde, wenn die Abweichung zwischen den Soll- und Mittelwerten klein
genug wäre.
Im Falle der starken Korreliertheit ragt die Ellipse auch für den Fall kleiner Abweichungen
zwischen den Soll- und Mittelwerten über das Toleranzgebiet hinaus.
Das bedeutet aber, dass in dem unkorrelierten Fall der Prozess hinsichtlich des
Streuungsverhaltens fähig und im korrelierten Fall nicht fähig ist.
Dieses Verhalten wird durch die univariaten Prozessfähigkeitsindizes nicht wider gespiegelt.
Daher ist die Verallgemeinerung der uni- auf die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes notwendig.
Die nachfolgende Abbildung verdeutlich diesen Schluss geometrisch.
In Abbildung 5.2.10. werden die beiden Grundflächen der schwach und hochkorrelierten
Verteilung in einer Grafik in Bezug auf den
•
•
gemeinsamen Sollzustand (M T = (5; 5) und T T = (T o,1 – T u,1 ; T o,2 – T u,2 ) = (5; 5) und
T
den Mittelpunkt Y = ( Y 1 Y 2 ) dargestellt.
Wir können aus dieser Abbildung folgende Sachverhalte ablesen:
1. Für den unkorrelierten Fall liegt die Streuungsellipse in Sollwertlage, d. h. mit dem Mittelpunkt
M vollständig innerhalb des Toleranzrechteckes mit den Diagonalen der Länge
7.071.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
197
T o2 = 7,5
M 2 = 5
Y2
T u,2 = 2,5
T u.1 = 2,5 M 1 = 5
Y1
T 0,1 = 7,5
Abb. 5.2.10: Streuungsellipsen für den schwach und hoch korrelierten Fall im Toleranzgebiet
2. Die Streuungsellipse für den hoch korrelierten Fall ragt auch in der Sollwertlage über das
Toleranzgebiet hinaus.
3. Die Streuungsellipsen in Mittelwertlage ragen in beiden Fällen über die Toleranzgrenzen
hinaus, d. h. die zu beiden Verteilungen gehörenden Prozesse liefern Ausschuss. Die Prozesse
sind nicht fähig.
Diese Abbildung wird durch die Streuungsellipsen der Abbildung 5.2.11 und Abbildung 5.2.12
für den unkorrelierten und hoch korrelierten Fall bestätigt.
Die Abbildungen bestätigen die obigen Aussagen, dass mit größer werdenden Korrelationskoeffizienten
der Anteil der Punkte außerhalb des Toleranzgebietes größer wird und dass
dadurch die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes kleiner werden und deren Berechnung
notwendig ist.
8
6
4
Y2
2
0
2 3 4 5 6 7 8
Y1
Abb. 5.2.11: Streudiagramm für den unkorrelierten Fall

198 5 Qualität in der Fertigung
8
6
4
Y2
2
0
2 3 4 5 6 7 8
Y1
Abb. 5.2.12: Streudiagramm für den hoch korrelierten Fall
Vor der Ableitung neuer multivariater Prozessfähigkeitsindizes (multivariate process capability
indices) MC p und MC pk werden die folgenden Voraussetzungen und Anforderungen gestellt:
• Die Produktivität eines Unternehmens ist wesentlich von dem Niveau der im Unternehmen
angewendeten Methoden für die Strukturierung des Unternehmens, die statistische Prozessanalyse
und die Entscheidungsfindung für die Prozessverbesserung, die Tolerierung oder
Überprüfung der Toleranzen mit multivariaten statistischen Methoden auf der Grundlage
der Prozessfähigkeiten abhängig.
• Jedes Produkt wird durch mehrere (m ≥ 1) Produktvariablen Y 1 , …, Y m beschrieben. Die
Produktvariablen sind nicht unabhängig voneinander.
Der Sollzustand wird durch
•
•
den Vektor der Sollwerte M T = (M 1 , …, M m ) und
die Vektoren der Toleranzgrenzen T T o = (T o1 , …, T om ) und TT u = (T u1 , …, T um )
und der Istzustand durch
•
•
den Vektor der Mittelwerte Y = ( Y 1 … Y m ) und
die positiv definite Stichprobenkovarianzmatrix S YY
T
beschrieben.
Was ist Qualität? (Wir müss en hier von Produktqualität sprechen)
Die Qualität eines Produktes wird durch die simultane Erfüllung aller relevanten Kundenanforderungen
definiert. Für den Vergleich ist es notwendig, dass
• die relevanten Kundenanforderungen unter Beachtung der Abhängigkeitsstruktur zwischen
den Produktvariablen durch Sollwerte und Toleranzgrenzen spezifiziert werden müssen.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
199
• Zum anderen ist es ebenfalls notwendig, den Istzustand für alle relevanten, nicht unabhängigen
Produktvariablen durch die m-dimensionale Häufigkeitsverteilung, bzw. durch die
Angabe des Mittelwertvektors und der Stichprobenkovarianzmatrix S YY zu erfassen.
• Über den Vergleich von Soll- und Istzustand muss die Qualität quantifiziert werden, um
sinnvolle Entscheidungen treffen zu können.
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes quantifizieren die Qualität
• Der Vektor der Produktvariable Y sei entweder
gemeinsam normal verteilt, d. h. Y ~ N m (µ, Σ YY ), Σ YY > 0
oder die gemeinsame Verteilung gehört zur Klasse der elliptisch umrissenen Verteilungen.
• Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes sollen Eigenschaften haben, die analog zu denen
der univariaten Prozessfähigkeitsindizes sind. Insbesondere sollen die multivariaten
Prozessfähigkeitsindizes als Entscheidungsgrundlage für
–
–
–
die Prozessverbesserung im Sinne der Reduktion der Variabilität der Produktvariable,
falls MC p < 1,
der Justierung des Prozesses, falls MC p > 1 und MC pk < 1,
der Überprüfung oder Neuberechnung der Toleranzgrenzen, falls MC p < 1 und die
Differenz zwischen MC p und MC pk sehr groß ist,
dienen.
–
–
–
–
–
–
–
–
Der multivariate Prozessfähigkeitsindex MC p , der das Streuverhalten des zufälligen Vektors
der Produktvariablen im Vergleich zum Toleranzbereich beurteilt, muss 1 sein, falls
das Streuungsellipsoid den Toleranzbereich an allen Koordinatenebenen berührt,
MC pk ≤ MC p für K ≥ 0.
K ist nichtlinear von Y − M abhängig,
die Form des Ellipsoids oder Hyperellipsoids der Realisierungen des Vektors der Produktvariablen
ist vom Grad der Multikollinearität δ =
1
abhängig.
Je größer der Grad der Multikollinearität ist, desto kleiner wird die kleinste Hauptachse
des Hyperellipsoides.
MC p muss folglich ebenfalls von δ abhängen.
MC p soll für verschiedene Toleranzbereiche
m
· unabhängige Spezifikationsbereiche ( T − T )
∏ oj
uj
j=
1
R YY
· abhängige Spezifikationsbereiche (T o – M) T A (T o – M)
gelten.
Sind die Produktvariablen unabhängig voneinander, kann die Benferoni Ungleichung angewandt
werden, um sicher zustellen, dass dieselbe Wahrscheinlichkeit α für alle Produktvariablen
gilt. Außerdem kann in diesem Fall die multivariate Prozessfähigkeit durch das Produkt über
alle Prozessfähigkeiten für jeden Produktvariable
m
MPC′ = ∏C
p p, j
j=
1
abgeschätzt werden.

200 5 Qualität in der Fertigung
Sind die Produktvariablen nicht unabhängig voneinander, dann sind sie korreliert. Die
Abhängigkeitsstruktur zwischen den Produktvariablen, ausgedrückt durch die Korrelationsoder
Kovarianzmatrix, muss berechnet werden. In diesen Fällen liefern die Produkte über die
einfachen Prozessfähigkeitsindizes unsinnige Ergebnisse.
Was müssen wir tun, um im multivariaten Fall den Soll- mit dem Istzustand vergleichen zu
können?
Im univariaten Fall haben wir Intervalle (Breite des Toleranzintervalls und Breite der Häufigkeitsverteilung)
miteinander verglichen.
Im zweidimensionalen Fall könnten wir Flächen – die Streuungsellipse und den Toleranzbereich
– miteinander vergleichen. Das hieße, dass wir im m-dimensionalen Fall Volumen
vergleichen müssten.
Welche Zahl können wir für m = 2 einer Fläche zuordnen?
Die Flächeninhalte des Kreises und der Ellipse mit dem Flächeninhalt des Toleranzbereiches
zu vergleichen, ergäbe für den unkorrelierten Fall den Wert
Toleranzbereich 25
= =
Streuungsbereich 25.287
und für den hoch korrelierten Fall
Toleranzbereich 25
= =
Streuungsbereich 1.101
0.988
22.706.
Dieser Vergleich macht keinen Sinn, denn die Abbildungen 5.14 und 5.15 zeigen, dass
•
•
•
Die „Ecken“ des Toleranzbereiches durch den Prozess nicht belegt werden können,
der Streuungskreis für den unkorrelierten Fall und
die Streuungsellipse für den hoch korrelierten Fall
über die Toleranzgrenzen hinausragen.
An dieser Stelle möchte ich Ihnen die Frage stellen, warum sind Schießscheiben rund?
Natürlich weil die Trefferbilder eines jeden Schießgerätes kreisförmig umrissen sind. Die Ecke
eines rechteckigen Zielgebietes zu treffen ist genauso schwierig, wie in das Zentrum zu treffen,
ja man kann sagen, jeder Eckpunkt ist der Mittelpunkt eines Vierteilkreises. Da der Flächenvergleich
kein Ergebnis liefert, müssen wir uns etwas anderes überlegen.
Wir können die Definition des univariaten Prozessfähigkeitsindex auch anders interpretieren,
indem wir fragen, wie groß ist der Abstand zwischen der oberen und unteren Toleranzgrenze
relativ zur Standardabweichung der betrachteten Produktvariablen?
Das würde bedeuten, dass wir die Abstände zwischen Punkten in beliebig dimensionalen Räumen
unter Beachtung der Abhängigkeitsstruktur zwischen den Produktvariablen betrachten
und nach passenden Abstandsdefinitionen suchen.
Im Kapitel 10 über die Klassifikationsverfahren, speziell bei der Einführung der Clusteranalyse,
werden einige Abstandsdefinitionen eingeführt und betrachtet. Der für die Ableitung der
multivariaten Prozessfähigkeitsindizes passende Abstandsbegriff ist der

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
201
Mahalanobis Abstand
Der gewichtete A bstand zwischen den beiden Vektoren z. B. Y 1 und Y 2 mit den Gewichten, die
durch die inversen Kovarianzmatrix geliefert werden, ist durch
T
1 2 1 2
T −1
1 2 ΣYY
1 2
D = ( Y − Y ) A( Y − Y )
= ( Y − Y ) ⋅ ⋅( Y − Y )
definiert, wobei die Gewichtsmatrix A durch die inverse Kovarianzmatrix ersetzt wird. Ist
Σ YY unbekannt, so wird sie durch die Stichprobenkovarianzmatrix S YY ersetzt. Sind die Stichprobenkovarianzmatrizen
von Y 1 und Y 2 verschieden, so kann man S YY durch die gemittelte
(pooled) Kovarianzmatrix ersetzen.
Nehmen wir wie oben an, dass der zufällige Vektor Y der Produktvariablen Y 1 , …, Y m m-dimensional
normal verteilt ist, dann hat er die Verteilungsdichte
1 ⎧ 1
⎫
f ( y; , ) exp ( Y ) ( Y ) ⎬,
⎭
T −1
Y μΣ = ⋅ ⎨− − μY ⋅ΣYY ⋅ − μ
m
Y
1 ⎩ 2
(2 π)
2 ⋅ ΣYY
2
wobei Σ YY eine positiv definite Kovarianzmatrix ist. Diesen Sachverhalt kürzen wir durch
Σ YY > 0 ab. In dieser Darstellung erkennen wir, dass die quadratische Form im Exponenten
der m-dimensionalen Normalverteilung mit den Abweichungen der Messwertvektoren Y i vom
T −1
i YY i
Erwartungswertvektor µ genau ein Mahalanobis Abstand D = ( Y − μ) Σ ( Y − μ ) ist, der
den „gewichteten“ Abstand einer Zufallsgröße Y i von ihrem Erwartungswert misst.
Das wollen wir uns für die Definition der multivariaten Prozessfähigkeitsindizes zunutze
machen.
Neue Definition der multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
Beim Übergang von d en univariaten zu den multivariaten Prozessfähigkeitsindizes müssen
wir anmerken, dass sich von Stichprobe zu Stichprobe mit den Vektoren der Einzelwerte
Y i , i = 1, …, N auch die Vektoren der Mittelwerte Y und die Stichprobenkovarianzmatrizen
ändern können. Die einzige nahezu unveränderliche „Größe“ ist die Korrelationsmatrix für
die Produktvariablen.
Bedingte Prozessfähigkeitsindizes
Infolgedessen suchen wir den mit der Stichprobenkovarianzmatrix gewichteten Abstand
zwischen dem Vektor der Abweichungen des Einzelwertes Y i vom Vektor der Mittelwerte. Das
wäre der mittlere Mahalanobis Abstand
1
N
N
∑
i=
1
Nun gilt aber
T −1
i − SYY i
( Y Y) ( Y − Y).
⎡ ⎛
N
−
⎞⎤
⎧
N
E 1 1 1
−
⎫
⎢ ⎜ − − ⎟⎥ = ⎨ ⎡
1
Sp ∑ ( ∑ − − ⎤
⎣ ⎦⎬
⎢⎣
⎝
Y T
T
i Y ) SYY ( i ) Sp YY ( i )( i )
N
Y Y i= 1 ⎠⎥⎦
⎩N
E S Y Y Y Y
i=
1
⎭
n
= = const
N

202 5 Qualität in der Fertigung
Zudem muss dieser Abstand relativ zu dem gewichteten Abstand zwischen den Vektoren der
oberen Toleranzgrenzen und den Sollwerten
−1
YY
( T − M) S ( T − M)
o
T
o
betrachtet werden.
Dieser Abstand kann auch mit dem Spurkriterium in den Ausdruck
⎡ m ( T − ⎤
−1 ⎡
−1
o, j M )
T
T
j
( T − − = − − ⎤
o M) SYY
( To M) Sp
⎣
( To M)( To
M)
SYY
⎦
= ⎢∑
⎥
⎢⎣j
= 1
Sj/
m−
j ⎥⎦
umgeformt werden. Die Summanden dieser Summe sehen aus wie die einfachen Prozessfähigkeitsindizes
mit den bedingten anstelle der einfachen Standardabweichungen. Für die einzelnen
Produktvariablen kann die Formel
( To, j − Tu,
j)
MCp() j = , ∀ j = 1, …,
m
6 ⋅ S
j/
m−
j
als einfacher bedingter oder multivariater Prozessfähigkeitsindex für die j-te Produktvariable
verwendet werden. Der Korrekturterm für die Messung der Abweichung des Mittelwertes vom
Sollwert ist
Mj − E( Yj / Ym−
j)
kj
= 2 , ∀ j = 1, …, m.
T − T
o, j u, j
Der korrigierte bedingte (oder multivariate) Prozessfähigkeitsindex für die j-te Produktvariable
ist
MC () j = [1 − k MC ()]. j
pk
j
p
Die bedingten Prozessfähigkeitsindizes hängen noch über die bedingte Varianz von der Kovarianzmatrix
ab. Daher ist es sinnvoll, noch ein globales Maß für die multivariate Prozessfähigkeit
auszurechnen.
Multivariate Prozessfähigkeitsindizes
Wir gehen wieder vom univariaten Prozessfähigkeitsindex C p aus und schreiben den in der
Form
To
− Tu
1 1
Cp
= ⋅ = σ*
6 S S
wobei
T
o
− T
6
u
= σ*
die maximale Streuung für die Produktvariable ist, die garantiert, dass die Häufigkeitsverteilung
für die Werte der Produktvariablen innerhalb des Toleranzintervalls liegt. Ist S > σ*, dann ist
C p < 1. Diesen Ausdruck für C p wollen wir auf den multivariaten Fall verallgemeinern.
Eine Möglichkeit der Verallgemeinerung wäre die Bildung des verallgemeinerten Varianzquotienten
* −1
( Σ S ).
YY
YY
2

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
203
Dieser Ausdruck oder gewisse Funktionale davon scheinen nicht geeignet zu sein. Daher wählen
wir für den multivariaten Prozessfähigkeitsindex den Quotient zweier quadratischer Formen.
Die quadratische Form im Zähler ist die schon betrachtete
−1
YY
( T − M) S ( T − M).
o
T
o
Die im Nenner stehende zweite quadratische Form wird mit der so genannten „theoretischen“
*
*
Kovarianzmatrix Σ YY anstelle der Stichprobenkovarianzmatrix S YY gebildet. Σ YY wird aus der
Korrelationsmatrix, den Toleranzgrenzen und Sollwerten für alle m Produktvariablen berechnet.
Mit diesen Überlegungen erhält man für die Vektoren der oberen Toleranzgrenzen
T
o o,1 o, m
T = ( T … T )
und der Sollwerte
T
den Ausdruck
wobei
M = ( M 1 … M m )
MC
Σ
T -1
o − SYY o −
p =
T * −1
o − ΣYY
o
( T M) ( T M)
( T M) ( ) ( T − M)
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
= diag ⎜ T M ⎝
⎟ R diag
⎠
⎜ T M
YY
⎝
⎟
3 3 ⎠
* o o
YY
die theoretische Kovarianzmatrix und R YY die Korrelationsmatrix des Vektors Y T = (Y 1 , …, Y m )
der m, m ≥ 1 Produktvariablen ist.
Für schiefsymmetrische Toleranzgrenzen verwendet man
MC
T −1
o o − SYY
o −
p =
T * −1
o − ΣYY
o
( T M) ( T M)
( T M) ( ) ( T − M)
MC
T −1
u ( M − Tu) SYY
( M − Tu)
p =
T * −1
M − Tu
ΣYY
M − Tu
( ) ( ) ( )
Der Korrekturterm wird nach der Formel
MC
T −1
u − u SYY
p =
T * −1
− u ΣYY
( M T ) ( M − Tu
)
( M T ) ( ) ( M − T )
berechnet. Damit wir der korrigierte multivariate Prozessfähigkeitsindex
MCpk = MCp / K
berechnet.
Die Entscheidung wird entsprechend den Größen von MC p und MC pk vorgenommen.
u

204 5 Qualität in der Fertigung
Daten
T u 2
T u 2
T u 2
M 2
M 2
M 2
T l 2
Y 2
T l 1 M 1 T u 1 Y 1
T l 2
Y 2
T l 1 M 1 T u 1 Y 1
T l 2
Y 2
T l 1 M 1 T u 1 Y 1
MC p < 1 MC p > 1 MC p > 1
MC pk < 1 MC pk < 1 MC pk >1
Prozessverbesserung
Kontrolle des Prozesses
Reduktion der
Variation
Justierung des
Prozesses
Abb. 5.2.13: Entscheidungen aufgrund der multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
Gilt MC p < 1 (bzw. 1.33), dann ragt die multivariate Häufigkeitsverteilung der Produktvariablen
an einer, mehreren oder allen Rändern über den Toleranzbereich hinaus. Ausschuss wird
produziert. Der Prozess muss so verbessert werden, dass die Variabilität der Produktvariablen
kleiner wird. Das kann nur über die Steuerung des Prozesses mit den Sollwerten und Toleranzgrenzen
als Zielwerte für die Produktvariablen erreicht werden. In diesem Fall ist auch
MC pk < 1, da K > 0 ist.
Gilt MC p > 1 (bzw. 1.33) und MC pk < 1 (bzw. 1.33), dann weicht der Vektor der Mittelwerte
zu stark vom Vektor der Sollwerte ab. Die multivariate Häufigkeitsverteilung der Produktvariablen
kann über den Toleranzbereich hinausragen. Das bedeutet aber, dass trotz MC p > 1
(bzw. > 1.33) Ausschuss produziert wird. Der Prozess muss verbessert werden, so dass die
Mittel- und Sollwerte übereinstimmen.
Gelten sowohl MC p > 1 und MC pk > 1 (bzw. > 1.33), dann ist der Prozess fähig, Produkte
mit den durch Sollwerte und Toleranzgrenzen vorgegebenen Eigenschaften zu produzieren.
In diesem Fall muss der Prozess mit den multivariaten Kontrollkarten des Kapitels 6 ständig
überwacht werden. Die Entscheidungen werden durch die Abbildung 5.2.13 visualisiert.
Was besagen die Begriffe Produktqualität, Lieferantenqualität und Prozessqualität?
Die bedingten und multivariaten Prozessf ähigkeitsindizes sind auf die Produkte, die Inputoder
Lieferantenprodukte und die Prozesse anwendbar. In jedem Falle müssen die Sollzustände,
ausgedrückt durch Sollwerte und Toleranzgrenzen, für die nicht unabhängigen Variablen mit
den Istzuständen, ausgedrückt durch die Schätzungen für die Mittelwertvektoren und Kovarianzmatrizen,
verglichen werden.
Für die Anwendung der multivariaten Prozessfähigkeitsindizes MC p und MC pk auf die Produkte,
Prozesse und Lieferantenprodukte wollen wir die folgenden Bezeichnungen einführen.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
205
•
•
•
•
•
PC p und PC pk werden für die Messung der simultanen Erfüllung aller relevanten Kundenanforderungen
verwendet. Diese Fähigkeitsindices wollen wir Produktfähigkeiten nennen.
Die Produktfähigkeit PC pk misst die Produktqualität.
LC p und LC pk werden für die Beurteilung der Input- oder Lieferantenprodukte verwendet.
Die Lieferantenfähigkeit LC pk misst die Lieferantenqualität.
ProzC p und ProzC pk wollen wir für die Beurteilung der Prozesse verwenden.
Die Prozessfähigkeit ProzC pk misst die Prozessqualität.
Die Lieferanten- und Prozessqualität sind die notwendigen Voraussetzungen für die Produktqualität.
Mitunter, wenn keine Verwechslungen möglich sind, werden aber die übergeordneten Bezeichnungen
MC p und MC pk verwendet.
An mehreren Beispielen wollen wir jetzt demonstrieren, wie die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
zu interpretieren sind.
Beispiel 5.2.10: Demonstrationsbeispiel. Multivariate Fähigkeiten
Für fünf Produktvariable mit den Sollwerten und Toleranzgrenzen der folgenden Tabelle
Tabelle 5.2.7: Sollzustand Demonstrationsbeispiel
Produktvariable Sollwert untere
Toleranzgrenze
obere
Toleranzgrenze
Y 1 7,5 5,7 9,3
Y 3 128 113 143
Y 3 65 56 74
Y 4 1,2 1,05 1,35
Y 5 1,8 0,3 3,3
und eine gegebene Korrelationsmatrix R YY wurden zwei Stichproben erzeugt.
Die Stichprobenkovarianzmatrix der einen Stichprobe ist
S YY
und die der zweiten
S YY
⎛0,502067 3,042725 0,546106 0,0160155 0,147379 ⎞
⎜
29,794251 3,073832 0,140759 1,768678 ⎟
⎜
⎟
(1) = ⎜ 11,653298 0,127856 0,991572 ⎟
⎜
0,0021438 0,0153684⎟
⎜
⎟
⎝
0,185228 ⎠
⎛0,346178 2,356153 0,481964 0,014896 0,161749 ⎞
⎜
26,378731 3,025746 0,147258 2,095516⎟
⎜
⎟
(2) = ⎜ 9,128812 0,122732 1,047801⎟.
⎜
0,0025146 0,020078⎟
⎜
⎟
⎝
0,268881⎠

206 5 Qualität in der Fertigung
Die theoretische Kovarianzmatrix ist
*
Σ YY
⎛0,36 2,360133 0,40639 0,014645 0,144981 ⎞
⎜ 25 2,47446 0,139237 1,882212⎟
⎜
⎟
= ⎜ 9 0,121336 1,012367 ⎟.
⎜
0,0025 0,01928 ⎟
⎜
⎟
⎝
0,25 ⎠
*
Sie sehen, die Stichprobenkovarianzmatrix S YY (2) unterscheidet sich von Σ YY sehr viel
weniger als S YY (1). Folglich müssen die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes der zweiten
Stichprobe in der Nähe von 1 liegen und die der 1. Stichprobe kleiner sein. Die Prozessfähigkeitsindizes
der ersten Stichprobe sind
Tabelle 5.2.8: Fähigkeiten der Stichprobe 1
Univariate Capabilities:
LSL USL Mean Stdv C p k C pk
Y 1 5.70 9.30 7.8634 0.7086 0.8468 0.2019 0.6758
Y 2 113.00 143.00 129.6605 5.4584 0.9160 0.1107 0.8146
Y 3 56.00 74.00 64.8889 3.4137 0.8788 0.0123 0.8680
Y 4 1.05 1.35 1.2015 0.0463 1.0799 0.0102 1.0689
Y 5 0.30 3.30 1.8390 0.4304 1.1618 0.0260 1.1316
Multivariate Capabilities:
PC p : 0.658
D: 1.2892 PC pm : 0.5104
und die der zweiten
Tabelle 5.2.9: Fähigkeiten der Stichprobe 2
Univariate Capabilities:
LSL USL Mean Stdv C p k C pk
Y 1 5.70 9.30 7.5328 0.5884 1.0198 0.0182 1.0012
Y 2 113.00 143.00 128.3841 5.1360 0.9735 0.0256 0.9486
Y 3 56.00 74.00 64.9522 3.0214 0.9929 0.0053 0.9876
Y 4 1.05 1.35 1.2009 0.0501 0.9971 0.0057 0.9914
Y 5 0.30 3.30 1.8220 0.5185 0.9643 0.0147 0.9501
Multivariate Capabilities:
PC p : 0.9735
K: 0.014 PC pk : 0.9599
D: 1.0238 PC pm : 0.9509

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
207
Der multivariate Prozessfähigkeitsindex MC p , der eine Aussage über das Streuverhalten
gestattet, liegt bei der zweiten Stichprobe nahe an der 1 und bei der ersten Stichprobe ist
er bedeutend kleiner als 1.
1
Der Mittelwert der Eigenwerte von ( Σ * SYY
− ) als Test für die Gleichheit von Kovarianzmatrizen
ist für die 1. Stichprobe 1,772 und für die 2. Stichprobe 0,989. Hieraus folgt, dass bei der
1. Stichprobe die theoretische Kovarianzmatrix ungleich der Stichprobenkovarianzmatrix
ist. Im zweiten Fall stimmen die Kovarianzmatrizen fast überein.
Beispiel 5.2.11: Dämpfung der Motorvibration. Multivariate Fähigkeiten
Das Hydrolager wurde durch die beiden Produktvariablen
Y 1 = Phasenverschiebung [Φ] und
Y 2 = dynamische Steifigkeit [N/mm]
beschrieben. Die dreidimensionale Häufigkeitsverteilung und das Streudiagramm sind in
Abbildung 5.1.2 und Abbildung 5.1.3 dargestellt.
Die Sollvorgaben sind
Tabelle 5.2.10: Sollvorgaben für die Produktvariable Phasenverschiebung und Steifigkeit
Phasenverschiebung
dyn. Steifigkeit
Sollwert 43 185
untere Toleranzgrenze 36 140
obere Toleranzgrenze 48 230
Die Kennzahlen für den Istzustand nach der Ausreißererkennung mit dem aerk-Kriterium
und Elimination sind in der Tabelle 5.2.11 zusammengestellt.
Tabelle 5.2.11: Istzustand
Phasenverschiebung
dyn. Steifigkeit
Minimum 2.90 119.92
Mittelwert 42.526 196.587
Standardabweichung 2.83727 8.193489
Maximum 60.00 272.79
Tabelle 5.2.12: Univariate Prozessfähigkeitsindizes
Phasenverschiebung
dyn. Steifigkeit
C p 0.7049 1.8307
K 0.0877 0.2575
C pk 06431 1.3593
Hier hat man den Fall, dass eine Produktvariable eine univariate Prozessfähigkeit hat, die
größer ist als 1.33 und eine, deren Fähigkeit kleiner als 1.33 ist.

208 5 Qualität in der Fertigung
Wie soll man entscheiden?
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes müssen berechnet werden.
Wir erhalten die Werte
MC p = 1.375
MC pk = 1.057.
Da der korrigierte multivariate Prozessfähigkeitsindex kleiner als 1.33 ist, muss der Prozess
verbessert werden, sodass vor allem die Streuung der dynamische Steifigkeit Y 2 kleiner
wird.
Beispiel 5.2.12: Akkubohrschrauber. Prozessfähigkeiten
Für das Plastikgehäuse des Akku-Bohrschraubers haben wir vorn die statistischen Toleranzgrenzen
berechnet. Die statistischen Toleranzgrenzen unterscheiden sich von den gegebenen
CAD Toleranzen. Mit den statistischen Toleranzgrenzen haben wir die Fähigkeiten berechnet
und in der Tabelle 5.2.13 zusammengestellt.
Tabelle 5.2.13: Univariate Prozessfähigkeitsindizes Beispiel Akkubohrschrauber
Variable Toleranzgrenzen Mittelwert Stabw. C p k C pk
untere obere
Thermoschrumpf –0,52 2,72 1,5152 0,4743 1,138 0,256 0,847
Axialität –0,7 0,7 0,0097 0,205 1,138 0,014 1,122
Parallelität –1,4 1,4 0,0788 0,496 0,941 0,056 0,888
Dicke 2,76 3,44 3,137 0,094 1,207 0,108 1,076
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes sind:
MC p 1,0963
D 1,4317
MC pk 0,766
Da MC pk < 1 ist, muss der Prozess so verbessert werden, dass die Streuungen für die Produktvariablen
kleiner werden.
Der Vektor der Produktvariablen kann aber auch der allgemeineren Klasse der elliptisch
umrissenen Verteilung en zugeordnet werden, zu der natürlich auch die Normalverteilungen
gehören. Diese Klasse ist durch die Verteilungsdichte charakterisiert
1
−
⎡
T −1
Y μΣ = ΣYY 2 − μY ⋅ΣYY ⋅ − μY
f ( y; , ) g ⎤
⎣
( Y ) ( Y )
⎦
,
wobei g eine nicht wachsende Funktion ist. Wählt man für g die Funktion
m 1
− − ⋅u
2 2
gu ( ) = (2 π)
⋅e
dann erhält man die Verteilungsdichte der m-dimensionale Normalverteilung. Der Exponent
T −1
Y YY Y Y
( Y − μ ) ⋅Σ ⋅( − μ )
der multivariaten normalen oder elliptisch umrissenen Dichte spezifiziert die Gleichung
eines Hyperellipsoides im m-dimensionalen Raum, wenn er gleich einer beliebigen positiven
Konstante c gesetzt wird.

5.2 Wie können Sie entscheiden, ob Ihre Prozesse in Ordnung sind?
209
Beispiel 5.2.13: Karosseriebau. Multivariate Fähigkeiten
An einer Karosserie wurden nach dem Tür-, Heckklappen- und Motorhaubeneinbau m = 73
Produktvariable, wie Spaltmaße, Symmetrien, Parallelitäten, Längen, Höhen, Distanzen
usw. gemessen. Der Stichprobenumfang betrug N = 228.
Der Grad der Multikollinearität war sehr hoch, d. h. die Determinante der Korrelationsmatrix
der Produktvariablen nahm den überaus kleinen Wert Det(R YY ) = 2,2 10 –135 an. Aus
der Analyse wurden über das Red-Auswahlverfahren und die multiple Korrelationsanalyse
p = 59 Produktvariable gestrichen.
Die übrig gebliebenen Produktvariablen wurden neu mit Y 1 , …, Y 14 nummeriert.
Die gegebenen Toleranzen für alle Produktvariablen wurden nach der arithmetischen
Tolerierung berechnet. Diese setzt aber die Unabhängigkeit der Produktvariablen, d. h.
Det(R YY ) ≅ 1 voraus. Der tatsächliche Wert für die Determinante der Korrelationsmatrix
liegt aber sehr viel näher an Null als an der Eins! Hieraus folgt, dass auf alle Fälle das Ergebnis
der gegebenen Tolerierung infrage gestellt werden muss.
Die statistischen Toleranzgrenzen wurden berechnet und in der Tabelle 5.2.14 zusammengestellt.
Tabelle 5.2.14: Produktvariable mit den statistischen Maßzahlen und den Toleranzgrenzen
Produktvar. Mittelwert Standardabw. T u T o Dimension
Y 1 0,51 0,4435 –0,924 1,944 mm
Y 2 –0,5144 0,1904 –1,172 0,142 mm
Y 3 –0,3546 0,0512 –0,528 –0,182 mm
Y 4 –0,211 0,5532 –0,638 0,216 mm
Y 5 1,558 0,1154 1,016 2,1 mm
Y 6 –0,1112 0,088 –0,576 0,353 mm
Y 7 1,671 0,115 1,188 2,154 mm
Y 8 –0,0916 0,1305 –0,802 0,62 mm
Y 9 0,0171 0,0615 –0,208 0,242 mm
Y 10 –0,1681 0,0841 –0,498 0,162 mm
Y 11 –0,1603 0,0566 –0,464 0,143 mm
Y 12 –0,5871 0,0814 –0,865 –0,309 mm
Y 13 –0,0445 0,1017 –0,292 0,203 mm
Y 14 –15,525 0,8507 –19,919 –11,131 mm
Die berechneten statistischen Toleranzgrenzen wurden mit dem Vertragspartner abgestimmt
und akzeptiert.
Mit den berechneten Toleranzgrenzen wurde die uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
berechnet und in Tabelle 5.2.15 zusammengestellt.
Nur eine der univariaten, korrigierten Prozessfähigkeitsindizes ist kleiner als 1 und fünf
sind kleiner als 1.33. Für die Entscheidung, ob der Prozess verbessert werden muss, ist die
Berechnung der multivariaten Prozessfähigkeitsindizes unerlässlich.

210 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.2.15: Univariate Prozessfähigkeiten für die wesentlichen Produktvariablen
Prod.Par. C p k C pk
Y 1 1,0778 0,0003 1,0775
Y 2 1,15 0,001 1,1489
Y 3 1,1483 0,0023 1,1458
Y 4 1,5436 0,0001 1,5436
Y 5 1,5653 0,0001 1,5652
Y 6 1,7585 0,0006 1,7573
Y 7 1,3993 0,0001 1,3993
Y 8 1,8158 0,0008 1,8143
Y 9 1,2187 0,0004 1,2183
Y 10 1,3081 0,0004 1,3076
Y 11 1,7863 0,0006 1,7852
Y 12 1,1382 0,0002 1,1377
Y 13 0,8108 0,0002 0,8107
Y 14 1,7216 0,0001 1,7215
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes sind
PC p = 1,5518
PC pk = 1,5517
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes besagen, der Prozess ist in Ordnung. Trotzdem
muss der Prozess mit den multivariaten Kontrollkarten kontinuierlich überprüft werden.
5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
an 6- und 5-dimensionalen Beispielen
Für die Tolerierung gibt es, wie wir gesehen haben, verschiedene Herangehensweisen. Einmal
die Art der Tolerierung, die von Technikern eingeführt wurde und den technischen Aspekt in
den Vordergrund stellt. Mathematisch basiert diese Art der Tolerierung auf dem Fehlerfortpflanzungsgesetz
und letztlich auf der Faltung voneinander unabhängiger Zufallsgrößen.
Die andere von Jahn eingeführte multivariate statistische Tolerierung basiert auf den Tatsachen,
dass
•
•
•
•
•
es nicht nur Montageprozesse gibt,
das Produkt eines jeden (Herstellungs- oder Service-) Prozesses durch m,
m ≥ 1 nicht unabhängige Produktvariable Y 1 , …, Y m beschrieben wird,
die Produktvariablen Realisierungen von Zufallsgrößen sind und
die Sollwerte und Toleranzgrenzen für jeden Prozess Zielwerte der Steuer- und Regelung
sind.

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
211
5.3.1 Charakteristische Zusammenhänge zwischen Funktionssicherheit
und Toleranz aus Sicht der Techniker
Hoffmann [1986] definiert einige bedeutende Grundlagen, wie z. B.
•
•
•
•
•
die Funktionssicherheit ist die Einhaltung der für ein Erzeugnis vorgegebenen Funk tionsfehlergrenzen
für Grund- und Zusatzfehler unter vorgegebenen Einsatzbedingungen.
Innerhalb der Funktionsfehlergrenzen ist das Erzeugnis funktionstüchtig.
Funktionstoleranz ist die Differenz zwischen den oberen und unteren zulässigen Grenzwerten
aller die Funktionstüchtigkeit beschreibenden Eigenschaften eines Erzeugnisses.
Die Herstellungstoleranz ist Differenz zwischen dem oberen und unteren erreichten
Grenzwert bei der Herstellung mehrerer gleichartiger Einzelteile, Baugruppen oder Fertigerzeugnisse.
Die Maßtoleranz ist die Differenz zwischen dem zulässigen Größt- und Kleinstmaß.
Die Messtoleranz ist die Differenz zwischen der zulässigen oberen und unteren Abweichung
des Messwertes von der Messgröße. (Fehlergrenze der Messung).
Die Funktionstoleranz ist in der Regel größer als die Maßtoleranz. Die Herstellungstoleranz und
die Messtoleranz sind bei beherrschter Produktion grundsätzlich kleines als die Maßtoleranz.
Die verschiedenen Toleranzen müssen für ein Projekt optimiert werden, denn
•
•
kleiner werdende Toleranzen führen zu höheren Fertigungs- und Prüfkosten,
größer werdende Toleranzen führen zu höheren Kosten für Nacharbeit und zusätzlichen
Leistungen bei der Montage (Siehe Beispiel Akku-Bohrschrauber – MOST: Maynard Operation
Sequence Technic, Zeitmessungen bei der Montage).
Grundsätzlich ist anzustreben, die Produktion zu „entfeinern“, d. h. die Herstellungstoleranzen
so groß wie möglich zu machen. Andererseits ist erwiesen, dass die Verringerung des spezifischen
Aufwandes an vergegenständlichter und lebendiger Arbeit nur durch eine Einengung vor allem
der Herstellungs-, aber auch der Funktions- und Messtoleranzen möglich ist. Gründe für das
Nichterreichen der Fertigungssollmaße können sein:
•
•
•
•
•
•
Ungenauigkeiten der Maschinen, Werkzeuge, Vorrichtungen,
Verschleiß der Maschinen, Werkzeuge und Vorrichtungen,
Einstellfehler an Maschinen, Werkzeugen und Vorrichtungen,
elastische Verformungen durch Spann- und Schnittkräfte,
Verformungen durch Temperatureinfluss,
zufällige Fehler.
Was muss alles gemessen werden?
Die Produktvariablen Y 1 , …, Y m , (nach Hoffmann [1986] die Werkstückabmessungen), die
Input- und Prozessvariable (nach Hoffmann: Werkzeugeinstellung, Verschleiß, Schnittkräfte,
Drehzahl, Drehmoment, Spannkräfte, Temperaturen, …) und die noise Variablen müssen
gemessen werden, wenn eine vernünftige Tolerierung bewerkstelligt werden soll.

212 5 Qualität in der Fertigung
Wie werden Maß- und Toleranzketten aufgebaut?
Wie üblich benötigen wir einige neue Definitionen, bevor wir mit dem Aufbau der Maßketten
beginnen können.
Maßkette
Lehre von der funktionsgerechten Bemessung aneinander gereihter Maße, deren Werte sich
summieren. Die Maßkette ist eine Aneinanderreihung von zusammenwirkenden Einzelmaßen
und dem von ihnen abhängigen Schlussmaß. Die Maßkette bildet einen Linienzug, d. h. eine
Masche. Die Einzelmaße sind die Glieder der Maßkette. Eine Grundeigenschaft der Maßkette
ist ihre Geschlossenheit.
Bei der Berechnung der Maßketten ist zu beachten, dass die Einzelmaße aus unterschiedlichen
Systemen stammen können, und zwar dem herzustellenden Gerät (Produkt), dem Werkstück
(Input) oder der Werkzeugmaschine, Vorrichtung, Werkzeug (Prozess). Die in Klammern
stehenden Bezeichnungen stellen die Verbindung zu meiner viel allgemeineren Theorie der
Tolerierung dar.
Zur Berechnung der Maßkette werden für die Einzelmaße M j , j = 1, …, m die Nennmaße N j ,
und die dazu gehörenden Toleranzmittenabmaße E Cj , oder Erwartungsabmaße E Ej bestimmt.
Auftretende Spiele werden mit der halben Größe des Kleinstspiels ½ S kj wie Einzelmaße behandelt.
Für das Schlussmaß M 0 bestimmt man das Nennmaß N 0 und die zugehörige Toleranz
E C0 , oder das Erwartungsabmaß E E0 . Ist die Schlusstoleranz eine Passtoleranz oder ein Spiel,
so wird das Toleranzmittenabmaß E C0 oder das Erwartungsabmaß E E0 durch das mittlere oder
halbe Größtspiel ½ S g0 gebildet.
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Nennmaß
= N ist das Maß auf das die Maßkette bezogen wird,
Einzelmaß
= M j (mitunter sind Einzel- und Nennmaße gleich),
Istmaß
= I ist das Maß des gefertigten Werkstücks,
Größtmaß
= G ist das zulässiges Maximum des Istmaßes,
Kleinstmaß
= K ist das zulässiges Minimum des Istmaßes,
Toleranzmittenmaß = C ist der arithmetische Mittelwert aus Größt- und Kleinstmaß,
Erwartungsmaß = E ist der arithmetische Mittelwert aus eine Serie von Istmaßen,
Istabmaß
= A j ist die Differenz zwischen Ist- und Nennmaß,
Oberes Abmaß = ES ist die Differenz zwischen Größt- und Nennmaß,
Unteres Abmaß = El ist die Differenz zwischen Kleinst- und Nennmaß,
Toleranzmittenabmaß = E C ist die Differenz zwischen Toleranzmittenmaß und Nennmaß,
Erwartungsabmaß = A E ist die Differenz zwischen Toleranzmitten- und Nennmaß,
Maßtoleranz, Toleranz = T ist die Differenz zwischen Größt- und Kleinstmaß,
Spiele
= S ist die halbe Größe des Kleinstspiels = 1/2 S kj , sie werden wie
Einzelmaße behandelt,
Anzahl der Spiel- und Übergangspassungen = e
Koeffizient der relativen c j = 2 s j / T j Standardabweichung,
Koeffizient der relativen a j = (A Ej – E Cj ) / T j und die Asymmetrie.

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
213
5.3.2 Berechnung von Maß- und Toleranzketten für vollständige
Austauschbarkeit
Maßketten
Das Nennmaß N 0 des Schlussmaßes setzt sich für lineare Maßketten mit parallelen Maßkettengliedern
additiv aus den Nennmaßen N j der j = 1, …, m Einzelmaße M j zusammen.
N
0
m
= ∑ kj
Nj,
j=
1
wobei k j den Richtungskoeffizient des j-ten Einzelmaßes auf das Schlussmaß bezeichnet. Dieser
Koeffizient ist gleich +1, wenn der Einfluss des Einzelmaßes positiv ist. Positive Einzelmaße
bewirken bei ihrer Vergrößerung oder Verkleinerung eine gleichsinnige Veränderung des
Schlussmaßes.
Ist das Nennmaß N 0 des Schlussmaßes bekannt und sind die Nennmaße N j der Einzelmaße
unbekannt, so ergibt sich für das j-te Nennmaß die Berechnungsformel
⎛
⎞
N N k N k N ⎟
⎠
j−1
m
1
j = ⎜ 0 −∑
l j −∑
l j
kj ⎝ l= 1 l=
1
wobei j = 1, …, m die Laufvariable und m die Anzahl der Einzelmaße ohne Schlussmaß ist. Sind
die Toleranzmittenabmaße E Cj der Einzelmaße gegeben und soll aus denen das Toleranzmittenabmaß
E C0 des Schlussmaßes berechnet werden, so ist unter Beachtung aller e Spiel- und
Übergangspassungen die funktionell mindestens erforderliche Spiel- und Übergangspassung
1
E = k E − S ,
C0
zu berechnen.
m−e m
∑
∑
j Cj kj
j= 1
2
j= m−e−1
Toleranzketten
Sind die Einzeltoleranzen T j , j = 1, …, m der Einzelmaße und die Kleinstwerte der Spiel- und
Übergangspassungen gegeben, so beträgt die Schlusstoleranz T 0 des Schlussmaßes
T = T + S ,
0
m−e
m
∑ j ∑ kj
j= 1 j= m−e−1
wobei e die Anzahl der Spiel- und Übergangspassungen ist. S kj bezeichnet das Kleinstspiel des
Maßes j. Die Einzeltoleranz T j des j-ten Einzelmaßes resultiert aus
j−1
m−e m
j = 0 −∑ l − ∑ l − ∑ kj
l= 1 l= j+ 1 j= m− e+
1
T T T T S
Dieser Ausdruck ist für m > 1, e > 1 unbestimmt. Daher wird zunächst für jedes Einzelmaß
eine durchschnittliche Einzeltoleranz
⎛
m
T 1
= ⎜ T − ∑
m
S
⎞
⎟
0
kj
− e ⎝ j= m−e−1
⎠
berechnet. Anschließend werden auf dieser Grundlage die Einzeltoleranzen berechnet.

214 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.3.1: Einfaches Getriebe. Maßketten
Ein einfaches Getriebe wird durch die folgende Skizze beschrieben.
M 5 M 1 M 2
M 4 M 3
M 0
Abb. 5.3.1: Schematische Darstellung des einfachen Getriebes
Die Maßkette für das einfache Getriebe besteht aus 6 Gliedern, die sich aus m = 5 Einzelmaßen
und dem Schlussmaß zusammensetzt. Der Konstrukteur gab die Nennmaße N j ,
j = 1, …, 5 für die einzelnen Glieder vor. Die Richtungskoeffizienten resultieren aus dem
Verlauf der Maßkette und sind k 1 = +1, k 2 = +1, k 3 = –1, k 4 = –1, k 5 = –1 und k 0 = –1.
Die Werte für die Nennmaße N j , Toleranzen T j , Richtungskoeffizienten k j , Toleranzmittenabmaße
E Cj und der Einzelmaße M j sind aus der folgenden Wertetabelle zu entnehmen.
Tabelle 5.3.1: Wertetabelle für die Tolerierung in [mm]
j N j T j k j E Cj M j + T j , – T j oder ±T j
0 0 0,15 –1 0,105 0 0,18
0,03
1 25 0,033 1 0,035 25 0,0515
0,0185
2 40 0,04 1 0,04 40 0,06
0,02
3 2,5 0,015 –1 0 2,5 ±5700,0
4 60 0,047 –1 –0,03 60 –0,0065
–0,0535
5 2,5 0,015 –1 0 2,5 ±5700,0

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
215
Die M j bedeuten hierbei
M
j
⎧⎪ E
= Nj
+ ⎨
⎪⎩
E
Cj
Cj
+ 0.5 Tj
.
− 0.5 T
j
Das Nennmaß des Schlussgliedes ist N 0 = 25 + 40 –2.5 – 60 – 2.5 = 0 [mm]. Die Summe der
Einzeltoleranzen T j ergibt die Schlusstoleranz
T 0 = 0.033 + 0.04 + 0.015 + 0.047 + 0.015 = 0.15 [mm].
Um den freien Lauf der Getriebewelle im Gehäuse zu gewährleisten, soll das untere Abmaß
mindestens ej u0 = 0.03 [mm] betragen. Das Toleranzmittenabmaß des Schlussmaßes muss
dann mindestens E C0 = ej u + 0.5 T 0 = (0.03 + 0.075) [mm] = 0.105 [mm] sein. Das Toleranzmittenabmaß
des Schlussmaßes ist
E C0 = k 1 E C1 + k 2 E C2 +k 4 E C4 = (+1) 0.035 + (+1) 0.04 + (–1) – 0.03 = 0.105 [mm].
Mit der Schlusstoleranz T 0 0.15 [mm] und dem Toleranzmittenabmaß E C0 lassen sich schließlich
die oberen und unteren Abmaße es o0 = 0.18 [mm] und es u0 = 0.03 [mm]berechnen. Das axiale
größte Spiel beträgt S g = 180 [µm] und das axiale kleinste Spiel S k = 30 [µm].
Warum habe ich bisher die technische Tolerierung nicht verstanden?
Warum fiel es mir schwer, diese Art der Tolerierung zu verallgemeinern?
Weil:
• drei- oder zweidimensionale Gebilde der Einfachheit wegen auf den R 1 (den eindimensionalen
Vektorraum) reduziert wurden, obwohl das nicht unbedingt einzusehen ist und
• daher die Metrik nicht verallgemeinerungsfähig ist.
5.3.3 Verallgemeinerung der Tolerierung
Für die Verallgemeinerung der Tolerierung wird der reelle Vektorraum benötigt, um z. B. dreidimensionale
Gebilde auch dreidimensional behandeln zu können. Ein Getriebe z. B. ist nun
einmal ein dreidimensionales Gebilde. Die Reduktion der Dimension des Raumes auf die Ebene
oder wie bei der Tolerierung durch Maß- und Toleranzketten auf den R 1 hat offensichtlich nur
den Zweck der Vereinfachung.
Der reelle Vektorraum
Für die Definition von Vektoren benötigt man den Vektorraum. Wir wollen hier den dreidimensionalen
realen physikalischen Anschauungsraum R 3 , indem wir alle uns befinden, betrachten.
Ein Element dieses Raumes, ein Punkt in diesem Raum wird durch ein dreier- Tupel (x 1 , x 2 , x 3 )
reeller Zahlen charakterisiert. Mit diesen reellen Zahlen kann man rechnen.
Sind (x 1 , x 2 , x 3 ) und (y 1 , y 2 , y 3 ) solche drei-Tupel reeller Zahlen, so werde deren Summe durch
(x 1 , x 2 , x 3 ) + (y 1 , y 2 , y 3 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) erklärt. Die Summe ist wieder ein drei-Tupel
reeller Zahlen. Ist λ ∈ R 1 und (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 , so ist λ (x 1 , x 2 , x 3 ) = (λ x 1 , λ x 2 , λ x 3 ) ∈ R 3 .
Da die Rechenoperationen dadurch entstanden sind, dass einfach die Operationen des Rechnens
mit reellen Zahlen auf die Komponenten (x 1 , x 2 , x 3 ) des R 3 übertragen wurden, so übertragen
sich auch deren Rechenregeln. Wählt man einen Punkt 0 zum Nullpunkt, so kann man alle

216 5 Qualität in der Fertigung
Punkte als Ortsvektoren bezüglich null auffassen, kann sie mit reellen Zahlen multiplizieren
und wie im Kräfteparallelogramm addieren. Dadurch erhält man einen Vektorraum.
Definition: Ein Tripel (V, +, ⋅) bestehend aus einer Menge V, einer Addition und einer Multiplikation
heißt ein reeller Vektorraum.
Die Physiker verstehen unter Vektoren etwas anderes als die Mathematiker. Daher soll der
Gesichtspunkt der Physiker in den Blickpunkt gerückt werden, denn die Tolerierung fällt im
weitesten Sinne in das Gebiet der Physiker. Nach diesem Gesichtspunkt werden Vektoren durch
ihre Größe (quantity), Richtung (direction) und ihren Betragt (magnitude) erklärt. Der Betrag
eines Vektors, die Norm z. B. aus dem R 3 wird durch
2 2 2
1 2 3
x = x + x + x
definiert. (Das ist der Satz des Pythagoras.) Für zwei Vektoren x 1 , x 2 ∈ R 3 nennt man die Zahl
〈x 1 , x 2 〉 = x 11 x 21 + x 12 x 22 + x 31 x 23 das Skalarprodukt v on x 1 und x 2 . Einen reellen Vektorraum
mit einem Skalarprodukt nennt man einen euklidischen Vektorraum.
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren x 1 und x 2 wird durch
x1,
x2
α ( x1, x2) = arccos
für x 1 ≠ 0 und x 2 ≠ 0
x1 x2
,
berechnet.
Mit dieser Definition kann die Orthogonalität zw ischen Vektoren definiert werden. Ein r-Tupel
von Vektoren (x 1 , …, x r ) ∈ R n heißt orthogonal, wenn x = 1, j = 1, … r und 〈x j , x k 〉 = δ jk .
Beispiel 5.3.2: Einfaches Getriebe. Ortsvektoren
Wir betrachten wieder das Getriebebeispiel. Es wird das Koordinatensystem x 1 , x 2 eingeführt
und als Benchmark für alle Punkte betrachten wir die beiden Ortsvektoren, die wir
mit m 1 und m 2 bezeichnen.
j
x 2
M 6
M 5
M 1 M 2
m 2
m 1
M 4
0
x 1
M 3
M 0
Abb. 5.3.2: Getriebe mit zwei Ortsvektoren anstelle der üblichen Bemaßung

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
217
Ortsvektoren ordnen jedem Punkt M j der Ebene (des Raumes) die Verschiebung
m j = M j – 0, j = 1, …, n
zu.
Aus der Abbildung und der Wertetabelle kann man ablesen, das z. B.
m 1 = (M 2 , M 6 ) T = (40, 40) T
m 2 = (M 3 , M 6 ) T = (65, 40) T .
Damit erhalten wir
m
⎛65⎞ ⎛40⎞ ⎛25⎞
− m = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
⎝40⎠ ⎝40⎠ ⎜
⎝ 0 ⎟
⎠
2 1
Auf diese Art kann man alle Punkte einer Abbildung (einer Ebene oder eines Raumes) als
Ortsvektoren darstellen und die Abstände durch Bildung der Differenzen von Vektoren ermitteln.
Ein weiterer wesentlicher Begriff ist die Linearkombination von Vektoren. Sind x 1 , …, x r Vektoren
aus dem n-dimensionalen Euklidischen Vektorraum R n , dann nennt man λ 1 x 1 + … + λ r
x r = y eine Linearkombination, wobei λ j ∈ R 1 . Die Menge aller Linearkombinationen heißt
lineare Hülle des r-Tupels von Vektoren.
Ein r-Tupel x 1 , …, x r von Vektoren aus dem Euklidischen Vektorraum heißt linear abhängig,
wenn einer dieser Vektoren aus den anderen linear kombiniert werden kann. Diesen linear
kombinierten Vektor kann man dann ohne Schaden für die lineare Hülle weglassen. Mit dieser
Definition kann man natürlich auch die lineare Unabhängigkeit definieren. V sei wieder ein Vektorraum,
x 1 , …, x r ∈ V. Dieses r-Tupel heißt linear unabhängig, wenn eine Linearkombination
von x 1 , …, x r nur dann null sein kann, wenn alle Koeffizienten verschwinden, d. h. wenn aus
λ 1 x 1 + … + λ r x r = 0
stets folgt, dass λ 1 = … = λ r = 0. Man kann auch sagen, (x 1 , …, x r ) ist genau dann linear unabhängig,
wenn keiner dieser Vektoren Linearkombination der übrigen ist.
Sei jetzt y = λ 1 x 1 + … + λ n x n eine Linearkombination von n Vektoren aus dem Euklidischen
Vektorraum. Damit bilden wir das Skalarprodukt mit dem Vektor x, d. h.
⎛y1
⎞
n
x, y = ( x … x ) ⎜… ⎟ = a x x + … + a x x = a x x
1 n 1 1 1
n n n j j j
⎜ ⎟
j=
1
⎝yn
⎠
⎛a1 … 0 ⎞ ⎛x1⎞
= ( x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 … xn) 0 … 0 … .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 … a ⎠ ⎝x
⎠
n
Eine solche Form nennt man quadratische Form und sc hreibt abkürzend dafür
x T A x = Q A (x).
n
∑

218 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.3.3: Quadratische Form
Betrachten wir (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ,
Fall 1:
⎛1 0⎞
A = ⎜
⎝0 1 ⎟ , dann ist die quadratische Form
⎠
⎛1 0⎞ ⎛x1⎞ ⎛x1⎞
2 2
QA( x) = ( x1 x2) ⎜ = ( x1 x2) = x1 + x2.
⎝0 1⎟ ⎠
⎜
⎝x
⎟
⎠
⎜
⎝x
⎟
⎠
2 2
In diesem Falle gilt QA ( x ) = x .
Betrachten wir den konkreten Vektor x T = (x 1 , x 2 ) = (0.8, 0.3), dann gilt
⎛1 0⎞ ⎛0.8⎞ (0.8 0.3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.73 und 0.73 = 0.854.
⎝0 1⎠ ⎝0.3⎠
Fall 2:
⎛1
c ⎞
Es sei A = ⎜ ⎟, c ≤ 1, so dass A positiv definit ist. In diesem Fall gilt
⎝c
1⎠
⎛1
c⎞ ⎛x1⎞ ⎛x1⎞
QA( x) = ( x1 x2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( x1 + c x2 c x1 + x2)
⎝c 1⎠ ⎝x ⎠
⎜
⎝
⎟
2 x2⎠
2 2
= x + 2 c x x + x .
Hieraus folgt
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
x + 2 c x x + x
ist die Länge des Vektors x, wenn die Komponenten von x nicht linear unabhängig voneinander
sind.
Betrachten wir anstelle der Einheitsmatrix die positiv definite Matrix
⎛ 1 0.6⎞
A = ⎜
⎝0.6 1 ⎟
⎠
dann erhält man für die quadratische Form
⎛ 1 0.6⎞ ⎛0.8⎞ ⎛0.8⎞
(0.8 0.3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = (0.8 + 0.18 0.18 + 0.3)
⎝0.6 1 ⎠ ⎝0.3⎠ ⎜
⎝0.3⎟
⎠
= 0.928 und 0.928 = 0.9633.
Die beiden Längen des Vektors x sind je nachdem, ob die Matrix eine Diagonal- oder vollständige
Matrix ist, verschieden.
Erinnern wir uns daran, dass bei der Konstruktion von Produkten, insbesondere Montageprodukten,
Toleranzketten verwendet werden können, diese aber nicht auf alle Produkte,
z. B. chemische Produkte und die Fertigung übertragen werden können, dann sind weitere
Verallgemeinerungen notwendig.

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
219
Insbesondere nach der Herstellung der Produkte können die Messwerte für die verschiedenen
Produktvariablen nicht mehr als beliebige reelle Zahlen, sondern müssen als Realisierungen
von Zufallsgrößen angesehen werden.
5.3.3.1 Statistische Tolerierung
Der Ausgangspunkt bei dieser Art der Tolerierung ist, dass die Einzelmaße Y 1 , …, Y m unabhängig
und identisch nach F j (y j ) j = 1, …, m verteilt sind. Die Toleranzen T o,j und T u,j , j = 1, …, m
sind entweder unbekannt oder sollen mit den Maßen, an gefertigten Produkten gemessen,
überprüft werden. Sind die Zufallsgrößen außerdem normal verteilt mit den Erwartungswerten
µ j und σ j 2 , dann gilt, die Summenvariable
m
Y = ∑ Yj
j=
1
ist normal verteilt mit den beiden Momenten
m
m
2 2
∑ j ∑ j
j= 1 j=
1
μ = μ und σ = σ .
Sind die Einzelmaße nicht normal verteilt, dann folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz der
Wahrscheinlichkeitsrechnung, dass die Summenvariable approximativ normal verteilt ist,
ebenfalls mit den Summenmomenten.
Nach der 3 σ-Regel liegen mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α = 1 – 0.0027 = 0.9973 fast alle
Realisierungen einer normal verteilten Zufallsgröße im Intervall µ ± 3 σ. Hieraus folgt die
Toleranzbreite T o – T u sollte 6 σ sein.
Die Toleranzkette kann unter diesen Voraussetzungen nach der Formel
m
T = 6 ∑ S
j=
1
j
berechnet werden, wobei die S j die Stichprobenstandardabweichungen für die Einzelmaße M j ,
j = 1, …, m sind.
Beispiel 5.3.4: Einfaches Getriebe. Tolerierung
Fall 1: Wir nehmen an, dass Y 1 , …, Y 6 unabhängig voneinander sind. An N Getrieben
wurden die obigen Maße gemessen. Die statistischen Maßzahlen sind
Tabelle 5.3.2: Statistische Maßzahlen für die Maße des Getriebes
Y 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5
Min: –6,6976445 2498,2527947 3998,0283577 249,3489343 5997,5019191 249,4489296
Mean: 0,1312104 2499,9594152 4000,0388603 250,0179791 5999,9552836 249,9896311
Max: 6,3486367 2501,4088584 4002,4427941 250,5956959 6001,6589824 250,5393647
Std.Dev.: 2,3978975 0,6064117 0,7160356 0,2388075 0,7569649 0,2253856
Die Korrelationsmatrix zur Überprüfung der Voraussetzung der Unabhängigkeit ist in der
Tabelle 5.3.3 zusammengestellt.

220 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.3.3: Korrelationsmatrix für die 6 Maße des Getriebes
Y 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5
Y 0 1 0,1388 0,0211 0,005 –0,0144 –0,0351
Y 1 1 –0,1343 –0,065 –0,0746 0,028
Y 2 1 0,0246 0,1598 –0,0264
Y 3 1 –0,0264 –0,0899
Y 4 1 0,0213
Y 5 1
Die Korrelationskoeffizienten für alle Paare von Maßen sind sehr klein. Das globale Maß
für die Korreliertheit ist det (R) = 0.9150239. Die univariate statistische Tolerierung kann
angewandt werden. Wir erhalten die Toleranzgrenzen in der Tabelle 5.3.4.
Tabelle 5.3.4: Toleranzgrenzen nach der univariaten statistischen Tolerierung
Variable Mittelwert 6* Stabw. Zielwert Toleranzgrenze
untere
obere
Y 0 0,1312 14,3874 0 –10,6188 10,6188
Y 1 2499,95 3,6385 2500 2497,35 2502,65
Y 2 4000,04 4,2962 4000 3996,86 4003,14
Y 3 250,02 1,4328 250 248,94 251,06
Y 4 5999,95 4,5418 6000 5996,67 6003,33
Y 5 249,9896 1,3523 250 248,996 251,004
Für das Schließmaß T 0 erhalten wir nach der obigen Formel (6* Sigma)
T 0 = 3.6385 + 4.2962 + 1.4328 + 4.5418 + 1.3523 = 15.2616,
d. h. in etwa den mit CAD geplanten Wert von 15, bzw. nach Division durch 100 den Wert
T 0 = 0.1526. Die Vergleiche der uni- und multivariaten statistischen und CAD Tolerierung
sind in der Tabelle 5.3.5 enthalten. Der Einfachheit halber wurden in diese Tabelle nur die
Toleranzbreiten (nach Division durch 100) aufgenommen.
Tabelle 5.3.5: Vergleich der der statistischen Toleranzbreiten und der CAD Toleranzbreiten
Maß Statistische Tolerierung CAD Toleranzen
univariat
multivariat
6* s j T o – T u T o – T u
Y 0 0,1438 0,2123 0,15
Y 1 0,0364 0,053 0,033
Y 2 0,0429 0,0627 0,04
Y 3 0,0143 0,0212 0,015
Y 4 0,0454 0,0665 0,047

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
221
Die Unterschiede resultieren aus den Standardabweichungen, die z. T. doch etwas größer
sind als (T o – T u )/6 und den doch vorhandenen, wenn auch kleinen Korrelationskoeffizienten.
Fall 2: Korrelierter Fall
Für den korrelierten Fall erhalten wir die statistischen Maßzahlen der Tabelle:
Tabelle 5.3.6: Statistische Maßzahlen für die Maße des Getriebes
Y 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5
Min: –6,5002924 2498,1719699 3998,1664578 249,402514 5998,1848565 249,3888472
Mean: –0,1628116 2499,9900478 3999,9855229 249,989664 5999,9347344 250,0006535
Max: 6,0165154 2501,5162199 4001,8814676 250,525068 6002,2974761 250,6449878
Std.Dev.: 2,3576676 0,5884604 0,6832856 0,240879 0,8346444 0,2479773
Die statistischen Maßzahlen unterscheiden sich nicht wesentlich von denen des Falles 1.
In der Tabelle 5.3.7 steht die Korrelationsmatrix.
Tabelle 5.3.7: Korrelationsmatrix
Y 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5
Y 0 1 0,4212 0,3697 0,856 0,5342 0,7047
Y 1 1 0,1977 0,3841 0,2669 0,0732
Y 2 1 0,1893 0,1479 0,2386
Y 3 1 0,3767 0,5799
Y 4 1 0,1817
Y 5 1
Die Korrelationsmatrix zeigt einige sehr große Korrelationskoeffizienten. Die Annahme
der Unabhängigkeit ist nicht mehr gerechtfertigt. Das globale Maß der Korreliertheit ist
det(R) = 0.04598723.
Die statistische Tolerierung liefert die Werte der Tabelle 5.3.8.
Tabelle 5.3.8: Uni- und multivariate statistische Toleranzen
Variable Mittelwert Stabw. Zielwert Toleranzgrenzen
untere
obere
Y 0 –0,1628 14,146 0 –3,522 3,522
Y 1 2499,99 3,5308 2500 2497,766 2502,234
Y 2 3999,986 4,0997 4000 3997,293 4002,707
Y 3 249,9897 1,4453 250 249,4806 250,5194
Y 4 5999,9347 5,0079 6000 5997,117 6002,883
Y 5 250,0007 1,4879 250 249,3086 250,6914

222 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.3.9: Vergleich der statistischen und CAD Toleranzbreiten
Maß Statistische Tolerierung CAD Toleranzen
univariat
multivariat
6* s j T o – T u T o – T u
Y 0 0,1415 0,0704 0,15
Y 1 0,0353 0,0447 0,033
Y 2 0,04099 0,0541 0,04
Y 3 0,0144 0,0103 0,015
Y 4 0,05 0,0577 0,047
Y 5 0,0149 0,0138 0,015
Die univariate statistische Toleranzkettenformel liefert für die Schließtoleranz den Wert
T 0 = 0.1556. Die multivariate statistische Tolerierung liefert im korrelierten Fall schmalere
Toleranzbreiten für die Einzelmaße. Die 6* S Toleranzen sind wiederum ähnlich denen im
unkorrelierten Fall. Das ist nicht verwunderlich, wirken sich doch in der Regel die korrelativen
Abhängigkeiten nicht auf die Standardabweichungen der Einzelmaße aus.
Die multiplen Korrelationskoeffizienten für die Einzelmaße sind:
R 2 0/1,2,3,4,5 = 0.8888, R2 1/0,2,3,4,5 = 0.28132, R2 2/0,1,3,4,5 = 0.21746,
R 2 3/0,1,2,4,5 = 0.76823, R2 4/0,1,2,3,5 = 0.40528 und R2 5/0,1,2,3,4 = 0.61256.
Aus diesen Korrelationskoeffizienten liest man ab, dass sich das Schließmaß T 0 am besten
aus den anderen Maßen ableiten lässt, oder anders gesprochen, die anderen Maße haben
einen großen Einfluss auf das Schließmaß. Folglich ist die Differenz zwischen der uni- und
multivariaten Berechnung für dieses Maß am größten.
5.3.3.2 Übung
Ein Produkt wird durch m nicht unabhängige Produktvariable Y 1 , …, Y m beschrieben. Der Vektor
der Produktvariable Y T = (Y 1 , …, Y m ) ist ein zufälliger Vektor. Die Verteilung des zufälligen
Vektors Y gehöre zur Klasse der m-dimensionalen Normalverteilungen Y ~ N m (µ, Σ YY ), wobei
Σ YY positiv definit sein möge. Das von Ihnen zu untersuchende Produkt ist ein Tippgeber, der
in automatischen Schaltgetrieben benötigt wird.
Tabelle 5.3.10: Sollzustand für den Tippgeber
Variable Sollwert Toleranzgrenzen
Y 1 14,23 ±0,05
Y 2 6,45 ±0,05
Y 3 0,55 ±0,15
Y 4 0,55 ±0,15
Y 5 2,25 ±0,15
Y 6 2,25 ±0,15

5.3 Vergleich verschiedener Tolerierungsverfahren
223
Diese müssen verschiedene Funktionen, wie z. B. die automatische Rückstellung in die
„=“ Position, geräuscharmes Schalten usw. realisieren. Die Tippgeber werden durch sechs
Produkt variablen charakterisiert. Der Sollzustand wird durch die Werte der Tabelle 5.3.10
beschrieben.
Problem
Der Kunde ist mit der Qualität der Tippgeber nicht zufrieden.
Was müssen Sie tun?
Sie müssen das Problem definieren.
Wie definieren Sie das Problem?
Dazu müssen Sie eine Stichprobe von Tippgebern zufällig der Fertigung entnehmen und die
Werte für die Produktvariablen messen.
Die Werte für den Tippgeber sind in der Datei Ü5.3 enthalten.
Für Sie habe ich die Daten dieser Datei als Star Plots visualisiert (siehe auch Seite 282).
46
40
30
20
10
1
Abb. 5.3.3: Star Plots für die Tippgeber

224 5 Qualität in der Fertigung
Y3
. Y2
Y4
Y1
Y5 Y6
Abb. 5.3.4: Schlüssel für die Star Plots der Tippgeber
In der Abbildung 5.3.5 habe ich für Sie noch die Korrelationsdiagramme dargestellt.
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y1
Y2 Y3 Y4 Y5
Abb. 5.3.5: Korrelationsdiagramme für die Tippgeber
Welche Schlüsse ziehen Sie aus den beiden Abbildungen?
Definieren Sie bitte das Problem und überprüfen Sie die gegebene Tolerierung mit den beigefügten
Programmen.
Was müssen Sie tun, um das Problem zu lösen?
5.4 Warum sollen Sie die Prozessdarstellung wählen?
Sie haben anerkannt, dass jede Tätigkeit und jedes (materielle und/oder immaterielle) Produkt
das Ergebnis eines Prozesses ist. Jetzt müssen Sie mir weiter folgen und den zugehörigen Prozess
strukturieren. Die Produktvariablen sind Funktionen der Input-, Prozess- und Störvariablen
und können nach dem Ursache-Wirkungs-Prinzip nur über diese Variablen verändert werden.

5.4 Warum sollen Sie die Prozessdarstellung wählen?
225
äußere Variable (Störvariable)
Inputs Prozess Produkt
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable
Ursachen
Wirkungen
Abb. 5.4.1: Prozessdarstellung
Die Inputvariablen, wie Material, Maschinen, Anlagen, Zusatzstoffe und auch die Fähigkeiten
der Mitarbeiter fließen mit ihren Eigenschaften in den Prozess hinein.
Die Produktvariablen müssen die spezifizierten Kundenanforderungen erfüllen. Über die Veränderung
der Prozessvariablen muss aus den gegebenen Inputvariablen das Produkt mit seinen
geforderten Eigenschaften entstehen. Damit dieses spannende Zusammenspiel zwischen den
Variablen klappt, müssen die Inputvariablen, die ja Produktvariablen von Vorläuferprozessen
sind, ebenfalls die spezifizierten Anforderungen des Prozesses erfüllen. Die spezifizierten Anforderungen
kann man beim Eintreffen der Inputs überprüfen (Wareneingangsprüfung) oder
man vereinbart in einem Dialog mit den Lieferanten, dass die Inputs mit ihren entsprechenden
uni- und multivariaten Fähigkeitsnachweisen geliefert werden.
Die Werte für die Prozessvariablen kann man auch nicht beliebig einstellen, da auf dieser Basis
bestimmt nicht das Produkt mit den geforderten Eigenschaften entsteht. Der Prozess muss mit
einer Prozessgleichung so gesteuert werden, dass bei Kenntnis der Inputvariablen das geforderte
Produkt herauskommt.
Beispiel 5.4.1: Drehen einer Welle. Prozessdarstellung
Aus einem Rundstahl soll eine Welle gedreht werden. Die Welle soll Kundenanforderungen
erfüllen. Zu diesen gehören die Maßhaltigkeit, die Rundheit, die Konizität und gewisse
Festigkeitseigenschaften.
Die Inputs sind der Rundstahlrohling, die Eigenschaften der Drehmaschine, der Kühlmittelstand
usw. Zu den Prozessvariablen zählen die Drehgeschwindigkeit, die Kühlmitteltemperatur,
die Standzeit der Schneidwerkzeuge usw. Die Menge der Produktvariablen umfasst
die Maßhaltigkeit, die Rundheit der Welle, d. h. die Differenz zweier Durchmesser vorn
und hinten an der Welle gemessen usw. Die Prozessdarstellung ist in der Abbildung 5.4.2
enthalten.
Fordert der Kunde vom Lieferanten (Dreherei) eine Welle z. B. mit einem spezifizierten
Elastizitätsmodul [N/m 2 ], so muss der Wellenhersteller bei seinem Lieferanten für die
Rohlinge diese Eigenschaft anfordern, denn beim Drehen wird der Elastizitätsmodul kaum
verändert.

226 5 Qualität in der Fertigung
äußere Variable (Störvariable)
Rundstahl,
Kühlflüssigkeit, Drehen einer Welle Welle
Schneidwerkzeug, ..
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable
Drehgeschwindigkeit
Rundheit
Standzeit
Rundheit
Konizität
Temp. Kühlflüssigkeit
Konizität
Stahleigenschaften Temp. Werkzeug
Maßhaltigkeit
Stand der Kühlflüssigkeit,
Ursachen
...
Wirkungen
Abb. 5.4.2: Drehen einer Welle
Dieses Beispiel zeigt schon, dass zwischen den Kunden und Lieferanten ein Dialog stattfinden
muss.
Wie kann man den Dialog zwischen Kunden und Lieferanten führen?
Bevor wir diesen Dialog aufbauen, wollen wir ein Netzwerk von Prozessen betrachten.
5.5 Warum müssen Sie Ihr Unternehmen als Netzwerk von
Dienstleistungs- und Fertigungsprozessen darstellen?
Ein Unternehmen muss durch Fertigungs- und Dienstleistungsprozesse strukturiert werden.
Ziele der Steuerung und Regelung des gesamten Unternehmens sind Erfüllung aller (Markt-)
Kundenanforderungen, Erwirtschaftung der notwendigen Gelder zur erweiterten Reproduktion,
das Bestehen im internationalen Wettbewerb, die Steigerung der betriebswirtschaftlichen
Kennziffern und damit die Existenzsicherung. Die Strukturierung dient ebenfalls der Veränderung
der Organisationsstruktur, nach der die Aufgaben und Verantwortlichkeiten eindeutig
festlegt und die Mitarbeiter dadurch motiviert werden, an der Realisierung der betrieblichen
Ziele mitzuwirken. Nicht zuletzt ist die Strukturierung auch die Grundlage für eine verbesserte
Kostenrechnung auf der Basis des notwendigen Verbrauchs an allen Ressourcen, die z. B.
gewährleistet, dass die stetig steigenden, nicht aufschlüsselbaren Gemeinkostenzuschläge der
Vergangenheit angehören werden.

5.5 Warum müssen Sie Ihr Unternehmen als Netzwerk darstellen?
227
Wir betrachten zunächst zwei Prozesse, um daran die Vernetzung zu demonstrieren. Diese beiden
Prozesse mögen einfach A und B heißen. Der eine Prozess, nehmen wir an, es sei der Prozess
B, soll der Vorläufer- oder Lieferantenprozess vom Prozess A sein. Der Prozess A verarbeitet die
Produkte von Prozess B, d. h. die Produkte B werden zu Inputs von A. Der Prozess A ist damit
der Kundenprozess von B. Folglich muss A formulieren, was er von B verlangt. A muss also
sein (Kunden-) Anforderungsprofil an B formulieren. B muss die Kundenanforderungen durch
Sollwerte und Toleranzgrenzen für alle Produktvariablen des Produktes B spezifizieren. B muss
dann seinen Prozess mit den Sollwerten für alle relevanten Produktvariablen als Zielwerte so
steuern und regeln, dass alle Anforderungen erfüllt werden. B muss außerdem den Nachweis
führen, dass die in B produzierten Produkte alle Kundenanforderungen erfüllen.
Die Produkte von A werden von einem weiteren (externen oder internen) Kunden benötigt.
Dieser Kunde stellt natürlich seine Anforderungen an die Produkte von A. Hieraus wird deutlich,
dass jeder Prozess Kunden- und Lieferantenprozess zugleich ist.
Dieses Zusammenspiel ist in der Abbildung 5.5.1 schematisch dargestellt. Dieses Zusammenspiel
zwischen zwei Prozessen ist in der Literatur unter dem Begriff „internes Kunden-Lieferanten-Verhältnis“
(KLV) bekannt geworden und charakterisiert in unserem Verständnis die
Schnittstelle zwischen zwei Prozessen. In der Literatur wird das KLV nur beschrieben, es kommt
aber darauf an, das KLV zu modellieren und zu realisieren.
Anforderungen
Inputs Prozess B Produkt B
Input für A
Prozess A
Produkt A
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable Prozessvariable Produktvariable
Nachweis der
Erfüllung aller
Anforderungen
Vorläuferprozess
Nachfolgerprozess
= Lieferant = Kunde
Abb. 5.5.1: Kunden-Lieferanten-Verhältnis
Beispiel 5.5.1: Papierfeeder. Prozessnetzwerk
Wir betrachten in der Abbildung 5.5.2 die Herstellung eines Papierfeeders als ein Netzwerk
von Prozessen, in denen mechanische Teile, elektronische Komponenten und Kunststoffteile
hergestellt werden.
Das Netzwerk sieht recht einfach aus. Aber wir haben das Netzwerk ohne Kommunikation
dargestellt. So kann das Netzwerk nicht funktionieren.

228 5 Qualität in der Fertigung
Input
Kunststoffherst.
Plastikteile
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable
Input
Metallherstellung.
Metallteile
Montage Feeder Funktionen
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable
Prozessvariable
Produktvariable Funktionen Par.
Input
Elektroteileherst .
Elektroteile
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable
Abb. 5.5.2: Netzwerk von Herstellungsprozessen
5.6 Kommunikation zwischen Prozessen
Im Vorangegangenen haben wir alles Tun in einem Unternehmen durch Prozesse modelliert.
Wie haben des weiteren gesehen, dass die Prozesse nicht unabhängig voneinander sind, schon
allein deswegen, weil jeder Prozess Kunden- und Lieferantenprozess zugleich ist. Eine Kommunikation
zwischen den Prozessen ist somit notwendig. Ohne diese beobachten wir das
tägliche Chaos.
Jede Kommunikation braucht eine Sprache. Die für die Kommunikation zwischen Prozessen
benötigte Sprache haben wir schon bereit gestellt. Diese Sprache hat die Worte bzw. Phrasen
(Teilsätze) oder Elemente
•
•
•
•
•
Zusammenstellung des externes und/oder internen Kundenanforderungsprofils (KAP),
Parametrisierung der gewünschten Eigenschaften,
Datengewinnung für die Produktvariablen,
Spezifizierung des KAP durch Sollwerte und Toleranzgrenzen, mit der CAD oder statistischer
Tolerierung,
Nachweis der simultanen Erfüllung aller (ex- oder internen) Kundenanforderungen mit
uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes,
Treffen einer Entscheidung auf der Grundlage der uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
für die statistische Prozessanalyse, falls die Fähigkeiten kleines als 1 sind,
– mit anschließender Prozessverbesserung durch die Steuerung der Prozesse mit der Prozessgleichung
und den Sollwerten und Toleranzgrenzen als Zielwerte bzw. Zielgebiet,

5.6 Kommunikation zwischen Prozessen
229
– Justierung der Prozesse, falls die einfachen uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes
größer und die korrigierten Indizes kleines als 1 sind,
• laufende Kontrolle der Prozesse mit den uni- und vor allem multivariaten Kontrollkarten,
falls die einfachen und korrigierten Fähigkeiten größer als eins sind,
• neue Tolerierung, falls die Abhängigkeiten zwischen den Produktvariablen bei der Tolerierung
vernachlässigt wurden,
• Investitionen, falls das vorherige Ausreizen aller Möglichkeiten nicht ausreichte, Produkte
zu produzieren, die alle Kundenanforderungen erfüllen und trotz der vorgegebenen Marktpreise
durch den Verkauf einen Gewinn erzielen.
Wie man sehen kann, ist diese technische Sprache recht einfach. Die Schwierigkeit liegt in der
Bereitstellung der Elemente, die für Sprache benötigt werden, wie der Definition des Problems,
der Berechnung der Sollwerte und Toleranzgrenzen für alle, nicht unabhängigen Produktvariablen
mit Hilfe CAD oder multivariaten statistischen Tolerierung, der Berechnung der uniund
multivariaten Prozessfähigkeitsindizes, des Treffens einer Entscheidung, der Kontrolle der
Prozesse mit uni- und multivariaten Kontrollkarten und der Datenerfassung.
Diese Schwierigkeiten traten in der Vergangenheit auf, weil viele der genannten Elemente bisher,
aus mir nicht bekannten Gründen, nicht zur Verfügung standen. Im Abschnitt 5.3. habe ich
Ihnen die von mir entwickelten neuen Methoden für die Durchführung eines modernen Audits
zur Definition eines Problems und Entscheidungsfindung zur Verfügung gestellt.
Beispiel 5.6.1: Papierfeeder. Prozessnetzwerk mit Kommunikation
Wir betrachten jetzt, nachdem wir die Elemente der technischen Sprache genannt und im
Abschnitt 5.3 zur Verfügung gestellt haben, dasselbe Netzwerk mit Kommunikation in der
Abbildung 5.6.1.
KAP
KAP
KAP
Input Kunststoffherst. Plastikteile
Inputvariable
Prozessvariable Produktvariable
MC PK
KAP
KAP
KAP
KAP
KAP
Input
Metallherstellg.
Metallteile
MC PK
Montage Feeder Funktionen
Input
MC PK
Prozessvariable Produktvariable
Prozessvariable Produktvariable
Funktionenvariable
KAP
KAP
KAP
Input Elektroteileherst. Elektroteile
MC PK
Inputvariable Prozessvariable Produktvariable
MC PK
Abb. 5.6.1: Netzwerk für die Feederherstellung mit Kommunikation

230 5 Qualität in der Fertigung
Die Abbildung zeigt, dass dieses Netzwerk mit Kommunikation auf den ersten Blick kompliziert
aussieht. Aber die Kommunikation ist notwendig, um das tägliches Chaos zu ordnen,
die Prozesse zu verbessern, Produkte mit geforderten Eigenschaften zu produzieren, die
Qualität der Produkte nachzuweisen und zu quantifizieren.
Es gilt die alte Weisheit: „… je flacher die Fertigungstiefe wird, desto intensiver muss die Kommunikation
geführt werden …“.
Die Antwort auf die Frage:
„Wie wird in Ihrem Unternehmen die Kommunikation zwischen Prozessen geführt?“
wird entweder nicht verstanden oder aber lapidar damit beantwortet, dass man sagt, „… wir
regeln die Angelegenheit mit unseren Lieferanten durch Lasten- oder Pflichtenhefte …“
Ich habe mir in vielen Unternehmen Lasten und/oder Pflichtenhefte angeschaut und daher
die neuen Methoden entwickelt.
5.7 Was heißt Prozessverbesserung und was müssen Sie
tun?
Nach dem Entscheidungsgraphen in Abbildung 5.16 beim Produktaudit im Abschnitt 5.3 muss
im Fall MC pk < 1 entschieden werden, dass der Prozess zu verbessern ist, denn der Prozess ist
nicht fähig, Produkte (materielle oder immaterielle) mit geforderten Eigenschaften zu produzieren.
Ausschuss ist die Folge und der kostet Geld. Außerdem führt er zur Nichteinhaltung
der versprochenen Liefertermine.
Die Ursachen hierfür können sein:
•
•
•
•
•
•
die Prozesse werden heuristisch ohne Zielwerte gesteuert, das Methodenniveau ist zu
niedrig,
daher können die Streuungen der Produktvariablen zu groß sein oder
die Mittelwerte von den Sollwerten abweichen,
die Tolerierung wurde unter Missachtung der Abhängigkeiten zwischen den Produktvariablen
vorgenommen und ist daher nicht korrekt,
die Anlagen und Maschinen sind zu alt und nicht mehr fähig,
die Mitarbeiter sind nicht genügend qualifiziert und vieles mehr.
Gilt ebenfalls MC p < 1, dann bedeutet das, die Streuung mindestens einer Produktvariablen
ist zu groß. Die Reduktion der Variabilität – man nennt diesen Sachverhalt schlicht Prozessverbesserung
– mindestens einer Produktvariablen ist notwendig.
Gilt MC p > 1 und MC pk < 1, dann ist das Streuverhalten der Produktvariablen in Ordnung, aber
der Vektor der Mittelwerte weicht vom Vektor der Sollwerte an. Der Prozess ist zu justieren.
Die verschiedenen Zielstellungen, die man aufgrund der Größen für die uni- und multivariaten
Prozessfähigkeitsindizes zu verfolgen hat, sind unterschiedlich aufwendig und kosten
daher unterschiedlich viel. Daher ist ja die Entscheidung für den einen oder anderen Weg so
vorteilhaft für die Qualitätsverbesserungsprojekte.

5.7 Was heißt Prozessverbesserung und was müssen Sie tun?
231
Beispiel 5.7.1: Chemischer Prozess. Prozessverbesserung
Das Produkt eines chemischen Prozesses wird durch m = 6 Produktvariable erklärt, von
denen die Variable Y 1 den Anteil einer unerwünschten Substanz beschreibt, die für viel Geld
aus dem Produkt herausgefiltert werden muss. Die Frage lautet, kann der Prozess so gesteuert
werden, dass der Anteil der unerwünschte Substanz so klein wird, dass die unerwünschte
Substanz dem Verbraucher keinen Schaden mehr zufügen kann?
Die Ausgangssituation bzgl. der Produktvariablen Y 1 , d. h. der ungesteuerte Prozess und
der verbesserte Prozess sind in Abbildung 5.7.1 und Abbildung 5.7.2 dargestellt.
Y
ungesteuerter
Prozess
Y
gesteuerter
Prozess
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0 20 40 60 80 100
t
0
0 20 40 60 80 100
t
Abb. 5.7.1: Vergleich der Ergebnisse des ungesteuerten und gesteuerten Prozesses
Beim heuristisch oder ungesteuerten Prozess sieht man, dass die unerwünschte Substanz
mal häufiger und mal seltener vorkommt und ein Trend beobachtet wird. Daraus kann
man aber bereits ableiten, dass zumindest ein Teil der Ursachen für das Vorkommen der
unerwünschten Substanz im Prozess oder den Inputs liegt.
Der gesteuerte Prozess zeigt, dass die unerwünschte Substanz durch die Steuerung des
Prozesses mit einer Prozessgleichung nahezu vollständig vermieden werden kann. Genau
das ist das zu erreichende Ziel, mit Hilfe der geistigen Investition, oder anders formuliert,
der Anwendung multivariater statistischer Methoden, Prozesse wesentlich zu verbessern.
Das spricht nicht gegen das hohe Expertenwissen der Mitarbeiter, die aufgrund ihrer Erfahrung
das heutige hohe Niveau der „heuristischen“ Steuerung erreicht haben. Ich habe
großen Respekt vor diesen Leistungen. Allerdings müssen wir uns heute dem Diktat der
Globalisierung und des internationalen Marktes beugen und jeden möglichen Euro für
die Sicherung der Existenz deutscher Unternehmen herausfiltern. Und das ist nur mit den
modernen Methoden der multivariaten Statistik möglich.
Die Verteilung der Produktvariablen Y 1 (unerwünschtes Nebenprodukt) des ungesteuerten
Prozesses lässt sich in der Abbildung 5.7.2, links, darstellen.
Diese Abbildung repräsentiert die univariate Betrachtung. Es wird ausschließlich die
Produktvariable Y 1 betrachtet, ohne die anderen vorhandenen Informationen zu berücksichtigen.
Können wir uns das noch leisten?
Schon die linke Darstellung in Abbildung 5.7.2 zeigt, dass außer den Werten für die Produktvariable
Y 1 weitere Informationen in Form wenigstens einer Input- und/oder Prozessvariablen,
hier mit t bezeichnet, vorliegt. Betrachten Sie nach dem Ursache-Wirkungs-Prinzip
Y 1 als Funktion von den Input- und Prozessvariablen, dann erhalten Sie als Ergebnis die

232 5 Qualität in der Fertigung
Y
40
30
20
10
Ausgangssituation
Was haben wir?
Ohne die Anwendung der multivariaten statistischen
Methoden eine breite Verteilung von Y 1
Y
40
30
20
10
Prozessverbesserung
Was müssen wir tun?
Die Prozessgleichung berechnen und die
Verteilung von Y 1
um die Gleichung
betrachten
Y
40
30
20
10
0
0 20 40 60 80 100
t
0
0 20 40 60 80 100
t
0
0 20 40 60 80 100
t
Abb. 5.7.2: Schritte der Prozessverbesserung
Prozessgleichung, die hier in der rechten Abbildung durch die Gerade markiert ist. Uns
interessiert nun die Streuung der Werte von Y 1 um die Prozessgleichung. Diese Verteilung ist
auch im rechten Bild der Abbildung 5.7.2 zu sehen. Die Breite der Verteilung ist wesentlich
kleiner als die Breite der Verteilung von Y 1 . Das ist nach der Shannon Theorie auf den Informationsgewinn
durch die Betrachtung der zusätzlichen Variablen zurück zuführen. Die
Verkleinerung der Breite der ursprünglichen Verteilung durch die Betrachtung zusätzlicher
Variabler messen wir mit dem Maß der Beherrschbarkeit des Prozesses. Der Informationsgewinn
ist aber bereits eine Prozessverbesserung ohne materielle Investitionen. Wir
können die Prozessverbesserung steigern, indem wir den Prozess mit der Prozessgleichung
steuern. Das Ergebnis ist das Bild 3 in der Abbildung 5.7.2. Die unerwünschte Substanz
kommt kaum noch vor, die Verteilung der Messwerte für Y 1 des gesteuerten Prozesses ist
sehr schmal, d. h. deren Streuung ist sehr klein.
5.8 Wie können wir das Ergebnis erreichen?
Der Prozess wurde eingeführt, da sich damit zeigen lässt, dass die Produktvariablen nach dem
Ursache-Wirkungs-Prinzips nur verändert werden können, wenn sowohl die Input- als auch
die Prozessvariablen verändert werden. Die Folge daraus ist, dass die Variation der Produktvariablen
nur dann reduziert werden kann, wenn sowohl die Input- als auch die Prozessvariablen
verändert werden. Nichts anderes tun die Prozessexperten aufgrund „ihrer“ Erfahrung.
Wir müssen die Erfahrung durch Wissen ersetzen. Das können wir nur dann tun, wenn wir
dem Prozess sein Wissen abluchsen. Dazu müssen wir mit den Prozessen kommunizieren und
das ist nach dem Grundsatz des Galilei: „messe alles, und das nicht Messbare mache messbar“
nur über die Daten für alle Produkt-, Input-, Prozess- und Störvariablen möglich. Mit diesen
Daten kann
• die Abhängigkeitsstruktur zwischen den Input-, Prozess- und Produktvariablen quantifiziert
und analysiert und
• eine Prozessgleichung berechnet werden, die über die Input- und Prozessvariablen die
Steuerung der Produktvariablen so ermöglicht, dass simultan alle Kundenanforderungen
durch die produzierten Produkte erfüllt werden.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
233
An dieser Stelle sei noch einmal daran erinnert, dass wir mit dieser Methodik sowohl Herstellungs-
als auch Dienstleistungsprozesse behandeln müssen, um betriebswirtschaftliche
Verbesserungen zu erzielen.
Die Verfahren der univariaten Statistik können dieses Anliegen nicht erfüllen. Daher ist die
multivariate Statistik die geeignete Methodik. Multivariat heißt nichts anderes als mehrdimensional.
Und mehrdimensional müssen die statistischen Methoden schon sein, denn es gibt ja
im trivialsten Fall wenigstens eine Prozess- und eine Produktvariable.
Für die Prozessverbesserung benötigt man multivariate statistische Methoden zur
•
•
•
•
•
Analyse der Abhängigkeitsstruktur,
Klassifikation einer heterogenen Stichprobe in homogene Teilstichproben,
Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen und Berechnung der Prozessgleichung,
Optimierung und Steuerung des Prozesses,
Kontrolle des verbesserten Prozesses mit uni- und multivariaten Kontrollkarten.
5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses ?
Ein Prozess wird durch die Input-, Prozess-, noise- und Produktvariablen beschrieben. Diese
Variablen werden in dem Vektor der Zufallsgrößen
(Z 1 , …, Z l , X 1 , …, X n , U 1 , …, U p , Y 1 , …, Y m ) T = (Z T , X T , U T , Y T ) T
zusammengefasst.
Die Zufallsgrößen sind nicht unabhängig voneinander, sondern durch eine Abhängigkeitsstruktur
miteinander verbunden. Das soll die Abbildung 5.9.1 verdeutlichen.
Inputs Prozess Produkt
X 1
X 2
Y 1
Y 2
X 3
Abb. 5.9.1: Abhängigkeitsstruktur zwischen Input-, Prozess- und Produktvariablen

234 5 Qualität in der Fertigung
Der Einfachheit halber wurden die Input- und Prozessvariablen mit dem Buchstaben X
bezeichnet. Diese Abbildung zeigt, dass selbst bei einer geringen Anzahl von Variablen die
Abhängigkeitsstruktur schon recht kompliziert werden kann. Stellt man sich noch vor, dass
die Abhängigkeiten sowohl positiv als auch negativ sein können, dann kann man sich vorstellen,
dass selbst für die logische Analyse der kleiner Abhängigkeitsstrukturen der menschliche
Verstand nicht mehr ausreicht und an dessen Stelle statistische Modelle eingesetzt werden
müssen.
Diese Abhängigkeitsstruktur muss quantifiziert werden. Dazu dienen die Korrelations-, die
Hauptkomponenten- und Faktoranalysen.
5.9.1 Wie führt man eine Korrelationsanalyse (KA) durch und was
besagen die Ergebnisse?
Unter der Korrelationsanalyse verstehen wir die Berechnung der Abhängigkeiten
• zwischen jeweils zwei Zufallsgrößen – in unserem Sprachgebrauch zwischen jeweils zwei
(Input-, Prozess- und/oder Produkt-) Variablen mit dem einfachen Korrelationskoeffizienten.
Die Berechnung der paarweisen Abhängigkeiten zwischen allen ⎜
⎛n + p + m⎞
⎝ 2 ⎟
⎠
Variablen liefert ebenso viele Korrelationskoeffizienten, die in der Korrelationsmatrix R
zusammengefasst werden.
• Häufig müssen Korrelationskoeffizienten zwischen jeweils zwei Zufallsgrößen unter der
Bedingung, dass andere Zufallsgrößen konstant gehalten werden, berechnet werden. Diese
Korrelationskoeffizienten heißen partielle Korrelationskoeffizienten. So wird häufig die
Frage gestellt, wie ist die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Prozessvariablen, wenn die
Inputvariablen konstant gehalten werden müssen, oder anders formuliert, wenn die Werte
für die Inputvariablen gegeben sind? Das bedeutet, es sind die Korrelationskoeffizienten für
die Zufallsgrößen einer bedingten Verteilung, im vorliegenden Fall der bedingten Verteilung
der Prozessvariablen unter der Bedingung der gegebenen Inputvariablen zu berechnen.
• Zur Korrelationsanalyse zählen wir auch die Berechnung der Abhängigkeit einer Zufallsgröße,
z. B. einer Produktvariablen Y j , j = 1, …, m von einer Linearkombination aller
Input- und Prozessvariablen. Diese Korrelationskoeffizienten nennt man multiple Korrelationskoeffizienten
und bezeichnet sie mit R 2 Y j / allen Input- und Prozessvariablen .
• Außer diesen Abhängigkeiten ist häufig die Abhängigkeit zwischen einer Zufallsgröße, z. B.
der Produktvariablen Y und einer Linearkombination der wesentlichen Prozessvariablen
X unter der Bedingung der wesentlichen Inputvariablen Z zu quantifizieren. Ein solches
Maß der Abhängigkeit nennt man partiell multipler Korrelationskoeffizient.
• Da ein Produkt durch mehrere, z. B. m, m ≥ 1 Produktvariable beschrieben wird und die
Kenntnis der Abhängigkeit der Gesamtheit der Produktvariablen von allen Input- und
Prozessvariablen als verallgemeinertes Maß der Beherrschbarkeit eines Prozesses notwendig
ist, wird auch der multivariate, multiple Korrelationskoeffizient berechnet.
• Für weiterführende Analysen werden noch die multivariat partiell-multiplen und die
multivariat semipartiell-multiplen Korrelationskoeffizienten eingeführt.
Es versteht sich von selbst, dass die Analyse einer Abhängigkeitsstruktur mit der Berechnung
der einfachen Korrelationskoeffizienten beginnt.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
235
Was sind einfache Korrelationskoeffizienten?
Die einfachen Korrelationskoeffizienten messen die lineare Abhängigkeit zwischen zwei zufälligen
Variablen.
Beispiel 5.9.1: Bremsweg eines PKW. Korrelationskoeffizienten
Fährt man mit einem PKW durch eine Stadt und muss vor einem auftretenden Hindernis
plötzlich bremsen, dann können der Bremsweg und die gefahrene Geschwindigkeit
gemes sen werden. Für die Rekapitulation von Unfallgeschehen möchte die Polizei wissen,
wie streng die Länge des Bremsweges von der gefahrenen Geschwindigkeit des PKW abhängt.
Lässt man z. B. N PKW’s fahren, dann erhält man N Wertepaare. Die Wertepaare können
als Punkte in einer Ebene gedeutet und aufgezeichnet werden. Für das Experiment erhält
man die Abbildung 5.9.2.
51
46
Bremsweg
41
36
31
26
21
53 58 63 68
Geschwindigkeit
Abb. 5.9.2: Länge des Bremsweges in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
Die Punktwolke der Wertepaare ergeben eine elliptisch umrissene Punktwolke. Intuitiv
würde man sagen, der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem Bremsweg
ist eng. Aber diese Aussage muss quantifiziert werden, denn eine qualitative Einschätzung
sagt sehr wenig aus und man kann nicht für alle möglichen Abhängigkeiten erst eine
Abbildung zeichnen und dann eine subjektive Einschätzung vornehmen. Der berechnete
Korrelationskoeffizient r Bremweg, Geschwindigkeit = 0.88.
Was besagt dieser Koeffizient und wie kann man den Korrelationskoeffizienten berechnen?
Der Korrelationskoeffizient ist eine dimensionslose Zahl, die zwischen –1 und +1 liegt. Ist der
Korrelationskoeffizient groß gegen 1, dann nähert sich das Aussehen der Punktwolke immer
stärker dem Aussehen einer Zigarre an, d. h. die eine Hauptachse der Ellipse wird immer
länger, die andere immer kürzer. Ist der Korrelationskoeffizient gleich 1, dann wird aus der
Ellipse eine Gerade. Der Anstieg der Gerade kann positiv oder negativ sein. Entsprechend
dem Anstieg ist der Korrelationskoeffizient positiv oder negativ. Gibt es zwischen den beiden

236 5 Qualität in der Fertigung
Variablen keine Abhängigkeit, d. h. sind die beiden Variablen unabhängig voneinander, dann
ist der Korrelationskoeffizient null.
Für den einfachen Korrelationskoeffizienten
ρ
12
σ12
= =
σ ⋅ σ
1 2
Kovarianz
Produkt der Streuungen
erhält man nach der Maximum Likelihood Methode die Schätzung
wobei
r
12
S12
= .
S ⋅ S
1 2
N
∑
S = ( Y − Y )( Y − Y )
12 i,1 1 i,2 2
i=
1
die Stichprobenkovarianz zwischen Y 1 und Y 2 ist. Zur Begründung des eben gesagten betrachten
wir zunächst nur zwei Produktvariable Y 1 und Y 2 und nehmen an, dass der Vektor dieser beiden
Variablen Y T = (Y 1 , Y 2 ) normalverteilt ist mit dem Vektor der Erwartungswerte (Mittelwerte
der Grundgesamtheit)
µ T = (µ 1 , µ 2 )
und der Kovarianzmatrix
Σ
YY
⎛
2
σ ⎞
1 σ12
= ⎜
2
⎟
⎝ σ ⎠
2
in der σ 2 1 die Varianz von Y 1 (Quadrat der Standardabweichung von Y 1 in der Grundge samtheit),
σ 2 2 die Varianz von Y 2 und σ 12 die Kovarianz zwischen Y 1 und Y 2 ist. Die Kovarianz von Y 1 und
Y 2 ist als Produkt der Abweichungen der Y 1 Werte vom Erwartungswert µ 1 und der Y 2 Werte
von µ 2 durch
E [(Y 1 – µ 1 ) (Y 2 – µ 2 )] = σ 12
definiert. Die Kovarianz ist ein Abhängigkeitsmaß zwischen Y 1 und Y 2 , d. h. diese gibt an, wie
sich z. B. Y 1 in Abhängigkeit von Veränderungen von Y 2 verändert. Die Kovarianz ist aber von
den Dimensionen der beiden Zufallsgrößen Y 1 und Y 2 abhängig. Das ist unschön und soll
durch Standardisierung der beiden Zufallsgrößen Y 1 und Y 2 aufgehoben werden.
Unter Standardisierung versteht man dabei den Übergang von Y j zu Z j über die Beziehung
Z
j
Yj
− μ j
= , j = 1,2.
σ
j
Für die standardisierten Zufallsgrößen Z 1 und Z 2 ist die Kovarianz E [Z 1 Z 2 ] durch
E[( Y1 − μ1) ⋅( Y2 − μ2)]
E[ Z1 ⋅ Z2]
=
σ ⋅ σ
1 2
gegeben. Die Kovarianz zwischen den standardisierten Zufallsgrößen Y 1 und Y 2 nennt man
Korrelationskoeffizient ρ 12

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
237
Y 2
Y 1
ρ 12 = 1
Y 2 + ΔY 2
Y 2
Y 1 Y 1 + ΔY 1
Abb. 5.9.3: Lineare Abhängigkeit zwischen Y 1 und Y 2
Für diesen gilt:
• 1 ≤ ρ 12 ≤ 1,
wobei ρ 12 = 1 genau dann gilt, wenn Y 1 und Y 2 mit der Wahrscheinlichkeit eins linear abhängig
sind, wie das in der Abbildung 5.9.3 dargestellt ist. Linear abhängig heißt in diesem
Zusammenhang, wenn mit der Wahrscheinlichkeit 1 eine Veränderung von z. B. Y 1 zu einer
determinierten Veränderung von Y 2 führt und umgekehrt, d. h. wenn P (Y 2 = β 0 + β Y.1 Y 1 )
= 1, wobei β 0 und β Y.1 die unbekannten Koeffizienten der Geradengleichung sind.
Man kann diesen Sachverhalt auch in der folgenden Art beschreiben: die Punkte (Y 1 , Y 2 )
liegen auf der Geraden, die den funktionalen Zusammenhang zwischen Y 1 und Y 2 beschreibt,
d. h. Y 1 und Y 2 haben keine Streuungen. Das wiederum heißt aber, dass der Zusammenhang
zwischen Y 1 und Y 2 determiniert ist. Diesen Sachverhalt verdeutlicht die Abbildung 5.9.3.
• ρ 12 = 0 gilt nur dann, wenn Y 1 und Y 2 linear unabhängig sind. In diesem Falle liegen die
Realisierungen von Y 1 und Y 2 , d. h. die Wertepaare von Y 1 und Y 2 in einem kreisförmigen
Gebiet.
• Für alle anderen Werte des Korrelationskoeffizienten liegen die Wertepaare in elliptisch
umrissenen Gebieten. Diese Ellipsen können steigend oder fallend sein, je nachdem wie
das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten ist.
• Von ρ 12 = 0 bzw. r 12 = 0 kann man nicht auf die Unabhängigkeit von Y 1 und Y 2 schließen.
• Der Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit ρ 12 wird mit der Formel
r
12
=
N
∑
i=
1
( Y − Y ) ⋅( Y − Y )
1, i 1 2, i 2
N
N
2 2
∑ ( Y1, i − Y1 ) ⋅∑
( Y2, i − Y2
)
i= 1 i=
1
und den Wertepaaren (Y 11 , Y 21 ), …, (Y 1,N , Y 2,N ), d. h. der Stichprobe geschätzt.
Die Korrelationskoeffizienten für alle möglichen ⎛ m ⎞
⎜
⎝2
⎟ Paare von Produktvariablen werden
⎠
in der Korrelationsmatrix

238 5 Qualität in der Fertigung
R
YY
⎛1 r12 ... r1
m ⎞
⎜ 1 ... r ⎟
2m
= ⎜
⎟
⎜ ... ⎟
⎜
⎝
1 ⎟
⎠
zusammengestellt.
Die Korrelationsmatrix ist symmetrisch, denn es gilt r jk = r kj für alle
j, k = 1, … (j – 1) j (j + 1), …, (k – 1), k, (k + 1), …, m, j ≠ k. Für j = k ist ρ jj = ρ kk = 1.
Die Korrelationsmatrix ist für reguläre m-dimensionale Verteilungen positiv definit, wenn
das Produkt widerspruchsfrei durch die Produktvariablen beschrieben wird.
Wie kann geprüft werden, ob ein berechneter Korrelationskoeffizient eine Abhängigkeit
ausdrückt, die statistisch gesichert von null verschieden ist?
Zu diesem Sachverhalt sagt man kurz, die Abhängigkeit zwischen zwei Zufallsgrößen ist „signifikant
von null verschieden“.
Da der Korrelationskoeffizient mit den Werten einer Stichprobe geschätzt wurde, hängt er
einmal vom Stichprobenumfang und von der „Zufälligkeit“ der beteiligten Variablen, d. h.
der Größe der Streuungen ab. Aus diesem Grund muss beim Korrelationskoeffizienten stets
gefragt werden, wie groß kann r 12 von null abweichen, ohne dass die Unabhängigkeit von Y 1
und Y 2 verletzt ist?
Zur Beantwortung dieser Frage müssen Hypothesen über ρ 12 formuliert werden, die mit r 12
zu beantworten sind, d. h. man benötigt einen Test. Die Hypothesen lauten:
H 0 : ρ 12 = 0 (d. h. die Zufallsgrößen Y 1 und Y 2 sind nicht miteinander korreliert) und
H 1 : ρ 12 ≠ 0 (d. h. die Zufallsgrößen sind linear nicht unabhängig voneinander)
Die Prüfung der H 0 gegen die Alternativhypothese H 1 wird mit dem t-Test
ˆ
r12
t = ⋅ N − 2
2
1 − r
12
geprüft. Ist tˆ
< t α , N −2, dann kann die H 0 nicht verworfen werden. Aufgrund der Stichprobe
d. h. der Größe von r 12 kann dann gesagt werden, dass Y 1 und Y 2 nicht linear abhängig voneinander
sind.
Beispiel 5.9.2: Bremsweg eines PKW. Abhängigkeit des Bremsweges
Das erweiterte Bremswegbeispiel enthält die Produktvariable
Y Länge des Bremsweges in [m]
und die Input- und Prozessvariablen
X 1 Geschwindigkeit des PKW in einer Ortschaft [km/h]
X 2 mittlere Profiltiefe der Reifen aller 4 Räder [mm]
X 3 Reaktionszeit des Fahrers in [sec].
Die statistischen Maßzahlen sind in der folgenden Tabelle 5.9.1 zusammengestellt.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
239
Tabelle 5.9.1: Statistische Maßzahlen für das Bremswegbeispiel
Bremsweg Geschwindigkeit Profiltiefe Reaktionszeit
Mittelwert 29,96 49,74 3,47 1,24
Varianz 33,5398 95,4792 0,59036 0,14773
S 5,791 9,771 0,768 0,384
Min 13,65 19,3 1,44 0,064
Max 46,41 76,5 5,26 2,076
R 32,7 57,2 3,8 2,01
V 19 19 22 31
Für dieses Beispiel ist die Korrelationsmatrix in der Tabelle 5.9.2 enthalten.
Tabelle 5.9.2: Korrelationsmatrix Beispiel Bremsweg
Bremsweg Geschwindigkeit Profiltiefe Reaktionszeit
Bremsweg 1 0,837 –0,373 0,457
Geschw 1 –0,207 0,168
Profil 1 0,098
Reaktion 1
Der Abhängigkeitsgraph für diese vier Variablen ist in der Abbildung 5.9.4 dargestellt.
X 1
r Y1 = 0.84
r 12 = - 0.20
X 2
Y
r Y2 = - 0.37
r 13 = 0.1
X 3
r Y3 =0.45
r 23 = 0.17
Abb. 5.9.4: Abhängigkeitsgraph für das Bremswegbeispiel
Zur Demonstration der Anwendung des t-Tests überprüfen wir die Nullhypothese H 0 des
Korrelationskoeffizienten r 23 , die lautet H 0 : ρ 23 = 0 gegen H 1 : ρ 23 ≠ 0
Der t-Test liefert
0.1
tˆ = ⋅ 28 = 0.532
2
1−
0.1

240 5 Qualität in der Fertigung
Der zugehörige Tafelwert für die einseitige Fragestellung ist t 0.05; 28 = 2.048. Der berechnete
t-Wert ist kleiner als der Tafelwert. Folglich kann die Nullhypothese nicht verworfen werden,
d. h. der aus der Stichprobe vom Umfang N = 30 berechnete Korrelationskoeffizient r 23 = 0.1
unterscheidet sich nicht statistisch gesichert von null. Der Stichprobenkorrelationskoeffizient
r 23 weicht nur zufällig von null ab, d. h. X 2 und X 3 sind nicht miteinander korreliert.
Es ist an dieser Stelle notwendig darauf hinzuweisen, dass man im Fall der Ablehnung der H 0
nicht einfach sagen kann, X j und X k sind linear abhängig, denn der Korrelationskoeffizient
ist ein Maß für den Grad der linearen Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsgrößen.
Man kann in diesem Fall nur sagen, X j und X k sind korreliert.
Die Hypothesen H 0 bzgl. aller anderen Korrelationskoeffizienten müssen analog geprüft
werden. Am stärksten ist die Abhängigkeit zwischen der Reaktionszeit X 3 und der Alkoholkonzentration
X 5 gefolgt von der Korrelation zwischen dem Bremsweg und der
Geschwindigkeit.
Die Korrelationsmatrix ist der Ausdruck für die Abhängigkeitsstruktur der Produkt- und
Prozessvariablen (oder nur der Produkt-, oder nur der Prozessvariable), die in der nebenstehenden
Abbildung für die Produktvariable und die ersten drei Input- und Prozessvariablen
symbolisiert ist. Aus dieser Abbildung wird deutlich, dass die Abhängigkeit zwischen zwei
Parametern natürlich durch die anderen Parameter beeinflusst wird.
Der Zusammenhang zwischen der Kovarianz- und Korrelationsmatrix wird matriziell durch
die Beziehung
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
R = D⎜ 1 ⎟ ⋅Σ
⋅ D⎜ 1 ⎟ ⎝σj
⎠ ⎝σj
⎠
j = … n , bzw.
Σ = D( σ ) ⋅ R ⋅ D( σ )
j
j
ausgedrückt.
Außerdem gilt für die Determinanten der Korrelations-R XX und Kovarianzmatrix Σ XX der oft
nützliche Zusammenhang
wobei
n
Σ = ∏ σ 2 R
XX j XX
j=
1
R
XX
⎧⎪ 1, falls ρjk
= 0, ∀ jk , = 1, …, nj , ≠ k
= ⎨
⎪⎩
0, falls wenigstens ein ρjk
= 1, für j ≠ k.
Das Modell der Korrelationskoeffizienten ist – wie jedes Modell – von den Voraussetzungen
abhängig. Hier bei diesem Modell handelt es sich um die Voraussetzungen der Normalverteiltheit,
Linearität der Abhängigkeiten und der Unabhängigkeit der Elemente der Stichprobe.
Gibt es ein globales Maß für die Straffheit der Abhängigkeitsstruktur?
⎛n + m⎞
In einer Korrelationsmatrix gibt es aufgrund der Symmetrie der Matrix ⎜
⎝ 2 ⎟ verschiedene
Korrelationskoeffizienten. Diese können groß oder klein, positiv oder negativ sein.
⎠
Diese

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
241
Verhältnisse erschweren die Interpretation der Abhängigkeitsstruktur. Daher suchen wir ein
globales Maß für die Abhängigkeitsstruktur. Dieses Maß ist die Determinante det(R) der
Korrelationsmatrix.
Der maximale Wert der Determinante ist det(R) = 1. Dieser Wert wird erreicht, wenn alle
Korrelationskoeffizienten gleich null sind. (Zur Erinnerung sei wiederholt, dass im Falle der
Unabhängigkeit alle Korrelationskoeffizienten gleich null sind.) Die Determinante ist null,
wenn wenigstens ein Korrelationskoeffizient außerhalb der Hauptdiagonalen gleich 1 ist.
Beispiel 5.9.3: Bremsweg eines PKW. Determinante der Korrelationsmatrix
Die Determinante der Korrelationsmatrix für die Input-, Prozess- und Produktvariablen
ist det(R) = 0.12163. Interessanter ist die Determinante der Input- und Prozessvariablen,
denn diese bestimmt den Grad der Multikollinearität. Hierfür berechnen wir den Wert
det(R XX ) = 0.9124. Der Grad der Multikollinearität ist sehr gering und beeinflusst später
folgende Resultate, wie z. B. die Berechnung der Prozessgleichung nicht.
Was passiert, wenn eine oder beide Voraussetzungen verletzt sind?
In diesem Fall können die verteilungsfreien Korrelationskoeffizienten bere chnet werden.
5.9.2 Verteilungsfreie Korrelationskoeffizienten
Verteilungsfreie Korrelationskoeffizienten benötigen keine Annahme über die zugrunde liegende
Verteilung der Zufallsgrößen. Diese Koeffizienten sind daher robuster als die anderen.
5.9.2.1 Was ist ein Vierfelder Korrelationskoeffizient?
Es seien X, Y zwei Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung, die nur qualitativ gemessen werden
können, d. h. die Messwerte sind die Häufigkeiten einer Alternative, wie z. B. Raucher und
Nichtraucher, Produkt in Ordnung und Produkt defekt usw. Eine Stichprobe eines zweidimensionalen
Vektors alternativ verteilter Zufallsgrößen, wie z. B. die Zufallsgröße X besteht
im Vorhandensein oder Nichtvorhandensein einer Eigenschaft A und Y bezieht sich analog
auf eine Eigenschaft B, liefert vier verschiedene Häufigkeiten, die in einer Vierfeldertafel, siehe
Tabelle 5.9.3 aufgeschrieben und mit dem Vierfelder Korrelationskoeffizienten ausgewertet
werden müssen.
Tabelle 5.9.3: Vierfeldertafel
Eigenschaft A
Zeilensumme
vorhanden
nicht vorhanden
Eigenschaft B
vorhanden
nicht vorhanden
a
c
b
d
a + b
c + d
Spaltensumme a + c b + d = a + b + c + d

242 5 Qualität in der Fertigung
In dieser Tafel bezeichnen
a die Häufigkeit des Vorkommens von A und B
a + c die Häufigkeit des Vorkommens von A
a + b die Häufigkeit des Vorkommens von B
d die Häufigkeit der Alternative von A und B,
d. h. des Nichtvorkommens von A und B
b + d die Häufigkeit des Nichtvorkommens von A
c + d die Häufigkeit des Nichtvorkommens von B.
Die zu prüfende Nullhypothese lautet
H 0 : „die beiden Alternativen verteilen sich unabhängig voneinander“
Zur Prüfung dieser Hypothese verwendet man den χ 2 -Test
V
2
χ
a ⋅d − b ⋅c
= =
N [( a + b) ⋅ ( a + c) ⋅ ( b + d) ⋅ ( c + d)]
Für diesen Koeffizienten gilt –1 ≤ V ≤ 1.
Beispiel 5.9.4: Stillstandszeiten
Es soll überprüft werden, ob es zwischen den Stillständen einer Anlage und den Ausschussteilen,
einen Zusammenhang gibt. Die Anlage arbeitet in 3 Schichten. Pro Stunde werden 2
Produkte auf der Anlage hergestellt. Die Produkte werden beurteilt ob sie i. O. oder defekt
sind. Über eine längere Zeitspanne wurden die kurzfristigen Ausfälle der Anlage notiert.
Man erhielt das Ergebnis in der Tabelle 5.9.4.
Tabelle 5.9.4: Stillstandszeiten und defekte Produkte
Produkt
Zeilensumme
i. O. defekt
Anlage
kein Stillstand
Stillstand
91
8
39
18
130
26
Spaltensumme 99 57 156
Damit können wir den Vierfelderkorrelationskoeffizienten
2 156 ⋅(91 ⋅18 − 39 ⋅8)
χ = = 14.38
130 ⋅26 ⋅99 ⋅57
und
V
14.38
= =
156
0.3
ausrechnen. Dieser Wert besagt aufgrund des zugehörigen χ 2 -Wertes, dass ein Zusammenhang
zwischen den Stillständen und den defekten Produkten vorhanden ist, oder anders
formuliert, dass die Stillstandszeiten der Anlage die Qualität beeinflussen.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
243
5.9.2.2 Was für ein Abhängigkeitsmaß können wir berechnen,
wenn die Variablen über eine Rangskala quantifiziert wurden?
Beispiel 5.9.5: Lieferterminüberschreitung. Rangkorrelationskoeffizienten
Bei 14 Kunden wurden die Lieferfristenüberschreitungen Y in Tagen gemessen. Gleichzeitig
wurden für die Partien, aus denen die Kundenlieferungen stammten, die univariaten
Prozessfähigkeiten für eine sehr wichtige Produktvariable ermittelt. Da weder die
Lieferfristenüberschreitungen noch die korrigierten univariaten Prozessfähigkeitsindizes
normal verteilt sind, wurde entschieden, anstelle des einfachen Korrelationskoeffizienten
den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman zu berechnen.
Die Rangkorrelationskoeffizienten s ind aus dem Konzept entstanden, eine Rangskala als eine
Intervallskala aufzufassen und die Rangwerte als Messwerte zu behandeln. Das Ergebnis dieses
Konzeptes sind die Rangkorrelationen von Spearman and Kendall (siehe Kandall [1952]).
Der Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient
F ür die beiden Variablen X und Y kann man aus den Beobachtungsreihen X i , Y i , i = 1, …, N die
beiden Rangreihen x [i] und y [i] , i = 1, …, N bilden und als neue als Messwerte auffassen.
Haben Sie z. B. die Messwerte 5, 2, 7, 4 vorliegen, dann können Sie diese der Größe nach in
2, 4, 5, 7 ordnen. Der Wert x 1 = 5 wird in den Rangreihe zu x [3] . Mit der Gauß’schen Summe
erhält man
und
N
∑
x
N ⋅ ( N + 1)
= =
∑
i
i= 1
2
i=
1
N
⋅ + ⋅ +
∑
2 N
N ( N 1) 2N
1
x = = ∑
2
i
yi
i= 1
6
i=
1
Außerdem gilt
N
N
2 2
∑( xi
x)
∑xi
i= 1 i=
1
N
y
i
2
⎛
N
⎞ 2
⎡ ⋅ + ⎤
⎜∑
x
N ( N 1)
i
⎝
⎟ ⎢ ⎥
i=
1 ⎠ N ⋅ ( N + 1) ⋅ (2N
+ 1) ⎣ 2 ⎦
− = − = −
N
6
N
2
N ⋅( N −1)
=
12
Für die Summe der quadratischen Abweichungen der y i Werte von ihrem Mittelwert erhält
man denselben Ausdruck. Es sind nun noch die Differenzen der Rangpaare
zu bilden.
d i = X [i] – y [i] , i = 1, …, N,

244 5 Qualität in der Fertigung
Setzt man all diese Umformungen in die Formel
r
xy
=
N
∑
i=
1
( x − x) ⋅( y − y)
i
N
N
2 2
∑( xi
− x) ⋅∑( yi
− y)
i= 1 i=
1
i
.
r
s
N
∑d
2
i
i=
1
2
6 ⋅
= 1 −
.
N ⋅( N −1)
Signifikanzprüfung für den Spearman’schen Rangkorrelationskoeffizient
Die H 0 : X und Y sind unabhängig.
Gegen die Alternativhypothese wird mit dem t-Test
tˆ =
rs
⋅ N − 2
1 − r
2
s
geprüft. Falls ˆt > t α; N – 2 dann muss die H 0 verworfen werden, d. h. in diesem Falle sagen wir
die beiden Parameter X und Y sind korreliert.
Beispiel 5.9.6: Lieferfristenüberschreitung. Spearmanscher
Rangkorrelationskoeffizient
Die Daten für dieses Beispiel sind in der Matrix der Tabelle 5.9.5 zusammengestellt.
Tabelle 5.9.5: Daten für Lieferfristenüberschreitung und Prozessfähigkeiten, Rangreihen und deren
Differenzen
der einfachen Korrelationskoeffizienten ein, dann erhält man für den Spearman’schen Korrelationskoeffizienten
Lieferfristenüberschreitung
Prozessfähigkeiten
Rangreihe
X [i]
Rangreihe
Y [i]
13 1,30 1 14 –13
14 1,05 2 5 –3
15 1,65 3 13 –10
16 1,19 4 11 –7
17 1,11 5 7 –2
19 1,13 6 8 –2
20 1,17 7 10 –3
21 1,15 8 9 –1
24 0,95 9 4 5
25 1,20 10 12 –2
30 1,10 11 6 5
31 0,92 12 2 10
36 0,94 13 3 10
40 0,81 14 1 13
d i

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
245
Für den Spearman’schen Rangkorrelationskoeffizienten erhält man den Wert
r s
6⋅
768
= 1 − = −0.69.
2
14 ⋅(14 −1)
Der zugehörige t-Wert ist
0.69
tˆ = ⋅ 12 = 3.3.
2
1−
0.69
Der t-Wert aus der Tafel ist t 0.05; 12 = 1.78. Da der berechnete t-Wert größer als der Tafelwert
ist, muss die H 0 verworfen werden, d. h. die beiden Parameter sind nicht unabhängig
voneinander. Die Lieferfristenüberschreitung ist von den Prozessfähigkeiten abhängig.
Je kleiner die Prozessfähigkeiten für eine wesentliche Produktvariable sind, desto größer
sind die Lieferfristenüberschreitungen. Die berechnete Irrtumswahrscheinlichkeit für die
Ablehnung der H 0 ist α = 0.0059.
In der Abbildung 5.9.5 ist das Korrelationsdiagramm für diese beiden Variablen enthalten.
Man erkennt deutlich die fallende Tendenz, d. h. je größer die Prozessfähigkeiten sind, desto
kleiner sind die Lieferfristenüberschreitungen.
40
35
LTU
30
25
20
15
10
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
Cpk
Abb. 5.9.5: Lieferterminüberschreitung und Prozessfähigkeit
Was ist der Kendall’scher Rangkorrelationskoeffizient?
Es seien wieder zwei Rangfolgen für N Objekte gegeben, d. h. für die nicht normal verteilten
oder skalierten Messwerte zweier Parameter liegen zwei Rangfolgen [i] und [j], i, j = 1, …, N
vor. Als Beispiel stellen wir uns das Lieferfristenbeispiel vor. Für jedes Paar ([i],[j]) von Objekten
(Messwerten) schreiben wir einen Beitrag +1 auf, wenn die Ränge [i] und [j] in der gleichen
aufsteigenden Reihenfolge vorkommen, sonst –1. Konkret bedeutet das, wir definieren für die
erste Rangfolge eine Zufallsgröße V ik , die den Wert +1 annimmt, wenn X i < X k , den Wert 0, wenn
X i = X k und den Wert –1, wenn X i > X k . Analog verfahren wir für den zweiten Parameter Y.

246 5 Qualität in der Fertigung
Die Summe der Beiträge aller Paare ist dann
N
∑ ij
ij , = 1
S = x ⋅ y .
Der Maximalwert dieser Summe ist
Setzt man
⎛N
⎞ 1
⎜ ⎟ = ⋅ N ⋅ ( N − 1).
⎝ 2 ⎠ 2
T =
ij
S
1
⋅ N ⋅( N −1)
2
so nimmt T nur Werte zwischen –1 und +1 an. T = +1 gilt nur dann, wenn die beiden Rangfolgen
übereinstimmen. T = –1 erhält man nur dann, wenn die beiden Rangfolgen entgegengesetzt
sind. Für die Berechnung des Kendall’schen Rangkorrelationskoeffizienten ordnet man
die erste Rangfolge der Größe nach von 1 bis N. Darunter schreibt man die zugeordneten Ränge
der zweiten Rangfolge, also
für X: 1 2 3 … N
für Y: Y 1 = Y [1] Y 2 = Y [N] Y 3 = Y [3] … Y N = Y [2] .
Damit kann man S wie folgt berechnen: man zählt, wie viele der Y’s größer als Y 1 rechts von
Y 1 stehen, dann zählt man wie viele der Y’s größer als Y 2 rechts von Y 2 stehen usw. Die Summe
aller dieser Anzahlen sei P. Damit kann S umgeschrieben werden. Es gilt S ist die Summe von
P Beiträgen +1 und ⎛ N ⎞
⎜ ⎟ − P Beiträgen –1, d. h.
⎝ 2 ⎠
bzw.
1
S = 2 ⋅ P − ⋅ N ⋅( N −1),
2
2 ⋅ P
T = −1.
1
⋅ N ⋅( N −1)
2
Beispiel 5.9.7: Lieferfristenüberschreitung. Kendallscher Rangkorrelationskoeffizient
Die Berechnung des Kendall’schen Rangkorrelationskoeffizienten ergibt für das Beispiel
der Lieferterminüberschreitung den Wert T = –0.538. T ist asymptotisch normal verteilt
mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz
2 ⋅ ⋅ +
=
2 (2 N
σ
5) ,
T
9 ⋅ N ⋅( N −1)
siehe z. B. van der Waerden [1957]. Damit kann man die Hypothese der Unabhängigkeit
von X und Y verwerfen, wenn T größer ist als T α = σT
⋅Φ(1 − α ) , wobei Φ die Verteilungsfunktion
der standardisierten Normalverteilung ist.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
247
Die H 0 der Unabhängigkeit der beiden Zufallsgrößen muss aufgrund des Ergebnisses
T = –0.538 verworfen werden. Die berechnete Irrtumswahrscheinlichkeit ist α′ = 0.0073.
Zum Vergleich wurde der einfache Korrelationskoeffizient berechnet. Man erhält hierfür
den Wert r XY = –0.795. Die berechnete Irrtumswahrscheinlichkeit für die Ablehnung der
H 0 ist α′ = 0.0007.
Neben den einfachen und Rangkorrelationskoeffizienten gibt es weitere Abhängigkeitsmaße.
Diese sind vor allem die
•
•
•
partiellen oder bedingten Korrelationskoeffizienten,
die multiplen Korrelationskoeffizienten und
die multivariaten multiplen Korrelationskoeffizienten.
5.9.3 Was sind partielle Korrelationskoeffizienten
Wozu werden die bedingten (partielle) Korrelationskoeffizienten gebraucht?
Wie werden die bedingten Korrelationskoeffizienten berechnet?
Bisher haben wir die Abhängigkeitsstruktur für die Input-, Prozess- und Produktvariablen
durch die einfachen (paarweisen) Korrelationskoeffizienten beschrieben. Wir haben aber auch
gesehen, dass mitunter Antworten auf praktisch relevante Fragen, wie z. B. die Frage nach den
Abhängigkeiten zwischen den Produkt- und Prozessvariablen ohne den Einfluss der Inputvariablen
erforderlich sind. Diese Frage kann man auch so formulieren,
Wie groß sind die bedingten Abhängigkeitsmaße zwischen den Produkt- und
Prozessvariablen unter der Bedingung der Inputvariablen?
Zur Vereinfachung der Lösung auf die Frage betrachten wir ein triviales Beispiel.
Beispiel 5.9.8: Einfluss von zwei Prozess- auf eine Produktvariable. Abhängigkeiten
In dem Graphen der Abbildung 5.9.6 ist der Einfluss zweier korrelierter Prozessvariablen
auf eine Produktvariable dargestellt.
r Y1 = 0.84
X 1
r 12 = 0.95
Y
r Y2 = 0.86
X 2
Abb. 5.9.6: Einfluss von zwei Prozess- auf eine Produktvariable

248 5 Qualität in der Fertigung
Die Korrelationsmatrix für dieses Beispiel ist
⎛1 0.84 0.86⎞
R = ⎜
⎜
1 0.95⎟
⎟
⎝
1 ⎠
Die beiden Prozessvariablen haben den Korrelationskoeffizient r 12 = 0,95. Für die Steuerung
des Prozessen müssen wir aber wissen, wie z. B. X 1 auf Y wirkt, ohne dass dieser Einfluss
durch das Wirken der zweiten Prozessvariablen „verfälscht“ wird. Der Einfluss von X 2 auf
X 1 soll eliminiert oder konstant gehalten werden. Das ist nur in einem Modell möglich,
denn in der Natur lässt sich dieser Einfluss nicht eliminieren oder konstant halten.
Ein Korrelationskoeffizient dieser Art wird als partieller Korrelationskoeffizient bezeichnet.
Dieser misst den partiellen Einfluss von X 1 auf Y, oder anders ausgedrückt den Einfluss von
X 1 auf Y unter der Bedingung, dass X 2 konstant gehalten wird. Wir können auch sagen, der zu
findende Korrelationskoeffizient ist ein Korrelationskoeffizient der bedingten Verteilung von
Y und X 1 unter der Bedingung von X 2 .
Für diesen Fall wollen wir im Folgenden die Formel zur Berechnung der partiellen Korrelationskoeffizienten
betrachten . Es gilt
rY1 − rY2 ⋅r12
rY
1/2 =
2 2
(1 − r ) ⋅(1 − r )
Y 2 12
wobei r Y1/2 die symbolische Darstellung für die Abhängigkeit zwischen Y und X 1 unter der
Bedingung ist.
Beispiel 5.9.9: Einfluss von zwei Prozess- auf eine Produktvariable.
Partieller Korrelationskoeffizient
Für das Demonstrationsbeispiel gilt
r Y 1/2
0.84 − 0.86 ⋅0.95
= = 0.146.
2 2
(1 − 0.86 ) ⋅(1 − 0.95 )
Das Ergebnis der einfachen- und partiellen Korrelationsanalyse besagt, dass die paarweise
(oder auch totale) Abhängigkeit zwischen Y und X 1 sehr straff ist (r YX1 = 0.84). Es besagt
aber auch, dass diese Abhängigkeit sehr stark durch X 2 beeinflusst wird, denn X 2 wirkt
sehr stark auf X 1 (r 12 = 0.95) und sehr stark auf Y (r Y2 = 0.86). Hält man diesen Einfluss
konstant, oder eliminiert man diesen Einfluss, dann ist die verbleibende Abhängigkeit nur
noch gering (r Y1/2 = 0.146).
Was können Sie aus den Unterschieden zwischen den einfachen und partiellen
Korrelationskoeffizienten ablesen?
Beispiel 5.9.10: Einfluss von zwei Prozess- auf eine Produktvariable.
Maß der Beherrschbarkeit
Y kann einzeln sowohl durch X 1 oder X 2 und gemeinsam durch X 1 und X 2 zusammen
dargestellt werden. Die Genauigkeit der unterschiedlichen Darstellungen wird durch das
Maß der Beherrschbarkeit und durch die Streuungen um die Regressionsgleichung (Reststreuung)
ausgedrückt.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
249
Die Darstellungen von Y durch X 1 oder X 2 liefern die beiden Gleichungen
Y = b Y1 X 1 = 0.84 X 1
mit dem Maß der Beherrschbarkeit R 2 Y1 = 0.7056 und der Reststreuung
S Y/1 = 0.5425 bzw.
Y = b Y2 X 2 = 0.86 X 2
mit dem Maß der Beherrschbarkeit R 2 Y/2 = 0.7396 und der Reststreuung
S Y/2 = 0.5203.
Wird Y durch beide X gemeinsam dargestellt, dann erhält man die Gleichung
Y = b Y.1/2 X 1 + b Y.2/1 X 2 = 0.2359 X 1 + 0.6359 X 2
mit dem Maß der Beherrschbarkeit R 2 Y/1, 2 = 0.7450 und der Reststreuung
S Y/1, 2 = 0.5049.
Hieraus können Sie ablesen, dass
•
•
•
die Varianz von Y durch X 1 oder X 2 zu ca. 70 % erklärt wird,
durch den gemeinsamen Ansatz mit beiden Einflussvariablen X 1 und X 2 wird das Maß
der Beherrschbarkeit nicht wesentlich kleiner. Die Ursache hierfür ist der große Korrelationskoeffizient
für X 1 und X 2 .
Man nennt diesen Effekt Einfluss der Multikollinearität zwischen den Einflussgrößen
auf die Regressionsgleichung und nennt eine der beiden Variablen redundant.
Berechnung der partiellen Korrelationskoeffizienten über die bedingte Verteilung
Für die allgemeine Ableitung setzen wir voraus, dass der zufällige Vektor (Y T , X T ) normal verteilt
ist. Gesucht sind die partiellen Korrelationskoeffizienten zwischen den Produktvariablen, d. h.
die bedingten Korrelationskoeffizienten der Produktvariablen Y unter der Bedingung, dass die
Input- und Prozessvariablen X konstant gehalten werden, d. h. gegeben sind.
Die bedingte Verteilung von Y unter der Bedingung X ist eine m-dimensionale Normalverteilung
ist mit den bedingten Momenten E[Y/X] und v ar(Y/X). Für diesen verallgemeinerten
Fall erhält man den Vektor bedingter Erwartungswerte
−1
T
Y YX XX X Y / X X
E[ Y/ X] = μ + Σ ⋅ Σ ⋅( X− μ ) = μ + β ⋅( X−
μ )
und die be dingte Kovarianzmatrix
−1
YY YX XX XY YY / X
var [ Y/ X] = Σ − Σ ⋅ Σ ⋅ Σ = Σ .
Die Elemente σ kl/1, … n , k, l = 1, …, m der bedingten Kovarianzmatrix Σ YY/X „messen“ in der
Hauptdiagonalen die Variabilität der Produktvariablen und in den Nebendiagonalen die Abhängigkeiten
zwischen den Produktvariablen unter der Bedingung X, d. h. unter der Bedingung,
dass die Input- und Prozessvariable gegeben sind.
Die partiellen Korrelationskoeffizienten zwischen den Produktvariablen unter der Bedingung,
dass die Input- und Prozessvariable realisiert sind, werden analog den gewöhnlichen Korrelationskoeffizienten,
nur mit den Elementen der bedingten Kovarianmatrix Σ YY/X berechnet.
Wir erhalten die Formel

250 5 Qualität in der Fertigung
ρ
kl /1,…,
n
σkl /1,…, n σkl / X
= =
σ ⋅σ σ ⋅σ
kk /1,…, n kk /1,…, n kk / X ll / X
.
Für σ kk/X kann man natürlich auch σ 2 k/X schreiben. Die Matrizenformel zur Berechnung der
Korrelationskoeffizienten aus der Kovarianzmatrix kann natürlich auch für die bedingte Kovarianzmatrix
aufgeschrieben werden. Wir erhalten
D
und damit
2
σ1/
X
⎜
⎟
= Diag ( ΣYY
/ X ) = Diag
⎜ … ⎟
⎜
2
⎝ σ ⎟
m / X⎠
−
1 −
1
2 ⋅Σ
⋅ 2
YY / X = YY / X ,
D D P
⎛
wobei P YY/X die Matrix der partiellen Korrelationskoeffizienten bezeichnet.
⎞
Beispiel 5.9.11: Bremsweg eines PKW. Partielle Korrelationskoeffizienten
Die partiellen Korrelationskoeffizienten für das Bremswegbeispiel sind in der Tabelle zusammen
gestellt.
Tabelle 5.4.5: Matrix der partiellen Korrelationskoeffizienten
R
partiell
⎛1 0.885 −0.566 0.695⎞
⎜ 1 0.413 −0.55⎟
= ⎜
⎟
⎜ 1 0.475 ⎟
⎜
⎝
1 ⎟
⎠
Vergleicht man die Matrix der bedingten mit der Matrix der einfachen Korrelationskoeffizienten
für dieses Beispiel, dann sieht man, dass
• sich die bedingten wesentlich von den einfachen Korrelationskoeffizienten unterscheiden
können und
• die bedingten auch wesentlich größer als die einfachen Korrelationskoeffizienten werden
können.
Die Vergrößerung oder Verkleinerung hängt im wesentlichen von den Vorzeichen der
einfachen Korrelationskoeffizienten ab.
5.9.4 Was sind multiple Korrelationskoeffizienten und wozu benötigt
man diese?
Der multiple Korrelationskoeffizient ist ein immens wichtiges Abhängigkeitsmaß zwischen
der Produktvariablen Y und der Prozessgleichung, oder anders formuliert dem bedingten Erwartungswert
einer Produktvariablen unter der Bedingung der Input- und Prozessvariablen,
dem ja die Prozessgleichung entspricht.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
251
T −1
Y Y.
X XX X X
EY [ / X] = μ + σ Σ ( − μ )
mit der bedingten Varianz
2 T −1
YX Y. X XX Y.
X
var( Y/ X) = σ − σ Σ σ .
Die Bezeichnungen liefern uns die Zerlegung der positiv definiten Kovarianzmatrix Σ entsprechend
der Zerlegung des zufälligen Vektors in die Produktvariable Y und den Vektor X der
Prozess- und Inputvariablen Z T = (Y, X T ) in
⎛
2 T
σ ⎞
Y σY.
X
Σ = ⎜ ⎟ .
⎝ Σ ⎠
XX
Warum ist der multiple Korrelationskoeffizient für die Anwendungen so wichtig?
Mit dem multiplen Korrelationskoeffizienten können Sie beurteilen,
•
•
wie gut die Menge der Input- und Prozessvariablen die Produktvariable beeinflusst und
wie gut die Varianz einer Produktvariablen durch die Input- und Prozessvariablen erklärt
wird.
Aus diesem Grunde nennen wir den multiplen Korrelationskoeffizienten das Maß der Beherrschbarkeit
eines Prozesses. Je größer der multiple Korrelationskoeffizient ist, desto besser
wird die Varianz der Produktvariablen durch die Input- und Prozessvariablen aufgeklärt, d. h.
umso sicherer wird der Prozess beherrscht.
Das bedeutet aber auch, dass Sie beurteilen können, wie gut Sie den Prozess nach der Steuerung
mit der Prozessgleichung beherrschen. Streuen die Werte der Produktvariablen nach
der Steuerung nur noch gering um die Prozessgleichung, dann werden die Werte auch nur
noch sehr wenig um den Zielwert streuen. Der Zielwert für die Steuerung ist aber der Sollwert
für die Produktvariable. Damit wird erreicht, dass die Kundenanforderungen überaus präzise
erfüllt werden können.
Für die Definition des multiplen Korrelationskoeffizienten betrachten wir wieder den zufälligen
Vektor (Y, X T ) = Z T und nehmen an, dass Z ~ N n + 1 (µ, Σ) und μ und Σ entsprechend dem Z
partitioniert sind.
Definition des multiplen Korrelationskoeffizienten:
ρ
T −1
2
2 σY. X⋅ΣXX⋅σY.
X σY
/ X
Y / X= = 1 −
2 2
σY
σY
Es gilt 0 ≤ ρ 2 Y/X ≤ 1.
Wenn Y unabhängig von X ist, dann ist ρ 2 Y/X = 0. Wenn Y mit Wahrscheinlichkeit 1 eine Linearkombination
der Komponenten von X ist, dann ist ρ 2 Y/X = 1.
Wenn der zufällige Vektor X nur eine Komponente hat, dann ist ρ 2 Y/X = ρ2 Y.X , d. h. dem Quadrat
des einfachen Korrelationskoeffizienten.
Im standardisierten Fall wird aus der Kovarianzmatrix Σ die Korrelationsmatrix R. R wird
genauso zerlegt wie Σ, d. h.
⎛
T
1 ρ ⎞
Y.
X
R = ⎜ ⎟ .
⎝ R ⎠
XX

252 5 Qualität in der Fertigung
Damit erhält man als Formel zur Berechnung des multiplen Korrelationskoeffizienten
2 T −1
Y / X= Y. X⋅ RXX⋅
Y. X.
ρ ρ ρ
Die Maximum Likelihood Schätzung ist
2 T −1
Y / X = Y. XR
XX Y. X,
R R R
wobei die einzelnen Terme in dieser Formel aus der partitionierten Korrelationsmatrix
R
⎛
T
1 R ⎞
Y.
X
= ⎜ ⎟
⎝ R ⎠
XX
kommen, bzw. mit der Zerlegung der Matrix A in
A
⎛
2 T
a ⎞
Y aY.
X
= ⎜ ⎟
⎝ A ⎠
XX
R
T −1
2 aY. XA
XXaY.
X
Y / X=
2
aY
.
Wie kann eine Hypothese über den multiplen Korrelationskoeffizienten geprüft werden?
Unter den sehr allgemeinen Voraussetzungen, dass der N-dimensionale Stichprobenvektor der
Produktvariablen Y sphärisch mit P (Y = 0) = 0 und die Stichprobenmatrix X unabhängig von
Y ist und mit Wahrscheinlichkeit 1 den Rang n hat, ist der multiple Stichprobenkorrelationskoeffizient
R 2 Y/X nach Muirhead [1982] Beta verteilt, bzw.
N − n −1
R ⋅
Y
n 1 − R
2
/ X
2
Y / X
ist F n, N – n – 1 verteilt. Zur Prüfung der H 0 : ρ 2 Y/X = 0 gegen die allgemeine Alternative H 1 : ρ2 Y/X ≠ 0
wird der F-Test
2
/
2
Y / X
N − n −1 R ⋅
Y X = Fˆ
n 1 − R
verwendet. ˆF ist bei Gültigkeit der H 0 F n, N – n – 1 verteilt mit n und N – n – 1 FG. Der Test zum
Niveau α lehnt die H 0 ab, wenn F ˆ > Fn, N−n−1
( α ) , wobei Fn, N−n−1 ( α ) den oberen 100 α % Punkt
der F n, N – n – 1 Verteilung bezeichnet.
Beispiel 5.9.12: Bremsweg eines PKW. Multipler Korrelationskoeffizient
Zur Demonstration des Rechenweges betrachten wir die Abhängigkeit des Bremsweges
Y von der Geschwindigkeit X 1 , der Profiltiefe X 2 und der Reaktionszeit X 3 . Aus der Stichproben
Kovarianzmatrix S der Tabelle 5.9.6 lesen wir die Werte ab, die in die Formel zur
Berechnung des multiplen Korrelationskoeffizienten einfließen.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
253
Tabelle 5.9.6: Stichprobenkovarianzmatrix für das Bremswegbeispiel
Bremsweg Geschwindigkeit Profil Reaktion
Bremsweg 31,5056 22,5578 –1,393 1,2417
Geschwindigkeit 22,5578 23,0575 –0,6619 0,3899
Profil –1,393 –0,6619 0,4417 0,0314
Reaktion 1,2417 0,3899 0,0314 0,234
⎛23.0575 −0.6619 0.3899⎞ ⎛22.5578⎞
(22.5578 −1.393 1.2417) ⋅ ⎜ 0.4417 0.0314⎟ ⋅ ⎜ −1.393
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 ⎝ 0.234 ⎠ ⎝ 1.2417 ⎠
/1,2,3 =
31.5056
= 0.867.
R Y
Das Ergebnis bedeutet, dass die Varianz des Bremsweges zu 87 % durch die Input- und
Prozessvariablen wie Geschwindigkeit, Profiltiefe und Reaktionszeit erklärt wird. Betrachten
wir die Abhängigkeit des Bremsweges nur von der Geschwindigkeit, dann ist der multiple
Korrelationskoeffizient – das Quadrat des einfachen Korrelationskoeffizienten – gleich
R 2 Y/X = r2 Y.1 = 0.83692 = 0.700,
also kleiner als vorher bei der Betrachtung von 3 Prozessvariablen. Hieraus liest man ab,
dass die multiplen Korrelationskoeffizienten bei Vergrößerung der Anzahl der Input- und
Prozessvariablen nie kleiner werden können, sondern, wenn die Produktvariable Y und die
hinzugenommenen Input- und Prozessvariable nicht unabhängig voneinander sind, stets
größer werden. Das ist logisch, denn durch die Hinzunahme neuer Information kann die
Varianz des Produktvariables immer besser erklärt werden.
Zur Prüfung der H 0 : ρ 2 Y/X = 0 verwenden wir den F-Test
0.867 30 − 3 −1
F ˆ = ⋅ =
1 − 0.867 3
56.49
Aus der Tafel für die F-Verteilung findet man den Wert F 3,140 – 3 = 2.60. Da ˆF > F 3, ∞ , , (0.05)
muss die H 0 verworfen werden, d. h. Y hängt statistisch gesichert von den drei Parametern
Geschwindigkeit, Profiltiefe und Reaktionszeit ab, oder anders ausgedrückt, die Varianz des
Bremsweges wird zu mehr als 86 % durch die drei Prozessvariablen erklärt.
−1
5.9.5 Was sind partiell multiple Korrelationskoeffizienten
und wozu benötigt man diese?
Neben den einfachen, den partiellen und den multiplen Korrelationskoeffizienten muss ich
noch den partiell multiplen Korrelationskoeffizienten ei nführen. Dieser ist für den Nachweis
erforderlich, dass nach der Zerlegung des Vektors X in die Teilvektoren X(k) und X(h) die
Komponenten von X(h) unwesentlich sind. Hierzu muss gezeigt werden, dass die Menge der
unwesentlichen (Input- und Prozess-) Variablen, in X(h) zusammengefasst, tatsächlich unab-

254 5 Qualität in der Fertigung
hängig von der Menge der wesentlichen Variablen und von Y ist und damit aus einer statistischen
Prozessanalyse gestrichen werden kann, oder anders formuliert, ob die Variablen aus X(h) nach
ihrer Streichung die bedingte Varianz von Y unter der Bedingung X(k) kaum vergrößern.
Diesen Sachverhalt kann man auch durch die folgende Frage ausdrücken.
Wie verändern sich der Grad der linearen Abhängigkeit und die Beziehung zwischen Y und X,
wenn der Einfluss von X(h) auf Y und X(k) eliminiert wurde?
Multipel bedeutet in diesem Sprachgebrauch die Messung des Grades der linearen Abhängigkeit
zwischen einer Zufallsgröße – der Produktvariablen Y – und einer Linearkombination von
Zufallsgrößen – der Prozessgleichung in X(k) und partiell bedeutet die Messung des Grades
zwischen zwei „bedingten“ zufälligen Größen, nämlich zwischen den beiden bedingten Erwartungswerten
Y unter X(h) und X(k) unter X(h).
Ausgangspunkt für die Darstellung dieses Korrelationskoeffizienten ist die obige Zerlegung,
in der Y eine Produktvariable bezeichnet, X(k) p und X(h) n – p Parameter enthält, und der
Zerlegungssatz für die bedingten Erwartungswerte und Varianzen.
Mit der analogen Zerlegung des Vektors der Erwartungswerte µ T = (µ Y , µ(k) T , µ(h) T ) und der
Kovarianzmatrix
⎛
2 T T
σ ⎞
Y σY. k σY.
h
⎜
⎟
Σ = ⎜
Σkk
Σkh
⎟
⎜
⎝
Σ ⎟
hh ⎠
erhält man die Momente der bedingten Verteilung von (Y, X(k) T ) unter der Bedingung X(h)
und
⎛ ⎞
E{[ Y, Xk ( ) )/ Xh ( )] } = ( μ μ ) − ⋅Σ ⋅[ Xh ( ) − μ( h)]
T
T T T σYh
. −1
Y k ⎜ ⎟ hh
⎝Σkh
⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
var[( Y X( k) )/ ( ) ] ( )
2 T
T
T T σY σY. k σY.
h −1
T
X h = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⋅Σhh ⋅ σY . h Σhk
⎝ Σkk
⎠ ⎝Σkh
⎠
⎛
2
σ ⎛
⎞
Y σ
= ⎜ − ⎜ ⎟
⎝ Σ ⎠ ⎝Σ Σ σ Σ Σ Σ ⎠
⎛
2 T
σ ⎞
Y
= / h σY . k / h
⎜ ⎟ .
⎝ Σ ⎠
T
T −1 T −1
⎞ σ
. Yh . ΣhhσYh . σYh . ΣhhΣ
Y k
hk
⎟
−1 −1
kk kh hh Y . h kh hh hk
kk / h
Die Linearkombination zwischen E[X(k)/X(h)] und E[Y/X(h)] hat die Koeffizienten
T
T −1
Yk . / h = Yk . / h kk/
h
β σ Σ
und die maximale Korrelation
ρ
T −1
2 σYk . / hΣkk/ hσYk . / h
Yk . / h =
.
2
σY / h
Dieser Korrelationskoeffizient wird partiell multipler Korrelationskoeffizient genannt.

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
255
Für die Interpretation dieses Korrelationskoeffizienten betrachten wir die folgenden Beziehungen
oder
T −1 2
2 σYk . / hΣkk/ hσYk . / h σY/
X
Yk . / h
2 2
σY / h σY / h
1 − ρ = =
ρ
2
2 /
Yk . / h
2
Y / h
σY
X
= 1 − .
σ
Es gilt 0 ≤ ρ 2 Y.k/h ≤ 1.
Damit wird deutlich, dass der partiell multiple Korrelationskoeffizient ein Maß für die Reduktion
der bedingten Varianz von Y unter der Bedingung X(k) ist, wenn man den Vektor X(h)
zu X(k) hinzu nimmt.
Sind σ 2 Y/X und σ2 Y/h nahezu gleich groß, dann wird der Quotient nahezu gleich 1, d. h. ρ2 Y.k/h
wird sehr klein sein. Andererseits, wenn σ 2 Y/X im Vergleich zu σ2 Y/h sehr klein ist, dann wird
ρ 2 Y.k/h groß sein.
Kleine Werte von ρ 2 Y.k/h bedeuten eine kleine Reduktion der bedingten Varianz von Y unter
X(k) durch Hinzunahme von X(h).
Weitere nützliche Beziehungen in Bezug auf den partiell multiplen Korrelationskoeffizienten
1. Mit var[Y/X(h)] = σ 2 Y (1 – ρ2 Y/h ) und
var[Y/X(k), X(h)] = σ 2 Y (1 – ρ2 Y/X ) erhält man
ρ
2
ρY
=
1 − ρ
2 / X
Yk . / h
.
2
Y / h
2 2 2
Yk . / h Y/ X Y/
h
ρ ρ − ρ
=
2 2
1−
ρ 1−
ρ
Yk . / h Y/
X
2. Den Zusammenhang zwischen den partiellen und multiplen Korrelationskoeffizienten
erkennt man sofort, wenn X (k) und X(h) als einfache Zufallsgrößen angesehen werden.
In diesem Falle wird aus der Matrix Σ kk/h die skalare Größe σ 2 kh und damit
ρ
T −2 2
2 σYk . / h σk/ hσYk . / h σYh . / k
Yk . / h = =
2 2 2
σY / h σY / h⋅
σY / k
.
Wie können Hypothesen bzgl. des partiell multiplen Korrelationskoeffizienten geprüft
werden?
Es soll die Hypothese H 0 : ρ 2 Y.h/k = 0 gegen die Alternative H 1 : ρ 2 Y.h/k ≠ 0 geprüft werden. Hierzu
ist der F-Test anwendbar. Es gilt
2
. /
ˆ RYk h N − p − ( n − p)
F = ⋅
2
1 − R . /
n − p
Yk h
ist F n – p, N – n verteilt.

256 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.9.13: Bremsweg eines PKW. Partiell multipler Korrelationskoeffizient
Wir betrachten die Prozessgleichung
Y = 17.1505 + 0.2935 Geschwindigkeit – 3.5605 Profiltiefe
+ 8.516 Reaktionszeit.
Das Maß der Beherrschbarkeit (Quadrat des multiplen Korrelationskoeffizienten) ist
R 2 Y/1, 2, 3 = 0.867 und die Streuung um die Prozessgleichung (bedingte Standardabweichung)
ist s Y/1, 2, 3 = 2.164 (S 2 Y/1, 2, 3 = 4.6828).
Die Frage ist, ob zwei weitere Variable, wie z. B. Rauheit der Straße und Alkoholkonzentration
den multiplen Korrelationskoeffizienten wesentlich vergrößern können. Die Kovarianzmatrix
bei Einbeziehung der zusätzlichen Variablen und mit einer neuen Stichprobe ist
⎛33.540 34.581 −1.878 1.300 −7.441 0.474 ⎞
⎜ 95.479 −0.367 0.617 −6.665 0.863 ⎟
⎜
⎟
⎜
0.5904 0.0389 0.203 0.0127 ⎟
S = ⎜ 0.1477 0.0313 0.04026 ⎟
⎜
⎟
⎜
5.0646 0.0367 ⎟
⎜
⎟
⎝
0.0217 ⎠
Zur Beantwortung der Frage wird der partiell multiple Korrelationskoeffizient berechnet.
Man erhält
⎛S
⎜
⎝S
und damit
T
Yh .
hh
⎛23.935114 32.237561 −0.021682 0.94003 ⎞
⎞
⎜
⎟
−1
47.516117 0.210268 1.660873
⎟ ⋅Shh ⋅ ( Sy.
h Shk
) = ⎜
⎟
⎠
⎜
0.014019 0.022227⎟
⎜
⎝
0.074965⎟
⎠
⎛9.6048 2.3434 −1.8563 0.35997⎞
⎛
2 T
S ⎞ ⎜ 47.9629 −0.5773 −1.0439
⎟
Y / h SY. k/
h
⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ S / ⎠ ⎜
0.5764 0.01667
kk h
⎟
⎜
⎝
0.07273⎟
⎠
Mit diesen Werten erhält man die Maximum Likelihood Schätzung für den partiell multiplen
Korrelationskoeffizienten
T −1
2 SYk . / h⋅
Skk/ h⋅SYk . / h
Yk h
SY h
9.583
R . / = = = 0.997.
2
/
9.605
Für die Prüfung der Hypothese H 0 : ρ 2 Y.k/h = 0 gegen die Alternative H 1 : ρ2 Y.k/h ≠ 0 wird der
F-Test verwendet. Man berechnet
2
. /
ˆ ρYk h N − p − ( n − p) 0.997 140 − 3 − 2
F = ⋅ = ⋅ = 2243
2
1 − ρ . /
n − p 1 − 0.997 2
Yk h

5.9 Was bedeutet Abhängigkeitsstruktur eines Prozesses?
257
Hieraus folgt schon – auch ohne den Tafelwert nach zu schlagen –, dass dieser Wert statistisch
gesichert von null verschieden ist, d. h. dass die beiden Parameter Rauheit der Strasse und
Alkoholkonzentration im Blut das Maß der Beherrschbarkeit wesentlich vergrößern.
Die vollständige Prozessgleichung ist
Y = 27.362 + 0.1939 Geschwindigkeit – 3.272 Profiltiefe
+ 8.4829 Reaktionszeit – 1.151 Rauheit + 2.265 Alkoholkonzentration
Das Maß der Beherrschbarkeit ist R 2 Y/X = 0.999 und die Streuung um die Prozessgleichung
ist S Y/X = 0.11677 (S 2 Y/X = 0.01363).
Welche Aussagen sind mit dem multivariaten, multiplen Korrelationskoeffizient möglich?
Häufig wird eine Maßzahl zur Bewertung der Abhängigkeit zwischen zwei zufälligen Vektoren
gesucht, wie z. B. bei der multivariaten, multiplen Regressionsanalyse mit stochastischen Input-
und Prozessvariablen.
Der multivariate, multiple Korrelationskoeffizient wird über die Formel
τ
2
Y/ X 1
= −
Σ
YY / X
Σ
XX
definiert. Dieser Koeffizient ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit z. B. zwischen dem zufälligen
Vektor Y und E(Y/X).
Für m = 1 ist τ 2 Y/X identisch mit dem multiplen Korrelationskoeffizienten ρ2 Y/X .
Bemerkungen
1. Ein weiteres Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen zwei zufälligen Vektoren ist die
Spurkorrelation nach Anderson [1984] und Höschel [1974, 1976], die über
V
durch
−1 −1
YX = ΣYY ⋅ΣY . X ⋅ΣXX ⋅ΣX.
Y
−1
= m − Sp ( Σyy
⋅Σyy / x )
Sp ( )
2 VYX
ηY
/ X=
min( mn , )
definiert wird.
2. Zusammenhang zwischen den multivariaten, multiplen und kanonischen Korrelationskoeffizienten
κ. Es gilt
2 2 2
Y / X 1 min( m, n)
1 − τ = (1 − κ ) ⋅…
⋅[1 − κ ].
Die kanonischen Korrelationskoeffizienten werden am einfachsten aus den nicht negativen
−1 −1
Eigenwerten von Σ ⋅Σ ⋅Σ ⋅Σ berechnet.
YY Y . X XX X.
Y

258 5 Qualität in der Fertigung
5.9.6 Was besagen der multivariat partiell-multiple und der multivariat
semipartiell-multiple Korrelationskoeffizient?
Die Berechnung von Pro zessgleichungen im Rahmen des multivariaten, multiplen linearen
Modells wird mit der Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen gekoppelt.
Hieraus folgt aber, dass wir Korrelationskoeffizienten für die Beurteilung der
Abhängigkeiten nach der Zerlegung des zufälligen Vektors der Produkt- und Input- und
Prozessvariablen in Z T = (Y T , X(k) T , X(h) T ) für die bedingten Erwartungswerte E[X(h)/X(k)]
−1
T
= Σhk . ⋅Σkk ⋅ Xk () = : β Y/
X ⋅ Xk () mit var[X(h)/X(k)] = Σ hh/k benötigen. Bezeichnen wir die
Fehlermatrizen mit
und
E [ F ⋅ F ] = Σ
Y / k h/ k Y. h/
k
−1
Y / k h/ k = ΣY. h/ k⋅Σhh⋅
h/
k
E [ F / F ]
F
T −1
Y / k Fh/ k = ΣYY / k−
ΣY. h/ kΣhh/ kΣY. h/
k
var [ F / ]
dann können wir den multivariaten partiell-multiplen Korrelationskoeffizienten in der folgenden
Form
Σ
2 = − /( , ) Σ
τ
= −
/
Yh 1 1
. / k
ΣYY / k Σ /
YY k h YY X
YY k
definieren.
Dieser Korrelationskoeffizient misst den Grad der linearen Abhängigkeit zwischen den bedingten
Erwartungswerten E[Y/X] und E[Y/X(k)].
Für jede Produktvariable Y r , r = 1, …, m kann man aufgrund der Darstellung für τ 2 Y.h/k die
Beziehung
τ
σ 2 2 −
2 Red , ( )
Y X σr k σ
rph
r X
= ρr h k= 1 − = =
σ σ σ
2 2 / / /
Yr
. h/ k . / 2 2 2
Y / k r/ k r/
k
aufschreiben, die besagt, dass Hypothesen über die Red p (h) bzw. Red r, p (h) des Abschnittes 5.9.2
mit den partiell-multiplen Korrelationskoeffizienten geprüft werden können.
Aus ρ 2 r.h/k = 0 folgt mit Wahrscheinlichkeit 1, dass die Streichung der Input- und Prozessvariablen
in X(h) keine Vergrößerung der bedingten Varianz σ 2 Y/X zur Folge hat. In diesem Fall
muss gelten, sowohl Σ hk = 0 als auch σ r.h = 0.
Aus ρ 2 r.h/k = 1 folgt mit Wahrscheinlichkeit 1, dass X(h) eine lineare Funktion von X(k) ist.
Für die Zerlegung des Vektors der Input- und Prozessvariablen in X(k) und X(h) gilt für den
partiell-multiplen Korrelationskoeffizienten
2 2 2 2 2 2
r/ X r/ k rh . / k r r/ k rh . / k
σ = σ ⋅(1 − ρ ) = σ ⋅(1 − ρ ) ⋅(1 − ρ ).
Dieser interessante Zusammenhang lässt sich auf den multivariaten Fall übertragen.
Für die Zerlegung des Vektors der Produktvariablen Y in Y(s) und Y(t) mit
s = (s 1 , …, s q ), s 1 < … < s q und
t = (t 1 , …, t m – q ), t 1 < … < t m – q gilt

5.10 Was ist eine Prozessgleichung und wozu benötigt man diese?
259
2 2 2
Y / X s/ X t. X/
s
1 − τ = (1 − τ ) ⋅(1 − τ )
und für die Zerlegung von X in X(k) und X(h) gilt
2 2 2
Y / X Y. h/ k Y / k
1 − τ = (1 − τ ) ⋅(1 − τ ).
In analoger Weise kann der multivariate semi partielle Korrelationskoeffizient
τ
2
Y .( h / k ) 1
gebildet werden.
= −
Σ
YY /( k, h)
Σ
YY
5.10 Was ist eine Prozessgleichung und wozu benötigt man
diese?
Wie wir schon wiederholt feststellten, ist jedes Produkt (materielles Produkt oder Dienstleistung)
das Ergebnis eines (Herstellungs- oder Dienstleistungs-) Prozesses. Jedes Produkt wird
durch m, m ≥ 1 nicht unabhängige Produktvariable beschrieben. Der Kunde, der ein Produkt
kaufen möchte, stellt seine Anforderungen an das Produkt. Diese Anforderungen werden in
einem Kundenanforderungsprofil (KAP) zusammen gestellt. Das KAP wird parametrisiert und
durch Sollwerte und Toleranzgrenzen für alle relevanten Produktvariable spezifiziert.
Ein Prozess wird durch die Input-, Prozessvariablen X als Ursachen und die Produktvariablen
Y als Wirkungen beschrieben. Eine Veränderung der Produktvariablen kann nach dem Ursache-Wirkungs-Prinzip
nur durch die Veränderung der Input- und/oder Prozessvariablen
erreicht werden. Die Veränderungen durch die Störvariablen (noise variables) sind zufällig
und nicht steuerbar, müssen aber trotz alledem berücksichtigt werden, denn deren Einfluss
kann erheblich sein.
Damit die Kundenanforderungen durch die gefertigten Produkte auch wirklich erfüllt werden,
muss der Prozess gesteuert werden. Dazu benötigen wir die Prozessgleichung. In die können
wir Werte für die Input- und Prozessvariable einsetzen und damit die Werte für die Produktvariable
(oder Produktvariablen) berechnen.
Definition der Prozessgleichung
Die Prozessgleichung ist eine Funktion, die den Input- Z und Prozessvariablen X die Produktvariablen
Y zuordnet, sodass eine Steuerung des Prozesses möglich ist.
Die Funktion ist in der Regel unbekannt. Es sind kaum Gesetze bekannt, nach denen die Prozessgleichung
gefunden werden kann. Daher muss die Funktion statistisch bestimmt werden.
Dazu benötigt man möglichst fehlerfreie, vollständige, zuordenbare Messwertsätze in ausreichender
Anzahl für die Input-, Prozess- und Produktvariablen.
Die Input- und Produktvariablen sind dabei in der Regel zufällige Vektoren, denn die Inputvariablen
sind nach Abschnitt 5.5 die Produktvariablen der Produkte von Vorläuferprozessen.
Produktvariable sind zufällige Vektoren, da in jedem Prozess zufällige Komponenten wirken,
deren Beitrag sich auf die Werte der Produktvariablen auswirkt.

260 5 Qualität in der Fertigung
Die Prozessvariablen können zufällig oder determiniert sein. Häufig wirken aber auch die determinierten
Einstellvariablen zufällig auf das Produkt. Diese Voraussetzung bedingt, dass für
die Berechnung der Prozessgleichung gewisse Verteilungsvoraussetzungen benötigt werden.
Beispiel 5.10.1: Brennen von Porzellan. Technologie
Porzellan wird aus Kaolin, Quarz und Feldspat hergestellt. Die aus der Porzellanmasse
geformten Gegenstände werden zuerst in einem Glühbrand von 900 [°C] gesintert, wobei
der Scherben entsteht. Nach dem Verglühen wird der Scherben glasiert und dem Gar- oder
Glattbrennen von 1400 – 1500 [°C] unterworfen. Der Quarz und Feldspat geraten bei der
hohen Temperatur in Fluss und füllen das Gerippe von Kaolin vollständig aus.
Der Brennofen wird auf 900 [°C] oder 1400 [°C] hoch geheizt. Dass Brenngut wird in
Regale einsortiert und eingeschoben. An jeder Stelle des Regals wirkt eine klein wenig
unterschiedliche Temperatur, d. h. trotz der festen Einstellung des Ofens wirken auf die zu
brennenden Gegenstände verschiedene Temperaturen.
Wie kann man eine Prozessgleichung gewinnen?
In der Antwort zu dieser Frage werden Methoden zur Prüfung der Homogenität und zur
Klassifikation der inhomogenen Stichprobe in homogene Teilstichproben, zur Berechnung
der Prozessgleichung und zur Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen bereit
gestellt.
Um die Verbindung zur klassischen Literatur über die Regressionsanalyse herzustellen, betrachten
wir zunächst den klassischen Fall, bei dem angenommen wird, dass nur Y eine Zufallsgröße
oder ein zufälligen Vektor ist und erweitern diesen dann auf den praktikablen Fall, in dem
sowohl die Input-, Prozess- und Produktvariable zufällige Vektoren sind.
5.11 Modelle für die Prozessgleichung
5.11.1 Nur die Produktvariable Y ist zufällig
Wir wollen annehmen, dass Y ~ N m (µ Y , Σ YY ). Die Input- und Prozessvariablen, wir fassen diese
zu dem Vektor x zusammen, sind determiniert. Die funktionale Darstellung der Produktvariable
Y durch die determinierten Input- und Prozessvariablen
Y = f (x) + ε
bezeichnen wir als Prozessgleichung. Wir können dafür auch schreiben,
Y ~ N m (f (x), Σ YY ).
Da x ein Vektor fester Einstellgrößen für die Input- und Prozessvariablen ist, wird das Modell
multivariates lineares Modell mit festen Input- und Prozessvariablen genannt. Ist X ein zufälliger
Vektor von Input- und Prozessvariablen und sind Y und X gemeinsam nach einer n + m
dimensionalen Normalverteilung verteilt, dann wird das Modell multivariates lineares multiples
Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen genannt. Wir beginnen mit dem Modell
mit determinierten Input- und Prozessvariablen, da dieses aus der Literatur bek annt ist.

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
261
Den Vektor der Input- und Prozessvariablen bezeichnen wir mit x, den Vektor der Produktvariablen
mit Y. Um das Ursache-Wirkungs-Prinzip auch in diesem Falle zu betonen, schreiben
wir anstelle der Y auch Y = Y(x 1 , …, x n ).
Das multivariate lineare Modell mit festen Input- und Prozessvariablen wird wie folgt geschrieben
Y(x 1 , …, x n ) = f (x 1 , …, x n ) + ε,
wobei
f (x 1 , …, x n ) ist eine lineare Funktion,
E[Y(x 1 , …, x n )] = f (x 1 , …, x n ),
ε ∼ N μ (0, Σ), Σ ist positiv definit und
f (x 1 , …, x n ) und ε sind unabhängig voneinander. Die Kovarianzmatrix Σ, kann zwei grundsätzliche
verschiedene Strukturen haben. Beim klassischen linearen Modell gilt
var(ε) = σ 2 I N , d. h. var(ε i ) = σ 2 und cov(ε i , ε k ) = 0 für i ≠ k.
Für das allgemeine lineare Modell gilt
var(ε) = σ 2 Σ YY .
Σ YY wird manchmal als bekannt vorausgesetzt, kann aber auch unbekannte Modellparameter
enthalten. σ 2 ist in jedem Fall ein unbekannter Modellparameter. Die Eigenschaft gleicher
Varianz σ 2 der Fehlervariablen ε i , i = 1, …, N wird als Homoskedastizität bezeichnet.
Manchmal ist Σ diago nal, aber ≠ I N , so nennt man diesen Fakt Heteroskedastizität. Im Fall von
Zeitreihendaten ist die Voraussetzung cov(ε i , ε k ) = 0 für i ≠ k, d. h. der Unkorreliertheit der Fehlervariablen
verletzt. In Kurzschrift können wir hierfür auch schreiben Y ~ N m (f (x 1 , …, x n ), Σ)
mit den Eigenschaften der positiven Definitheit von Σ und der Unabhängigkeit von Fehler
und linearer Funktion.
Die statistischen Aufgaben sind in diesem Fall die
•
•
•
Bestimmung der linearen Funktion f (x 1 , …, x n ),
Berechnung des Maßes der Beherrschbarkeit des Prozesses durch die ausgewählten Inputund
Prozessvariablen,
Beantwortung der Frage, ob das berechnete Maß der Beherrschbarkeit auch mit weniger Input-
und Prozessvariablen erreicht werden kann, d. h. Auswahl der optimalen Teilmenge von
wesentlichen Input- und Prozessvariablen und Streichung der redundanten Variablen.
Das lineare Modell mit festen Input- und Prozessvariablen kann nun durch
•
•
Varianzanalysen oder
Regressionsanalysen
realisiert werden. Das Unterscheidungskriterium zwischen diesen beiden Modelltypen ist die
Messbarkeit der Input- und Prozessvariablen. Sind x 1 , …, x n nur qualitativ messbar, d. h. lassen
sich hierfür Abstufungen angeben, dann ist die Varianzanalyse der passende Modelltyp.
Die Input- und Prozessvariablen sind feste Einstellgrößen, d. h. x 1 , x 2 , …, x n ∈ R n . Die m, m ≥ 1
Produktvariablen Y 1 , Y 2 , …, Y m sind Zufallsgrößen und Funktionen der determinierten Inputund
Prozessvariablen. Auch dieser Sachverhalt wird in Verbindung mit einer Verteilungsannahme

262 5 Qualität in der Fertigung
Y ∼ N ( B x, Σ ),
m
Yx .
YY
dargestellt, wobei B Y.x die Matrix der unbekannten Koeffizienten der Prozessgleichungen ist,
die den Vektor der Produktvariablen Y T = (Y 1 … Y m ) als Linearkombination von den Inputund
Prozessvariablen x T = (x 1 … x n ) darstellt. Σ YY ist die Kovarianzmatrix des Vektors der
Produktvariablen.
Die Normalverteilungsannahme ist oft gerechtfertigt und wird genau so oft, zumindest von
Kritikern infrage gestellt. Unter den hier formulierten Voraussetzungen ist sowohl der lineare
als auch nichtlineare Modellansatz möglich.
Bei all diesen höher dimensionalen Problemen sollte die statistische Prozessanalyse zunächst
mit linearen Modellen begonnen werden. Sind die Maße der Beherrschbarkeit niedrig und
können nicht durch zusätzliche Input- und/oder Prozessvariable vergrößert werden, dann
kann man zu den nichtlinearen Modellen übergehen.
Die Stichprobe
T T
1 = 11 … 1n
Y Y ( x , , x )
…
T T
N = N1
… Nn
Y Y ( x , , x )
an den N Messwertstellen für die Input- und Prozessvariablen
⎛ x
⎜
⎜
⎝x
…
…
…
11 1n
N1
x
x
Nn
und die Darstellung
Y = f( x ,…, x ) + ε , ∀ i = 1, …,
N
⎞
⎟
⎟
⎠
i i1
in i
sind Grundlagen für die Berechnung der Prozessgleichung mit festen Input- und Prozessvariablen.
Es wird noch vorausgesetzt, dass
E [ εi] = 0
var ( ε ) = Σ
i
Des weiteren wird angenommen, daß f (x 1 , …, x n ) von den unbekannten Modellparametern
β Y.1 , …, β Y.n abhängen möge. Es gibt folglich eine Funktionenschar
̃ nm ⋅
f ( x ,…, x ; β ,…, β ), mit ( β ,…, β ) ∈ R ,
1 n Y.1 Y. n Y.1 Y.
n
die die unbekannte Funktion enthält. Für die Ableitung von Schätzfunktionen für die unbekannten
Modellparameter wollen wir voraussetzen, daß die Funktion ̃f nur linear von den
unbekannten Koeffizienten abhängt, d. h.
f̃ ( x , … , x ; β , … , β ) = β ⋅ g ( x , … , x ) + … + β ⋅ g ( x , … , x )
1 n Y.1 Y. n Y.1 1 n Y.
n 1 n
wobei g(x 1 , …, x n ) bekannte linear unabhängige Funktionen sind. Diese Gleichung nennen
wir Prozessgleichung, wenn x T = (x 1 , …, x n ) der Vektor der determinierten Input- und Prozessvariablen
ist.

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
263
5.11.1.1 Was versteht man unter einem univariaten, linearen, multiplen Modell
mit festen Input- und Prozessvariablen ?
Dieses Modell besitzt die Darstellung
T
Yx . .
Y = β ⋅ x + ε
In diesem Modell ist Y eine nach Y ~ N 1 (β T Y…x x, σ2 ) verteilte Zufallsgröße, x T = (x 1 , …, x n )
der Vektor der festen Input- und Prozessvariablen und ε der Anpassungsfehler Y – β T Y…x x mit
der Verteilung ε ~ N 1 (0, σ 2 ). Y und ε sind unabhängig voneinander verteilt. Das dazugehörige
statistische univariate, lineare, multiple Modell mit festen Input- und Prozessvariablen ist
wobei
Y
Y
T
Yx .
= β ⋅ x + ε
⎛Y1 ⎞ ⎛ x11 … x1N
⎞
= ⎜…
⎟ und x = ⎜ … ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝Y ⎠ ⎝x … x ⎠
N N1
Nn
die Stichproben vom Umfang N für die Produktvariable Y und den Vektor der determinierten
Input- und Prozessvariablen sind. In der Schreibweise mit der Verteilung gilt für dieses Modell
T
2 2
N Y.
x N N N
Y ∼ N ( β ⋅ x, σ ⋅ I ) und ε ~ N (0, σ ⋅ I )
wobei I N die N dimensionale Einheitsmatrix ist.
Was müssen wir weiter tun?
Wir müssen mit der Stichprobe für Y und x die unbekannten Modellparameter für das multivariate,
lineare, multiple Modell mit festen Input- und Prozessvariablen schätzen. Hierzu verwenden
wir die bekannte Methode der kleinsten Quadrate, die von Gauß eingeführt wurde. Diese
Methode wollen wir an dem vereinfachten Beispiel 5.11.1 demonstrieren. Vereinfacht bedeutet,
dass wir nur die eine Prozessvariable Geschwindigkeit betrachten und hierfür annehmen, dass
diese Variable fest ist. Die Festlegung kann realisiert werden, idem wir die Geschwindigkeiten
vorgeben und nach dem plötzlichen Bremsen die Länge des Bremsweges messen.
Beispiel 5.11.1: Bremsweg. Einfache Prozessgleichung
Wir betrachten nur die Abhängigkeit des Bremsweges Y [m] von der vorgegebenen Geschwindigkeit
x [km/h]. In diesem einfachsten Fall erhalten wir das einfache lineare Modell
mit einer festen Prozessvariablen
Y = β Y. x x + ε.
Wir wollen annehmen, dass ε ~ N (0, σ 2 ). Die beiden Modellparameter β Y.x und σ 2 sind
unbekannt. Für deren Bestimmung wird eine Stichprobe für die beiden Produkt- und Prozessvariablen
vom Umfang N benötigt. Um das Nachrechnen zu ermöglichen, betrachten
wir nur die kleine Stichprobe in der Tabelle 5.11.1, die auch in der Datei 052Bremsweg03
auf der beiliegenden CD enthalten ist.

264 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.11.1: Messwerte für das Bremswegbeispiel
Nr. Y x
1 35,1 58,0
2 34,1 55,6
3 39,5 60,4
4 36,9 59,8
5 34,1 58,4
6 34,4 58,7
7 30,7 56,3
8 30,3 52,5
9 33,9 54,4
10 49,7 70,5
Zuerst werden die statistischen Maßzahlen berechnet. Man erhält die Werte:
Tabelle 5.11.2: Statistische Maßzahlen für das Bremswegbeispiel
Statistische Maßzahl Y X
Mittelwert 35,87 58,46
Standardabweichung 5,539 4,895
Minimum 30,3 52,5
Maximum 49,7 70,5
Spannweite 19,4 18
Variationskoeffizient 15,4 8,4
Die statistischen Maßzahlen verraten nichts über die Abhängigkeit des Bremsweges von der
Geschwindigkeit, obwohl die natürlich gegeben ist. Das lehrt die Erfahrung und zeigt die
Abbildung 5.11.1. Diese Abbildung zeigt uns auch, dass die Abhängigkeit zwischen diesen
beiden Variablen linear ist.
Für das Bremswegbeispiel erhalten wir die Punktwolke der Abbildung 5.11.1.
Plot Bremsweg über der Geschwindigkeit
50
Bremsweg
46
42
38
34
30
52 56 60 64 68 72
Geschwindigkeit
Abb. 5.11.1: Punktwolke für das Bremswegbeispiel
Was ist in dieser Situation zu tun? Wir denken uns eine Gerade Y = b 0 + b Y.x x durch die
„Punktwolke“ gelegt und fragen, wie die unbekannten Koeffizienten der Gleichung aus den
Messwertepaaren für die beiden Variablen bestimmen werden können.

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
265
Das plausibelste Prinzip hierfür ist, den Abstand der einzelnen Punkte von der gedachten
Gerade zu minimieren. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Summe der Abstände oberhalb
der Geraden genauso groß ist, wie die Summe der Abstände unterhalb der Geraden.
Für diese Lösung betrachten wir die Quadrate der Abstände der Punkte von der Geraden.
Der quadratische Abstand eines Punktes i mit den Koordinaten (x i , y i ), i = 1, …, N von
der gedachten Geraden
yˆ
= b + b x
0 yx .
2
i
ist ( yˆ
− y ) . Die Summe der quadratischen Abstände aller Punkte von der gedachten
Ausgleichsgeraden ist
N
N
2 2
∑ yi − yˆ
= ∑ yi − b0 + by.
xx
i= 1 i=
1
( ) [ ( )] .
Diese Summe soll minimiert werden. Für diese Aufgabe sind die Methoden der Differentialrechnung
zu verwenden. Es müssen zunächst die partiellen Ableitungen der Summe der
quadratischen Abweichungen gebildet und dann null gesetzt werden. Das so entstehende
Gleichungssystem ist zu lösen. Formelmäßig erhält man
N
N
2 2
∑ i
ˆ ∑ i 0 y.
x
i= 1 i=
1
QS = ( y − y) = ( y − b − b x) ⇒ Min!
N
∂QS
=−2 ⋅∑ ( yi
−b0 −by.
x x)
∂b
0 i=
1
N
∂QS
=−2 ⋅∑ ( yi
−b0 −by.
x x)
⋅x
∂b
yx . i = 1
d. h. man muss das Gleichungssystem
N
∑ i 0 y.
x
i=
1
( y − b − b x) = 0
N
∑ i 0 y.
x
i=
1
( y − b − b x) ⋅ x = 0
lösen.
Das Gleichungssystem kann man umformen zu
N
∑
∑
y = N ⋅ b + b ⋅ x
i 0 y.
x i
i= 1 i=
1
N N N
∑x ⋅ y = b ⋅ ∑x + b ⋅∑x
2
i i 0 i y.
x i
i= 1 i= 1 i=
1
N
Dieses Gleichungssystem nennt man Normal Gleichungs System (NGS) für die unbekannten
Koeffizienten b 0 und b y.x der linearen Gleichung und die bekannten Ausdrücke

266 5 Qualität in der Fertigung
N
N
∑x
∑x
2
i
und .
i
i= 1 i=
1
Dieses einfache NGS löst man am schnellsten mit der Kramer’schen Regel (siehe Bronstein
[1960]).
Die Koeffizientendeterminante des NGS ist
D =
N
N
∑
x
N
∑
i
i=
1
N
∑
i
i= 1 i=
1
x
x
2
i
D 0 ist die Determinante, die sich aus D ergibt, wenn man in dieser die Spalte der Koeffizienten
für das unbekannte b 0 durch die Spalte der Absolutglieder
ersetzt, d. h.
N
∑
i=
1
y und
i
N
∑
i
i=
1
x ⋅ y
i
D
0
=
N
∑
y
N
∑
x
i
i
i= 1 i=
1
N
N
2
∑xi ⋅ yi ∑xi
i= 1 i=
1
Analog erhält man
D
N
∑
i=
1
yx . =
N N
∑
∑
N
y
x x ⋅ y
i i i
i= 1 i=
1
i
.
Damit erhält man für b y.x den Ausdruck
b
N N N
∑ ∑ ∑
N ⋅ x ⋅ y − y ⋅ x
i i i i
Dyx
. A
i= 1 i= 1 i=
1
xy .
yx . = = =
2
D ⎛
N
⎞ A ⋅
2
x Ay
N ⋅∑xi
− ⎜ ∑xi
⎝ ⎟
i=
1 ⎠
Mit den Daten aus obiger Tabelle erhält man die Matrix
.
A
⎛2156.44 2324.68⎞
= ⎜
⎝ 2761.61 ⎟
⎠
und damit
b yx .
2324.68
= = 1.078.
2156.44

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
267
b 0 kann man wie folgt berechnen:
b0 = y − byx
. ⋅ x = 35.87 −1.078 ⋅ 58.46 = −27.15
.
Damit lautet die Prozessgleichung für die Länge des Bremsweges in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit
yˆ =− 27.15 + 1.078 ⋅x.
Für den Korrelationskoeffizienten erhält man den Wert
r xy
2324.68
= = 0.952.
2156.44 ⋅ 2761.61
Zur Prüfung der Hypothese, ob der Bremsweg unabhängig von der gefahrenen Geschwindigkeit
ist, muss der t-Test berechnet werden. Man erhält
0.95
tˆ = 8 = 8.6.
2
1−
0.95
Der Tafelwert t α, FG für die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 und 8 FG ist 1.859, d. h.
die aufgestellte Hypothese der Unabhängigkeit muss verworfen werden. Die Länge des
Bremsweges ist abhängig von der gefahrenen Geschwindigkeit.
Die Stichprobenvarianz der einzelnen Messwerte um die Prozessgleichung, d. h. die Restvarianz
kann man wie folgt berechnen:
2
N
= ⋅ ∑ − 2 N
1
−
= 1
/ ⋅ ∑ − 0 − . ⋅ 2
y x i
ˆi i y x
N 2
i= 1
N − 2
i=
1
s ( y y ) ( y b b x ) .
Diese Art der Berechnung ist sehr aufwendig. Daher rechnet man die obige Formel um
und erhält
2 2 2
Y / x y y/
x
s = s ⋅(1 − r ),
wobei r Y/x der einfache Korrelationskoeffizient zwischen der Produktvariable Y und der
Prozessvariable x ist. Nach dieser Formel erhält man die bedingte Stichprobenvarianz
s 2 Y/x = 2.99 bzw. die bedingte Standardabweichung s Y/x = 1.73.
5.11.1.2 Multivariates, multiples lineares Modell mit determinierten Input- und
Prozessvariablen; Y ist ein zufälliger Vektor
Anstelle der einen Produk tvariablen Y müssen wir dem Vektor der m, m ≥ 1 nicht unabhängigen
Produktvariablen Y T = (Y 1 , …, Y m ) betrachten. Mit den Abkürzungen
⎛Y
⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
Y = ⎜… ⎟ = ⎜ … ⎟ = … ∈ = ⎜ … ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝Y
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
lautet dieses Modell
T
1 βY1.1 … β β
Y1. n Y1.
x
εY1
⎜ ⎟
m×
n
, ΒYx
.
⎜ ⎟ Μ und ε
T
m βYm.1 … β ⎜ ⎟
Ym.
n β
ε
⎝
Ym
Ym.
x ⎠
Y
T
Yx .
= Β ⋅ x + ε

268 5 Qualität in der Fertigung
wobei
Y ~ N m (Β T Y.x x, Σ εε )
ε ~ N m (0, Σ εε ),
Σ
εε
2
⎛ var( ε1) … cov( ε1, εm)
⎞ ⎛ σ1 … σ ⎞
1m
⎜
⎟
= ⎜
…
⎟ = ⎜
… .
⎜
⎟
⎟
⎝cov( ε , ε ) … var( ε ) ⎠ ⎜
⎝σ σ ⎟
⎠
2
m 1 m m1
… m
Y und ε sind unabhängig voneinander. In diesem Modell sind die Modellparameter Β Y.x und
Σ εε unbekannt und müssen mit den Werten einer Stichprobe geschätzt werden.
Das statistische Modell ist gegeben durch
wobei gilt
Y = Β T Y.x x + ε,
⎛Y11 … Y1 N ⎞ ⎛ x11 … x1n
⎞
Y = ⎜ … ⎟, x = ⎜ … ⎟ die Stichprobe und
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝Ym1 … YmN ⎠ ⎝xN1
… xNn⎠
⎛ ε11 … ε1N
⎞
ε = ⎜ … ⎟
⎜ ⎟
⎝η
… ε ⎠
m1
In diesem Modell ist
mN
Y ~ N N (Β Y.x T x, Σ YY ⊗ I N ),
wobei ⊗ das Kronecker Produkt der beiden Matrizen Σ YY und I N bezeichnet. Dieses Produkt
ist in diesem Spezialfall
Σ
YY
⎛ΣYY
0 … 0 ⎞
⎜ 0 Σ
⎟
YY … 0
⊗ IN
= ⎜
⎟
⎜ …
⎟
⎜
⎝ 0 0 … Σ ⎟
⎠
YY
eine Block-Diagonalmatrix, die N mal die Kovarianzmatrix der Produktvariable Y enthält.
5.11.2 Lineare Modelle mit stochastischen Input- und Prozessvariablen
Diese Modelle haben formal das selbe Aussehen wie die Modelle mit determinierten Inputund
Prozessvariablen. Trotzdem unterscheiden sich die Modelle wesentlich, vorallem bzgl. der
Verteilungen für die Schätz- und Teststatistiken.
Warum müssen wir Modelle mit stochastischen Input- und Prozessvariablen betrachten?
Sehr häufig ist die Voraussetzung, dass die Input- und Prozessvariablen feste Einstellgrößen
sind, in der Praxis verletzt. Betrachtet man z. B. die Prozessvariable Temperatur bei der Her-

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
269
stellung von Hochbrand Porzellan, dann wird diese zwar auf 1400 °C eingestellt, aber an den
verschiedenen Stellen des Ofens und damit für verschiedene Teile des zu brennenden Gutes
im Ofen sind die Temperaturen zufällig unterschiedlich. Der fest eingestellte Parameter wirkt
somit auf das Produkt stochastisch. Daraus folgt, dass neben den bisher genannten Modellen
die Modelle mit stochastischen Input- und Prozessvariablen betrachtet werden müssen.
Es gibt einen weiteren Grund für die Verwendung dieses Modells. Die Inputvariablen sind
Produktvariable eines Vorläuferprozesses und damit natürlich stochastisch.
5.11.2.1 Wie sieht das multiple lineare Modell mit stochastischen Input- und
Prozessvariablen aus und wodurch unterscheidet es sich von dem Modell
mit festen Input- und Prozessvariablen?
Die Ableitung des Modells für diesen praktisch relevanten Fall basiert auf der gemeinsamen,
multivariaten Verteilung für die Input- (Z 1 , …, Z l ), Prozess- (X 1 , …, X n ) und Produktvariablen
(Y 1 , …, Y m ). Im univariaten, multiplen, linearen Modell wird nur eine Produktvariable Y
betrachtet. X und Z können Vektoren von Input- und Prozessvariablen sein.
Wir wollen hier annehmen, dass die gemeinsame Verteilung des Vektors
(Z T , X T , Y) = (X T , Y) ~ N n + 1 (µ, Σ),
wobei die Input- und Prozessvariablen der Einfachheit halber zu dem Vektor X zusammengefasst
werden und Σ als positiv definit vorausgesetzt wird. Mit der Zerlegung des zufälligen
Vektors (Y, X T ) in den Teilvektor der Input- und Prozessvariablen X, d. h. die Ursachen und
die Wirkung Y, erhält man für die Momente µ T = (µ Y , µ T X ) und
⎛
2 T
σ ⎞
Y σY.
X
Σ = ⎜ ⎟
⎝ Σ ⎠
XX
den bedingten Erwartungswert
T −1
T
Y Y. X XX X 0 Y / X
EY [ / X] = μ + σ Σ ( X− μ ) = β + β X
und die bedingte Varianz
2 T −1
Y Y. X XX Y.
X
var[ Y/ X] = σ − σ Σ σ .
In diesen Formeln haben die ei nzelnen Symbole die folgenden Bedeutungen:
σ 2 Y
ist die Varianz der Produktvariablen Y,
σ Y.X ist der Vektor der Kovarianzen zwischen der Produktvariablen und dem Vektor der Inputund
Prozessvariablen X und
Σ XX ist die Kovarianzmatrix für die Input- und Prozessvariable.
Der bedingte Erwartungswert wird auch Regressionsfunktion genannt. Sie sehen erstens den
Unterschied zur Regressionsanalyse mit festen Input- und Prozessvariablen und zweitens die
Möglichkeit der anderen Darstellung in Form der Prozessgleichung
Y = β 0 + β Y/X X + F Y/X ,
wobei β Y/X = σ Y.X Σ –1
YY , β 0 = µ Y – β Y/X µ X und F Y/X = Y – E [Y/X] ~ N 1 (0, σ2 Y/X ) ist der normalverteilte
Anpassungsfehler. Y und F Y/X sind unabhängig voneinander.

270 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.11.2: Bremsweg. Prozessgleichung mit mehreren Prozessvariablen
Neben der Produktvariable Y werden die Prozessvariablen
X 1 = Geschwindigkeit [km/h]
X 2 = Profiltiefe [mm]
X 3 = Reaktionszeit [sec]
betrachtet. Die Prozessvariablen sind Zufallsgrößen.
Die Kovarianzmatrix ist
⎛
2
σ ⎞
Y σY.1 σY.2 σY.3
⎜
2
⎟
⎜ σ ⎟ ⎛
2 T
x1 σx1. x2 σx1. x3 σ ⎞
Y σY.
X
Σ = ⎜ ⎟
=
2 ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜
σx 2 σx 2. x 3
Σ
⎟
XX
⎜
⎝
σ ⎟
⎠
.
2
x 2
Das Modell lautet
Y = β 0 + β Y.1/2, 3 X 1 + β Y.2/1, 3 X 2 + β Y.3/1, 2 X 3
und
var[Y/X] = σ 2 Y/X = σ2 Y – σT Y.X Σ–1 XX σ Y.X ,
wobei
β0 = β T
Y / X ( μY−
μX)
und
T T −1
Y / X=
Y.
X XX
β σ Σ
2
/
bedeuten. Die beiden Modellparameter σ Y X und β Y / X sind unbekannt und müssen mit
einer Stichprobe geschätzt werden.
Die Unterschiede zum Modell mit festen Input- und Prozessvariablen bestehen hauptsächlich
darin, dass
•
•
•
die Modellparameter im Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen die Parameter
einer bedingten Verteilung sind,
in den Verteilungen der Schätzungen für die unbekannten Modellparameter und
in den Verteilungen der Teststatistiken.
Was ist das Maß der Beherrschbarkeit?
Das Quadrat des multiplen Korrelationskoeffizienten ρ 2 Y/X zwischen Y und der linearen Prozessgleichung
wird Maß der Beherrschbarkeit des Prozesses genannt, denn dieses Maß gibt an, wie
gut die Varianz der Produktvariablen Y durch die Input- und Prozessvariablen erklärt wird.
Der Sprachgebrauch „Maß der Beherrschbarkeit“ wird durch die Beziehung
2 2 2
σ = σ ⋅(1 − ρ )
Y / X Y Y / X
deutlich, in der σ 2 Y die Varianz von Y und ρ2 Y/X den multiplen Korrelationskoeffizienten zwischen
Y und der Prozessgleichung bezeichnen. Man kann von der bedingten Varianz ausgehen und
daraus das Maß der Beherrschbarkeit über die Beziehung

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
271
ρ
2 T −1
T
2 σY / X σY. X⋅ΣXX⋅σY.
X βY / X⋅ΣXX⋅βY / X
Y / X= 1 − = =
2 2 2
σY σY σY
ausrechnen.
Sind Y und X unabhängig voneinander, dann ist ρ 2 Y/X = 0 und daraus folgt σ2 Y/X = σ2 Y , d. h. der
Vektor der Input- und Prozessvariable trägt nicht zur Erklärung der Varianz der Produktvariablen
bei.
Sind Y und X mit Wahrscheinlichkeit 1 voneinander linear abhängig, dann ist ρ 2 Y/X = 1 und
somit ist σ 2 Y/X = 0, d. h. alle Punkte Ŷ liegen auf der Ausgleichshyperebene. Die bedingte Varianz
der Produktvariablen unter der Wirkung der Input- und Prozessvariablen ist null, d. h.
die Varianz von Y wird durch die Input- und Prozessvariablen vollständig erklärt.
Beispiel 5.11.3: Bremsweg. Mehrere Prozessvariable
Der Prozess ist das Bremsen eines PKW’s vor einem plötzlich auftauchenden Hindernis.
Die Produktvariable Y ist der Bremsweg in [m]. Die Prozessvariablen sind
X 1 = Geschwindigkeit in [km/h],
X 2 = Gewicht des PKW [kg] und
X 3 = Profiltiefe des Reifens in [mm].
Ein PKW vom selben Typ wurde von ein und denselben Fahrer auf ein und derselben Strasse
unter den gleichen Wetterbedingungen mit verschiedenen Reifen auf unterschiedliche
Geschwindigkeiten beschleunigt und vor dem Hindernis abgebremst. Die Daten dieses
Versuches sind im Internet unter dem Namen 05.11.3 Bremsweg enthalten.
Die statistischen Maßzahlen sind in der Tabelle 5.11.3 enthalten.
Tabelle 5.11.3: Statistische Maßzahlen
Statistische Maßzahlen Y X 1 X 2 X 3
Mittelwert 25,907 49,862 1440,23 3,549
Standardabweichung 0,832 3,276 168,0 0,496
Minimum 23,98 42,60 1040,4 2,165
Maximum 28,11 57,45 1832,8 5,18
Die statistischen Maßzahlen sagen nichts aus über die Abhängigkeitsstruktur zwischen den
Variablen. Man kann aus ihnen nicht ablesen, ob die Vergrößerung der Geschwindigkeit
des PKW zu einem längeren Bremsweg führt.
Um das ablesen zu können müssen wir zunächst die Korrelationsmatrix für diese Variablen
berechnen. Die Werrte stehen in der Tabelle 5.11.4.
Tabelle 5.11.4: Korrelationsmatrix
Korr.Matrix Y X 1 X 2 X 3
Y 1 0,828 0,748 –0,677
X 1 1 0,425 –0,275
X 2 1 –0,437
X 3 1

272 5 Qualität in der Fertigung
Die Korrelationsmatrix sagt uns, dass die Länge des Bremsweges und die Geschwindigkeit
hoch miteinander korreliert sind. Die Länge des Bremsweges hängt aber außerdem von
dem Gewicht und der Profiltiefe ab, wobei die Länge des Bremsweges und die Profiltiefe
negativ korreliert sind, d. h. je tiefer die Profile sind, desto kürzer ist der Bremsweg, oder
anders ausgedrückt, je abgefahrener die Reifen sind, desto länger wird der Bremsweg.
Die Korrelationskoeffizienten zwischen allen möglichen Paaren von Variablen unter den
Bedingungen, dass alle anderen Variablen konstant gehalten werden, sind in der Tabelle
5.11.5 enthalten.
Tabelle 5.11.5: Matrix der partiellen Korrelationskoeffizienten
Part.Korr.Matrix Y X 1 X 2 X 3
Y 0,976 0,926 –0,943
X 1 –0,875 0,913
X 2 0,827
X 3
Der partielle Korrelationskoeffizient
r Y.1/2, 3 = 0,976
zwischen der Länge des Bremsweges Y und der Geschwindigkeit X 1 unter der Bedingung,
dass sowohl das Gewicht X 2 als auch die Profiltiefe X 3 konstant gehalten werden, ist größer als
der ursprüngliche einfache Korrelationskoeffizient. Der partielle Korrelationskoeffizient
r 1.2/X, 3 = –0,875
zwischen X 1 und X 2 unter der Bedingung Y und X 3 wird sogar negativ. Das zeigt, dass die
Variablen sehr stark voneinander abhängen. Die partiellen Korrelationskoeffizienten für
die Produktvariable Y mit allen Prozessvariablen liefert eine Rangfolge für den Einfluss der
Prozessvariablen auf die Produktvariable. Den stärksten Einfluss hat die Prozessvariable X 1 ,
gefolgt von der Prozessvariablen X 3 und X 2 . Da alle diese partiellen Korrelationskoeffizienten
groß sind, folgt, dass alle Prozessvariablen einen starken Einfluss auf die Produktvariable
Y haben.
Die Determinante der Korrelationsmatrix R als globales Maß für die Abhängigkeitsstruktur
besitzt den Wert det(R) = 0,00885. Die Kleinheit dieses Wertes zeigt die Straffheit der
Abhängigkeitsstruktur.
Der Grad der Multikollinearität ist der Kehrwert der Determinante der Korrelationsmatrix
nur für die Prozessvariablen. Die Determinante det(R XX ) = 0,655 ist erfreulich groß, d. h.
die Schätzungen für die Koeffizienten der Prozessgleichung werden nicht wesentlich durch
den Grad der Multikollinearität beeinflusst.
Die Folge der Prozessgleichungen für die Produktvariable, in der Tabelle 5.11.6 zusammengestellt,
nacheinander für die Abhängigkeit nur von X 1 , dann in Abhängigkeit von X 1
und X 2 und dann von X 1 , X 2 und X 3 zeigen , dass die multiplen Korrelationskoeffizienten
für die Produktvariable Y in Abhängigkeit von den Prozessvariablen mit zunehmender
Information durch die größer werdende Anzahl von Prozessvariablen größer werden und
die bedingten Standardabweichungen die gegensätzliche Tendenz aufweisen.

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
273
Tabelle 5.11.6: Folge der Prozessgleichungen für die zunehmende Anzahl von Prozessvariablen
Absolutglied
X 1 X 2 X 3 R 2 Y/X S Y/X F-Wert
Koeffizienten 15,41 0,2105 – – 0,6861 0,4683 292,9
t-Test 25,07 17,11
Koeffizienten 14,56 0,1583 0,0024 – 0,8774 0,2938 475,9
t-Test 37,3 18,6 14,4
Koeffizienten 18,30 0,1481 0,0017 –0,6198 0,9865 0,09788 3213
t-Test 105,7 51,84 28,2 32,6
Betrachten wir die Prozessgleichung für Y in Abhängigkeit von X 1 allein, dann ist das
Maß der Beherrschbarkeit 0,686 und die bedingte Standardabweichung ist s Y/X = 0,468.
Betrachten wir Y in Abhängigkeit von X 1 , X 2 und X 3 dann ist das Maß der Beherrschbarkeit
R 2 Y/X = 0,986 und die bedingte Standardabweichung ist s Y/X = 0,09788.
Für die Prozessgleichungen in der Anwendung bedeutet die Anforderung, dass das Maß
der Beherrschbarkeit größer als 0,9 sein soll keine Utopie, sondern lediglich die verschärfte
Suche nach Input- und Prozessvariablen, die einen Einfluss auf den oder die Produktvariablen
haben.
Als Prozessverbesserung definierten wir
•
•
die Reduktion der Variabilität der Produktvariablen und
die Steuerung des Prozesses mit der Prozessgleichung, so dass simultan alle relevanten
Kundenanforderungen erfüllt werden.
Diese beiden Anliegen werden durch die Abbildung 5.11.2 und Abbildung 5.11.3 verdeutlicht.
28
27
26
Y
25
24
24.5 25.0 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5
Fitted : X1
Abb. 5.11.2: Streuung der Messwerte für Y um die Prozessgleichung mit einer Prozessvariablen

274 5 Qualität in der Fertigung
28
27
26
Y
25
24
24 25 26 27 28
Fitted : X1 + X2 + X3
Abb. 5.11.3: Messwerte für Y um die Prozessgleichung mit drei Prozessvariablen
Diese beiden Abbildungen zeigen deutlich, dass sich die Suche nach der erschöpfenden
Anzahl von Input- und Prozessvariablen lohnt.
5.11.2.2 Das multivariate, multiple, lineare Modell mit stochastischen Input- und
Prozessvariablen
Jedes Produkt wird durch m, m ≥ 1 nicht unabhängige Produktvariablen beschrieben. Folglich
benötigen wir ein Modell, in dem Y ein Vektor von Produktvariablen ist, der durch Linearkombinationen
in den Input- und Prozessvariablen erklärt werden soll. In diesem Fall betrachten
wir die Zerlegung der Kovarianzmatrix
⎛ΣYY
ΣYX
⎞
Σ = ⎜
⎝Σ
Σ ⎟
⎠
XY
und damit das Modell
XX
Y = β 0 + β T Y/X X + F Y/X ,
wobei
F Y/X ~ N (0, Σ YY/X ) der Vektor der Fehler, β T Y/X = Σ YX Σ–1 XX die Matrix der unbekannten Koeffizienten
des Systems der Prozessgleichungen und
F Y/X = Y – β T Y/X X ~ Σ YY/X
ist. Die bedingte Kovarianzmatrix Σ YY/X wird nach der Beziehung
berechnet.
−1
YY / X = YX ⋅ XX ⋅ XY
Σ Σ Σ Σ

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
275
Beispiel 5.11.4: Multivariates multiples Modell mit zwei Produkt- und zwei
stochastischen Prozessvariablen. Bedingte Kovarianz und bedingte Erwartungswerte
Für zwei Produkt- und zwei Input- und Prozessvariablen soll das multivariate multiple
lineare Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen ausführlich aufgeschrieben
werden. Mit der Zerlegung der Kovarianzmatrix in die Elemente
⎛
2
σ ⎞
Y σ
1 Y1Y σ
2 Y1.1 σY
1.2
⎜
⎟
2
⎛ΣYY ΣYx ⎞ ⎜ σY σ ⎟
2 Y2.1 σY
2.2
Σ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ Σ XX ⎠
2
⎜
σ1 σ12
⎟
⎜
2 ⎟
⎝
σ ⎠
erhalten wir die Matrix der bedingten Erwartungswerte und die bedingte Kovarianzmatrix
2
und
−1
Y. X XX X Y / X X
E [ Y/ X] = Σ Σ ( X − μ ) = : Β ( X − μ )
−1
. . /
var( Y/ X) = ΣYY − ΣY X ΣXX ΣX Y = ΣYY X
Schreiben wir diese Ausdrücke ausführlich auf, dann erhalten wir
2
⎛σY
1.1 σY
1.2 ⎞ 1 ⎛ σ2 −σ ⎞
12 ⎛X1 − μ1⎞
E [ Y/ X]
= ⎜ 2 2 2
σ 2
Y2.1 σ
⎟ ⎜
⎟ ⋅
Y2.2 σ1 σ2 (1 ρ12)
⎜X
12 1 2 μ ⎟
⎝ ⎠ ⋅ − ⎝−σ σ ⎠ ⎝ − 2 ⎠
⎛
2 2
σY 1.1 σ2 − σY 1.2σ12 − σY 1.2σ12 + σ1 σ ⎞
Y1.2
⎜ 2 2 2 2 2 2 ⎟
σ1 ⋅σ2 (1 − ρ12) σ1 ⋅σ2 (1 − ρ12)
=
⎜ ⎟ ⎛X1 − μ1⎞
⋅
⎜ 2 2 2
σY 2.1 σ2 − σY 2.1 σ2 σY 2.2σ1 − σY
2.1 σ
⎟ ⎜
⎝X
12
2 − μ ⎟
2⎠
⎜ 2 2 2
2 2 2
⎝ σ1 ⋅σ2 (1 − ρ12)
σ1 ⋅σ2 (1 − ρ12)
⎟
⎠
⎛βY
1.1/ 2 βY
1.2 /1 ⎞ ⎛X1 − μ1⎞
= ⎜
βY
.1/ 2 β
⎟ ⋅ ⎜
Y .2 /1 X2 μ ⎟
⎝
⎠ ⎝ − 2 ⎠
2 2
Formt man einen Regressionskoeffizienten, z. B. den ersten aus der Matrix der Regressionskoeffizienten
unter Verwendung der Korrelationskoeffizienten um, dann erhält man
β
2
ρY −
1.1 σY σ
1 2 ρY 1.2 σY σ
1 2 ρ12 σ1 σ2 ρY 1.1/2
σY
1
= =
σ ⋅σ (1 − ρ ) σ ⋅(1 − ρ )
Y1
.1/2 2 2 2 2
1 2 12 1 12
einen Quotienten mit dem partiellen Korrelationskoeffizienten im Zähler. Hieraus erklärt
sich der Sprachgebrauch partieller Regressionskoeffizient. Ähnliche Umformungen der
bedingten Kovarianzmatrix liefern
⎛
2
σ
⎞
Y1 / X σY 1Y2
/ X
var( Y/ X) = .
⎜
2
⎝ σ /
⎟
Y X ⎠
2

276 5 Qualität in der Fertigung
Gibt es auch für das multivariate multiple Modell ein Maß der Beherrschbarkeit?
Ja, für das multivariate multiple Modell zur Berechnung des Systems der Prozessgleichungen
benötigen wir ein verallgemeinertes Maß der Beherrschbarkeit. Diese i st der multivariate,
multiple Korrelationskoeffizient
wobei
2
ΣYY
/ X
τY
/ X= 1 − ,
Σ
Σ
und
Σ
YY
YY / X
YY
die Determinanten der bedingten bzw. unbedingten Kovarianzmatrix der Produktvariable
sind. Dieser Koeffizient ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen dem Vektor der
Produktvariablen und dem System der Prozessgleichungen.
Beispiel 5.11.5: Multivariates multiples Modell mit zwei Produkt- und zwei
stochastischen Prozessvariablen. Multivariater multipler Korrelationskoeffizient
Für das Beispiel 16 kann man den multivariaten, multiplen Korrelationskoeffizienten
umformen. Man erhält:
τ
2
σY σ
1 Y1Y2/
X
2
Y / X= 1− 2 2 2 2
Σ
σ
/
YY −
1 2/ X σ
YY X
Y2/ X σY 1/ X σY 2/ X σY 1Y2/
X
= 1− = 1−
Σ
2
YY σ
2 2 −
Y σ
1 Y1Y
σ
2
Y σ
1 Y σ
2 Y1Y2
2
σY
2
2 2
(1 − ρY −
1/ X) (1 ρY 1Y2/
X)
= 1 −
2
(1 − ρ )
YY 1 2
Für m = 1 ist τ 2 Y/X gleich ρ2 Y/X .
τ 2 Y/X gibt also auch an, wie gut die verallgemeinerte Varianz des Vektors der Produktvariable
durch die Kovarianzmatrix der Input- und Prozessvariable erklärt wird.
5.11.3 Statistische Modelle mit stochastischen Input- und
Prozessvariablen
Die statist ischen Modelle sehen sehr ähnlich wie die theoretischen Modelle aus. Der Unterschied
besteht darin, dass anstelle der Zufallsgrößen zufällige Stichprobenvektoren, anstelle der
zufälligen Vektoren zufällige Stichprobenmatrizen stehen und anstelle der Modellparameter
die statistischen Schätzungen stehen.
Aus den verschiedenen Modellen erkennt man, dass das lineare Modell mit festen Input- und
Prozessvariablen das bedingte Modell des entsprechenden Modells mit stochastischen Inputund
Prozessvariablen ist. Diese Feststellung ist bedeutsam für die Ableitung der Schätzfunktionen.

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
277
Welche Ziele können mit den linearen Modellen erreicht we rden?
Das statistische lineare Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen liefert uns
• die notwendige Prozessgleichung. Damit können die Produktvariablen zielgerichtet über
die Input- und Prozessvariablen so gesteuert werden, dass
–
–
simultan alle Kundenanforderungen erfüll und
die Varianzen der Produktvariablen reduziert werden können.
• An die Stelle der Streuung der Produktvariablen tritt die bedingten Streuung der Produktvariablen
unter der Bedingung, dass die Input- und Prozessvariablen realisiert sind, d. h.
als Messwerte vorliegen.
Die Bedeutung dieses zweiten Faktes zeigt uns noch einmal die Abbildung 5.11.4. Diese Bedingung
ist Ausdruck der Wirkungsweise des Ursache-Wirkungs-Prinzipes und bezieht die
Informationsmenge ein, die durch die Wirkung der Input- und Prozessvariablen gegeben ist.
Die bedingte Varianz σ 2 Y/X ist stets kleiner oder gleich der unbedingten Varianz σ2 Y für die
Produktvariable Y. Das folgt sofort aus der Formel
2 2 2
Y / x Y Y / x
σ = σ ⋅(1 − Ρ )
in der P 2 Y/x der multiple Korrelationskoeffizient zwischen einer Produktvariablen Y und der
Prozessgleichung ist.
Produktvariable Y
obere Toleranz
Sollwert
untere Toleranz
Prozessvariable X
Abb. 5.11.4: Vergleich der Breiten der Verteilung der Produktvariablen Y und der bedingten Verteilung
von Y unter X

278 5 Qualität in der Fertigung
5.11.4 Wie kann man die Schätzungen für die unbekannten
Modellparameter für die Modelle mit stochastischen Input- und
Prozessvariablen gewinnen?
Das Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen wurde aus der gemeinsamen multivariaten
Verteilung für die Produkt-, Prozess- und Inputvariablen abgeleitet. Zu diesem Zweck
haben wir angenommen, dass der Vektor mit allen Komponenten multivariat normalverteilt
ist, oder zur Klasse der elliptisch umrissenen Verteilungen gehört. Das bedeutet aber, dass die
analytische Form der Verteilungsdichte bekannt ist. Andererseits haben wir immer wieder darauf
hingewiesen, dass die unbekannten Modellparameter nur mit Hilfe einer Stichprobe geschätzt
werden können. Eine Stichprobe besteht aus N unabhängigen „Beobachtungsvektoren“ für den
Vektor der Produkt-, Prozess- und Inputvariablen.
Damit können wir die sogenannte Likelihood Funktion als Produkt der Verteilungsdichten
N
2 2
Y / X Y / X = ∏ i i Y / X Y / X
i=
1
L( β , σ ) f [( y , x ); β , σ ]
an den Stellen der Beobachtungsvektoren aufschreiben und diesen Ausdruck mit den bekannten
Werten für die Input-, Prozess- und Produktvariablen als Funktion der unbekannten Modellparameter
auffassen. Die Maximierung der Likelihood Funktion liefert Schätzungen für die
unbekannten Modellparameter.
Auch das ist ein heuristisches Prinzip. Es liefert aber praktisch vernünftige Schätzfunktionen
für die unbekannten Modellparameter.
Wir haben die Stichprobe
⎛ X11 … X1n
Y11 … Y1
m ⎞
⎜ X ⎟
21 … X2n
Y21 … Y2m
⎜
⎟
⎜ …
…
⎟
( XY , ) = ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜XN−1.1 … XN−1. n YN−1.1 … YN−1.
m⎟
⎜
⎟
⎝ X … X Y … Y ⎠
N1 Nn N1
Nm
für den multivariaten, multiplen Fall. Die Maximum Likelihood Methode liefert uns die
Schätzfunktionen
⎛
( X , Y )
X Y
N
N
T T 1 T 1 T
= ⎜ ⋅∑
i ⋅∑
i
⎝N
i= 1
N
i=
1
für den Mitt elwertvektor. Für die Schätzfunktion gilt
⎛X
⎞ ⎡⎛μ ⎞ ⎛ ⎞⎤
X 1 ΣXX ΣXY
⎜ ⎟ ∼ Nn+
m⎢⎜ ⎟,
⋅ ⎜ ⎟⎥
⎝Y
⎠ ⎢⎝μ
⎠ N ⎝ Σ ⎠
⎣ Y
YY ⎥⎦
Außerdem erhalten wir die Schätzfunktion
N
∑
A = ( V − V) ( V − V),
i= 1
i
T
i
⎞
⎟
⎠

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
279
für die Kovarianzmatrix, wobei wir der Einfachheit halber die Input-, Prozess- und Produktvariablen
in V zusammengefasst haben. Die Schätzfunktion A für die Kovarianzmatrix ist Wishart
verteilt, mit N – 1 FG und dem Verteilungsparameter Σ. Hierfür schreiben wir abkürzend
A ~ W n + m (N – 1, Σ).
Die Schätzfunktionen für den Vektor der Erwartungswerte und die Kovarianzmatrix sind
unabhängig voneinander. Die Stichprobenmatrix A wird analog zu Σ in
⎛
2 T
A ⎞
Y AY.
X
A = ⎜ ⎟
⎝ A ⎠
XX
zerlegt.
Mit diesen Größen können wir die Schätzfunktionen für die unbekannten Koeffizienten in den
Prozessgleichungen und die unbekannten bedingten Varianzen (Restvarianzen) aufschreiben.
Wir erhalten
B
T −1
Y/X = Axx
⋅ AY . x
B
T
0 = Y − BY/X
x
1 −1
1 T
1
SYY / X = ( AYY − AYX ⋅AXX ⋅ AXY) = ( AYY
− BY/X ⋅AXX ⋅ BY / X) = ⋅AYY / X.
N N N
Am Beispiel des Plastikgehäuses für den Akku-Bohrschrauber wollen wir alle Schritte ausführlich
demonstrieren.
Beispiel 5.11.6: Akkubohrschrauber. Statistische Prozessanalysen
Das Problem
Bei der M ontage des Akku-Bohrschraubers treten Probleme auf. Diese wurden erstmals
bei der Durchführung einer Montagezeitstudie mit MOST (Maynards Operation Sequence
Technique) deutlich. Als Ursachen hierfür wurden Qualitätsmängel an den Plastikschalen
für den Bohrschrauber erkannt. Einige Schalen ließen sich gut, andere weniger gut montieren.
Für das Plastikgehäuse eines Akku-Bohrschraubers in der Abbildung 5.11.1 wurde
daraufhin ein Produktaudit durchgeführt. Die Daten für die Prozess- und Produktvariablen
sind in der Datei 05.11.6 Akkubohrschrauber im Internet enthalten.
Zu diesem Zweck werden das Plastikschalen durch die Produktvariablen
Y 1 = Thermoschrumpf in [%]
Y 2 = Abweichung in axialer Richtung [mm]
Y 3 = Abweichung von der Parallelität [mm]
Y 4 = Dicke [mm]
parametrisiert. Das ist eine Auswahl und diese erhebt nicht den Anspruch auf Vollständigkeit.
Die gegebenen Toleranzen der Tabelle 5.2.1 wurden mit der statistischen Tolerierung überprüft.
Die statistischen Toleranzen sind in der Tabelle 5.2.4 zusammengestellt.

280 5 Qualität in der Fertigung
Abb. 5.11.5: Akku-Bohrschrauber
Problemdefinition
Das Problem wird mit den uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes aus dem Abschnitt
5.2. definiert. Es gilt MC pk = 0,73 mit den berechneten statistischen Toleranzen. Da
dieser Wert kleiner als eins ist, muss der Prozess verbessert werden.
Problemlösung
Die Verbesserung der Produktqualität ist nur durch die Steuerung des Herstellungsprozesses
mit einer Prozessgleichung möglich. Daher müssen wir eine umfassende statistische
Prozessanalyse durchführen, die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen und
die Prozessgleichungen für die Produktvariablen berechnen.
Statistische Prozessanalyse
Der Herstellungsprozess für die Plastikgehäuse wird durch die Input- und Prozessvariablen
X 1 = Friktion im Extruder (Reibungszahl µ, dimensionslos)
X 2 = Heiztemperatur [°C]
X 3 = Masse – Volumen – Index (mvi)
X 4 = Dichte
X 5 = Massetemperatur [°C]
beschrieben. Auch das ist nur eine Auswahl.
Modellierung
Das multivariate multiple lineare Modell hat das Aussehen
Y 1 = β 0.1 + β Y1.1/2, 3, 4, 5 X 1 + β Y1.2/1, 3, 4, 5 X 2 + β Y1.3/1, 2, 4, 5 X 3 + β Y1.4/1, 2, 3, 5 X 4 + β Y1.5/1, 2, 3, 4 X 5
Y 2 = β 0.2 + β Y2.1/2, 3, 4, 5 X 1 + β Y2.2/1, 3, 4, 5 X 2 + β Y2.3/1, 2, 4, 5 X 3 + β Y2.4/1, 2, 3, 5 X 4 + β Y2.5/1, 2, 3, 4 X 5
Y 3 = β 0.3 + β Y3.1/2, 3, 4, 5 X 1 + β Y3.2/1, 3, 4, 5 X 2 + β Y3.3/1, 2, 4, 5 X 3 + β Y3.4/1, 2, 3, 5 X 4 + β Y3.5/1, 2, 3, 4 X 5
Y 4 = β 0.4 + β Y4.1/2, 3, 4, 5 X 1 + β Y4.2/1, 3, 4, 5 X 2 + β Y4.3/1, 2, 4, 5 X 3 + β Y4.4/1, 2, 3, 5 X 4 + β Y4.5/1, 2, 3, 4 X 5 .

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
281
Die Matrix der Prozessgleichungskoeffizienten wurde nach der Beziehung
−1
Y / X=
Y.
X XX
Β Σ Σ
erhalten, wobei diese Matrizen aus der Zerlegung
⎛σ σ σ σ σ σ σ σ σ
⎜ σ σ σ σ σ σ σ σ
⎜
⎜
σ σ σ σ σ σ σ
⎜
σ σ σ σ σ σ
⎛ΣYY
ΣYX
⎞ ⎜
Σ = ⎜ ⎟ = ⎜
σ σ σ σ σ
⎝ Σ XX ⎠ ⎜
⎜
σX2X2
σX
σ σ
⎜
σ σ σ
⎜
⎜
σ σ
⎜
⎝
σ
Y1Y1 Y1Y2 Y1Y3 Y1Y4 Y1X1 Y1X2 Y1X3 Y1X4 Y1X5
Y2Y2 Y2Y3 Y2Y4 Y2X1 Y2X2 Y2X3 Y2X4 Y2X5
Y3Y3 Y3Y4 Y3X1 Y3X2 Y3X3 Y3X4 Y3X5
stammen. Die bedingte Kovarianzmatrix wird nach der Gleichung
−1
YY / X = YY − YY . X XX X.
YY
Σ Σ Σ Σ Σ
Y4Y4 Y4X1 Y4X2 Y4X3 Y4X4 Y4X5
X1X1 X1X2 X1X3 X1X4 X1X5
2X3 X2X4 X2X5
X3X3 X3X4 X3X5
X4X4 X4X5
X5X5
berechnet. In den linearen Modellen sind die Modellparameter B Y/X und Σ YY/X unbekannt.
Diese müssen aufgrund einer Stichprobe geschätzt werden.
Die Korrelationsmatrix hierfür ist
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Tabelle 5.11.7: Korrelationsmatrix für den Akku-Bohrschrauber
Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5
Y 1 1 0,036 –0,457 –0,102 –0,136 0,414 0,275 –0,41 0,224
Y 2 1 0,417 –0,042 –0,113 0,081 –0,332 0,108 –0,132
Y 3 1 0,355 –0,133 –0,151 –0,236 0,2 –0,285
Y 4 1 0,387 0,272 0,045 0,257 0,032
X 1 1 0,561 0,346 –0,108 0,319
X 2 1 0,447 –0,371 0,547
X 3 1 –0,878 0,838
X 4 1 –0,782
X 5 1
Diese Korrelationsmatrix entspricht der Zerlegung der Gesamtkorrelationsmatrix R in
die Blöcke
⎛RYY
RYX
⎞
R = ⎜
⎝R
R ⎟
⎠
XY
XX

282 5 Qualität in der Fertigung
R YY = Korrelationsmatrix der Produktvariablen,
R YX = Korrelationsmatrix zwischen den Produkt- und Prozessvariablen,
R XX = Korrelationsmatrix der Prozessvariablen.
Aus der Korrelationsmatrix R YY lesen wir ab, dass die Korrelationskoeffizienten der Produktvariablen
Y 1 mit Y 3 und der Produktvariablen Y 2 mit Y 3 statistisch gesichert von null
verschieden sind.
Aus der Matrix R YX lesen wir ab, dass X 2 mit Y 1 und X 4 mit Y 1 korreliert ist.
Aus R XX lesen wir ab, dass X 3 mit X 4 , X 3 mit X 5 und X 4 mit X 5 hoch korreliert sind und X 1
mit X 2 , X 2 mit X 3 , und X 2 mit X 5 korreliert sind. Die Größen der Korrelationskoeffizienten
entsprechen den Erwartungen der Experten.
Das globale Maß für die Abhängigkeitsstruktur des Plastikgehäuses ist
det(R) = 0.0007809236.
Dieser Wert ist sehr klein, d. h. die Abhängigkeitsstruktur ist eng.
Für später ist es notwendig zu wissen, ob die Produktvariablen, die Prozessvariablen oder
die Produkt- mit den Prozessvariablen stark miteinander korreliert sind. Zu diesem Zweck
berechnen wir die entsprechenden Determinanten der Korrelationsmatrizen. Es gilt
det(R YY ) = 0.4894116,
d. h. das globale Maß für die Straffheit der Abhängigkeitsstruktur der Produktvariablen ist
groß, d. h. die Produktvariablen hängen nur gering voneinander ab.
det(R XX ) = 0.02383498, d. h. die Prozessvariablen hängen stark voneinander ab.
Grafische Abbildungen für das Gehäusebeispiel:
Star Plots für die Produktvariablen in Abbildung 5.11.6
Ein Star Plot ist eine ideale Darstellung für einen multivariaten Datensatz, z. B. für ein Produkt,
aber auch für ein Produkt in Abhängigkeit von seinen Input- und Prozessvariablen.
Jeder Stern visualisiert z. B. ein Produkt.
Jeder Stern besteht aus einer Anzahl von Strahlen, die vom Mittelpunkt aus gezeichnet
werden. Jeder Strahl repräsentiert eine Variable. Auf jeden Strahl wir ein spezieller „Relativwert“
für den entsprechenden Wert der Variablen aufgetragen. Werden z. B. die Gehäuse
durch star plots visualisiert, dann entspricht der Strahl in der 3 00 Position der 1. Produktvariablen
Y 1 = Thermoschrumpf. Der 2. Strahl entgegen dem Uhrzeigersinn entspricht
der 2. Produktvariablen usw. Der kürzeste Strahl entspricht dem kleinsten Wert einer
Produktvariable, der größte dem größten.
Die Achsen der Star Plots sind in den Schlüssel der Abbildung 5.11.7 bezeichnet.
Die N = 113 Star Plots sind sehr verschieden. Betrachtet man z. B. die Stars für die Produkte
2 und 19, dann kann man sich kaum vorstellen, dass diese Produkte gleich sein sollen. Auf
diese Art findet man viele sehr Paare von verschiedenen Stars. Pauschal kann man sagen,
dass die Produkte, beschrieben durch die vier Produktvariablen hinsichtlich eines jeden
Parameters stark streuen.
Eine andere ganz wichtige Abbildung ist das Korrelationsdiagramm. Die Zusammenfassung
mehrerer Korrelationsdiagramme nennt man Draftsman Plots. Diese Darstellungen sind
sehr wichtig, da die paarweisen Abhängigkeit visualisiert werden.

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
283
111 112 113
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Abb. 5.11.6 : Star Plots für die Produktvariablen
AXIALITY
PARALLEL
THERMOSHR
THICKNESS
Abb. 5.11.7: Schlüssel für die Star Plots
Draftsman Plots
Die draftsman Plots (Abbildung 5.11.8) zeigen, dass die vier Produktvariablen nicht unabhängig
voneinander sind. Die stärkste Abhängigkeit finden wir zwischen den Produktvariablen
Parallelität und Thermoschrumpf. Diese Abhängigkeit ist negativ.
Jedes Korrelationsdiagramm wird durch einen Korrelationskoeffizienten quantifiziert.

284 5 Qualität in der Fertigung
AXIALITY
PARALLEL
THICKNESS
THERMOSHR
AXIALITY
PARALLEL
Abb. 5.11.8: Draftman Plots für die Produktvariable des Gehäuses
Häufigkeitsverteilungen
Eine Häufigkeitsverteilung ist die grafische Darstellung der Verteilung der Werte einer
Stichprobe für eine Variable. Diese Darstellung wird gern verwendet, um Hypothesen
bzgl. der Verteilung einer Variablen aufzustellen, sofern diese nicht durch irgendwelche
theoretischen Annahmen gefunden werden können. Die Häufigkeitsverteilungen liefern
des weiteren eine erste Information darüber, ob der Stichprobenumfang ausreichend ist
und ob die Anzahl der Klassen in Anhängigkeit davon klein genug gewählt wurde, über den
mittleren Wert, die Streuung und über mögliche Ausreißer. Die Häufigkeitsverteilungen
für das Gehäusebeispiel sind in der Abbildung 5.11.9 dargestellt.
40
Histogram for THERMOSHR
40
Histogram for AXIALITY
frequency
30
20
10
frequency
30
20
10
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
THERMOSHR
0
-0,7 -0,3 0,1 0,5 0,9
AXIALITY
frequency
40
30
20
10
Histogram for PARALLEL
frequency
40
30
20
10
Histogram for THICKNESS
0
-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5
PARALLEL
0
2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4
THICKNESS
Abb. 5.11.9: Häufigkeitsverteilungen für die Produktvariablen

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
285
Diese vier Häufigkeitsverteilungen zeigen, dass bzgl. aller vier Produktvariablen die Verteilungshypothese
H 0 : „die Produktvariable sind normalverteilt“ formuliert werden kann.
Die H 0 kann mit verschiedenen Tests geprüft werden.
Hier wurden der χ 2 -Test, der Test von Shapiro-Wilks (W) und der Kolmogorov-Smirnov-
Test (DN) angewandt.
Die berechneten Teststatistiken und Irrtumswahrscheinlichkeiten p dieser Anpassungstests
sind in der Tabelle 5.4.4 zusammen gefasst:
Tabelle 5.11.8: Ergebnisse der Anpassungstests
χ 2 p W p DN p
Thermoschrumpf 22.62 0.42 0.98 0.5 0.052 0.92
Axialität 27.92 0.18 0.98 0.716 0.042 0.985
Parallelität 13.76 0.909 0.983 0.668 0.0488 0.95
Dicke 13.32 0.923 0.981 0.565 0.038 0.996
Die Entscheidung über die Ablehnung oder Annahme der H 0 wird aufgrund der p-Werte
getroffen. Da der kleinste p-Wert > 0.1 ist, können die H 0 mit Wahrscheinlichkeiten, die
größer als 0.9 sind, nicht verworfen werden, d. h. die einzelnen Produktvariable sind, jeder
für sich betrachtet, normal verteilt.
3D Häufigkeitsverteilung
Die 3D (3 dimensionale) Häufigkeitsverteilung fasst die Informationen der Häufigkeitsverteilungen
für zwei Variable und des zugehörigen Korrelationsdiagramms zusammen.
Eine 3D-Häufigkeitsverteilung ist demzufolge eine Häufigkeitsverteilung über einem
Korrelationsdiagramm. In der Abbildung 5.11.10 ist die 3D Häufigkeitsverteilung für den
Thermoschrumpf und die Dicke enthalten.
Frequency
10
6
2
0
0
1
2
3
2.8
3
3.2
3.4
Dicke
Thermoschrumpf
Abb. 5.11.10: 3D Häufigkeitsverteilung für den Akku-Bohrschrauber

286 5 Qualität in der Fertigung
Man erkennt aus dieser Darstellung, dass die Werte in der Ebene mit den Achsen Thermoschrumpf
und Dicke in einem elliptisch umrissenen Gebiet liegen und das „Gebirge“
durch eine 2-dimensionale Normalverteilung angepasst werden kann. Man sieht aber auch,
dass man für eine 3D Häufigkeitsverteilung mehr als die vorliegenden N = 113 Wertesätze
benötigt, um ein klares Bild zu erhalten.
Stichprobenkovarianzmatrix
Die gesamte Stichprobenkovarianzmatrix für alle Variablen wurde in der Tabelle 5.11.9
zusammengestellt.
Tabelle 5.11.9: Stichprobenkovarianzmatrix für den Akku-Bohrschrauber
Thermo Axialit Parallel Dicke Friktion Heiztemp. MVI Dichte Massetemp.
Thermo 0,2249 0,00353 –0,10751 –0,00455 –0,0365 0,97655 0,4792 –0,005321 0,1211
Axialit 0,04206 0,04239 –0,000809 –0,01316 0,08313 –0,2507 0,000605 –0,0309
Parallel 0,24587 0,01653 –0,037465 –0,3723 –0,4309 0,002714 –0,16129
Dicke 0,00882 0,020592 0,12701 0,01546 0,000659 0,003443
Friktion 0,3215 1,584 0,72217 –0,001669 0,206865
Heiztemp. 24,7719 8,19388 –0,05056 3,10952
MVI 13,5408 –0,088371 3,523025
Dichte 0,0007485 –0,024429
Massetemp. 1,304455
Die Berechnung der Schätzungen für B Y/X und Σ YY/X nach den obigen Formeln ergeben
die Resultate:
B
⎛−0.38891 0.068 0.008913 −8.6534 −0.19371
⎞
⎜ 0.02941 0.009073 −0.07755 −6.3397 0.04074 ⎟
= ⋅ = ⎜
⎟
⎜ − 0.04865 0.004145 − 0.001863 − 0.93452 − 0.13828 ⎟
⎜
⎝ 0.003045 0.0050539 0.02557 4.29743 0.001544⎟
⎠
T −1
Y/X Axx
AY . x
T
B0 = (29.022 1.602 22.272 − 3.927)
und
S
YY / X
⎛0.117493 −0.005757 −0.100668 0.001048 ⎞
⎜
0.027342 0.037235 0.00267 ⎟
= ⎜
⎟
⎜ 0.22503 0.018135 ⎟
⎜
⎝
0.00488349⎟
⎠
Aus diesen Ergebnissen kann man die Prozessgleichungen für die verschiedenen Produktvariablen
zusammenstellen, so z. B. für Y 1 :
Y 1 = 29.022 – 0.38891 X 1 + 0.068 X 2 + 0.008913 X 3 – 8.6534 X 4 – 0.19371 X 5

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
287
Die Reststreuung ist die Quadratwurzel aus dem 1. Diagonalelement von S YY/X , d. h.
0.117493 = 0.3428.
Diese Resultate erhält man auch, wenn man die Prozessgleichung für jede Produktvariable
einzeln berechnet.
Das multivariate Maß der Beherrschbarkeit hatten wir bei der Betrachtung der Korrelationsanalyse
berechnet. Es galt
τ
2
Y / X
ΣYY
/ X 6.737213333 10^-7
= 1 − = 1 − = 0.9329
Σ
1.004384604 10^-5
XX
d. h. die Variabilität der Produktvariablen wird zu ca. 93 % durch die Prozessvariablen
erklärt.
Prozessgleichungen für die einzelnen Produktvariablen im multivariaten, multiplen
Modell
Im multivariaten, multiplen Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen erhält
man einen Vektor von Prozessgleichungen, für jede Produktvariable eine. Das Problem
besteht nun aber darin, dass der Prozess nur mit einer optimalen Teilmenge von Inputund
Prozessvariablen gefahren werden kann. Das bedeutet, dass die globale Teilmenge an
wesentlichen Input- und Prozessvariablen für die Vorhersagen gesucht werden muss.
Tabelle 5.11.10: Prozessgleichungen für die einzelnen Produktvariablen
Prozessgleichung f. Y1
-----------------------------------------------------------------------------
Dependent variable: Thermo
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT 27,9028 10,1695 2,74377 0,0071
Friktion -0,388912 0,0808537 -4,81007 0,0000
Heiztemp 0,0679991 0,00925225 7,34947 0,0000
MVI 0,00891195 0,0244504 0,36449 0,7162
Dichte -8,65339 2,90976 -2,97392 0,0036
Massetemp -0,193712 0,0581907 -3,32893 0,0012
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 12,0353 5 2,40707 19,57 0,0000
Residual 13,159 107 0,122981
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 25,1944 112
R-squared = 47,77 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 45,3294 percent
Standard Error of Est. = 0,350687
Mean absolute error = 0,265689
Durbin-Watson statistic = 2,22739

288 5 Qualität in der Fertigung
Prozessgleichung f. Y2
-----------------------------------------------------------------------------
Dependent variable: Axialit
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT 0,763646 4,90555 0,15567 0,8766
Friktion 0,0294221 0,0390021 0,754373 0,4523
Heiztemp 0,00907345 0,00446308 2,033 0,0445
MVI -0,0775608 0,0117944 -6,57609 0,0000
Dichte -6,34085 1,4036 -4,51755 0,0000
Massetemp 0,0407386 0,0280699 1,45133 0,1496
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 1,64909 5 0,329818 11,53 0,0000
Residual 3,06195 107 0,0286164
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 4,71104 112
R-squared = 35,0048 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 31,9676 percent
Standard Error of Est. = 0,169164
Mean absolute error = 0,128768
Durbin-Watson statistic = 1,83917
Prozessgleichung f. Y3
-----------------------------------------------------------------------------
Dependent variable: Parallel
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT 21,7397 14,074 1,54467 0,1254
Friktion -0,0486358 0,111897 -0,434649 0,6647
Heiztemp 0,00414507 0,0128046 0,323719 0,7468
MVI -0,00187052 0,033838 -0,0552787 0,9560
Dichte -0,935801 4,02693 -0,232386 0,8167
Massetemp -0,138288 0,0805324 -1,71717 0,0888
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 2,33505 5 0,46701 1,98 0,0870
Residual 25,2033 107 0,235545
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 27,5384 112
R-squared = 8,47926 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 4,20259 percent
Standard Error of Est. = 0,48533
Mean absolute error = 0,380747
Durbin-Watson statistic = 2,37876

5.11 Modelle für die Prozessgleichung
289
Prozessgleichung f. Y4
-----------------------------------------------------------------------------
Dependent variable: Dicke
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT -3,48103 2,07271 -1,67946 0,0960
Friktion 0,00302197 0,0164793 0,18338 0,8548
Heiztemp 0,00505451 0,00188576 2,68036 0,0085
MVI 0,0255782 0,0049834 5,13268 0,0000
Dichte 4,29957 0,593056 7,24985 0,0000
Massetemp 0,00155342 0,0118602 0,130978 0,8960
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 0,441305 5 0,088261 17,28 0,0000
Residual 0,54664 107 0,00510878
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 0,987945 112
R-squared = 44,669 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 42,0834 percent
Standard Error of Est. = 0,0714757
Mean absolute error = 0,0554062
Durbin-Watson statistic = 2,10562
Gewisse Unterschiede in den Ergebnissen resultieren z. T. aus Rundungsfehlern und insbesondere
bei den Reststreuungen aus der Tatsache, dass ich S YY/X aus 1/N A YY/X berechnet
habe. Diese Schätzung ist nicht erwartungstreu. Die erwartungstreue Schätzung verwendet
anstelle des Faktors 1/N den Faktor 1/(N – m).
Die Güte des Ausgleichs kann aus
•
•
der bedingten Standardabweichung (Reststreuung) und
dem Maß der Beherrschbarkeit (multipler Korrelationskoeffizient R 2 Yj/X
abgelesen werden.
Für die Produktvariable Y 1 (Thermoschrumpf) liest man ab:
s Y1/X = 0,3506 und R 2 Y1/X = 0.4532. Es gibt hier einen 2. Wert, der „R squared adjusted”
genannt wird. Dieser Wert verwendet die erwartungstreue Schätzung für S 2 Y/X .
Die Programme zur Berechnung der Prozessgleichungen gestatten noch das Zeichnen verschiedener
Sachverhalte. Hier wollen wir nur schauen, wie gut die Residuen ε ˆ
1 = ( 1 − ˆ
i Yi Yi1)
,
i = 1, … N (Abweichungen der Messwerte von den berechneten Werten) durch eine Normalverteilung
angepasst werden können.
Die Abbildung 5.11.11 zeigt, dass die Residuen sehr gut durch eine Normalverteilung
approximiert werden können.

290 5 Qualität in der Fertigung
49
8
Residuals
-0.5 0.0 0.5
60
-2 -1 0 1 2
Quantiles of Standard Normal
Abb. 5.11.11: Residuen ε i1 für die Anpassung von Y 1 durch die Prozessgleichung über den
Quantilen der Normalverteilung
Es bleibt noch die Frage zu klären, wie die Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen
im multivariaten, multiplen Fall zu realisieren ist, denn Fakt ist ja, dass der Prozess nur
mit einer optimalen Teilmenge von Input- und Prozessvariablen für alle Produktvariablen
gesteuert werden kann. Die Antwort auf diese Frage wird bei der Lösung des Problems nach
der Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen gegeben.
5.12 Welche Eigenschaften haben die Schätzungen für die
unbekannten Modellparameter?
Die Eigenschaften für diese Schätzfunktionen werden ste llvertretend für das multivariate,
multiple Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen aufgeschrieben.
•
•
•
•
•
•
Sie sind:
E[B Y/X /X] = E[B Y/X ] = β Y/X ,
d. h. die Schätzfunktion für die Matrix (Vektor) der unbekannten Koeffizienten der Prozessgleichung
ist erwartungstreu.
E[A YY/X /X] = E[A YY/X ] = Σ YY/X (N – n –1)
cov(B Y/X /X) = A –1
XX ⊗ Σ YY/X
und cov(B Y/X ) = (N – n –1) –1 Σ –1
XX ⊗ Σ YY/X
{B (N)
Y/X } N→∞ ist konsistent
B Y/X und S YY/X sind unabhängig
V(B Y/X /X) = N(B Y/X , A –1
XX ⊗ Σ YY/X )
und die unbedingte Verteilung ist eine multivariate t-Verteilung.

5.12 Welche Eigenschaften haben die Schätzungen?
291
Die Beweise für diese Behauptungen findet man in Jahn [1991a].
Vorhersagen für die Werte der Produktvariablen
Die Prozes sgleichung wird für die Steuerung des Prozesses gebraucht. Für die Input- und Prozessvariablen
werden Werte eingesetzt und der oder die Werte für den oder die Produktvariablen
werden ausgerechnet. Diesen Vorgang bezeichnen wir im linearen Modell als „Vorhersage“.
Die vorhergesagten Werte für den oder die Produktvariablen streuen natürlich auch. Daher
müssen wir den Vorhersagefehler berechnen.
Wie kann man den Vorhersagefehler berechnen und wie groß ist der Fehler für diese
Vorhersagen?
Vorhersagen sind hier im Sinne der Extra- oder Interpolation des oder der Produktvariablen
Y aufgrund der Kenntnis der Input- und Prozessvariablen gemeint. Wir betrachten die
Vorhersage gleich für den Vektor von Produktvariablen Y. Für eine Produktvariable gelten
dieselben Formeln.
Den Vektor der Input- und Prozessvariablen, für den wir die „Vorhersage“ berechnen wollen,
bezeichnen wir mit X E . Es muss selbstverständlich gelten, dass
X E ~ N n (µ, Σ XX ) und X E ist unabhängig von X, d. h. von X 1 , …, X N .
Mit diesem Vektor wird ̃ = ̃
T
Y( XE)
YE = B0 + BY / X ⋅ X E .
Die Beurteilung der „Vorhersage“ erfolgt mit den bedingten und unbedingten Vorhersagefehlern.
Der bedingte Vorhersagefehler ist
und
M E[( ̃ ) ( ̃ ) / , X ] MSEP ( ̃ /, )
U
T
Nn , = YE − YE ⋅ YE − YE X E = YE XE
T −1
= ΣYY / X ⋅ (1 + XE ⋅ AXX ⋅ XE)
⎛
⎞
= − ̃ ⋅ − ̃ T
= ̃
n
E[( Y Y ) ( Y Y ) ] MSEP ( Y ) = Σ ⋅ ⎜1 +
⎝
⎟.
N − n −1⎠
N, n E E E E E YY / X
Den Beweis kann man in Jahn [1991b] nachlesen.
Der unbedingte Vorhersagefehler des linearen Modells mit stochastischen Input- und
Prozessvariablen stimmt mit dem Vorhersagefehler des Modells mit festen Input- und
Prozessvariablen überein.
Beispiel 5.12.1: Bremsweg. Vorhersagen
1. Beispiel zum Nachrechnen (05.11.3 Bremsweg)
Die berechnete Prozessgleichung war
Yˆ =− 27.151 + 1.078 ⋅x
Fasst man auch die gefahrene Geschwindigkeit als Zufallsgröße auf, dann erhält man für
dieses Demonstrationsbeispiel den unbedingten „Vorhersagefehler“
U 10,1 = 2.991 (1 + 1/8) = 3.3648

292 5 Qualität in der Fertigung
und damit die „Vorhersagestandardabweichung“
U 10,1 = 3.3648 = 1.83
Wählt man für x E die Werte 45, 50 und 55, dann erhält man hierfür die „vorhergesagten“
Bremswege:
Tabelle 5.12.1: „Vorhersagewerte“ für den Bremsweg bei einer Prozessvariablen und dem
Stichprobenumfang N = 10.
x E
Vorhersage
Konfidenzintervall
ỸE
unten
oben
45 21,3 17,7 24,9
50 26,7 23,1 30,3
55 32,1 28,5 35,7
2. Beispiel aus dem Kapitel 1 (Datei 01.3.6 Bremsweg)
Mit dem Programm Statgraphics Plus 7.0 oder SPLUSWIN erhält man die Prozessgleichung
Y ˆ = − 10.0798 + 0.84465 ⋅ X − 2.18613 ⋅ X + 4.1934 ⋅ X
1 2 3
wobei
X 1 = Geschwindigkeit [km/h]
X 2 = Profiltiefe [mm]
X 3 = Reaktionszeit [sec], anstelle des PKW-Gewichtes
und die bedingte Varianz bzw. die bedingte Standardabweichung
S 2 Y/X = 4.68432 und S Y/X = 2.1643.
Der unbedingte Vorhersagefehler ist
U 33,3 = 4.68432 [1 + 3 / (30 – 3 – 1)] = 5.2248
und die unbedingte Vorhersage-Standardabweichung ist
U 33,3 = 2.2858 .
Das Maß der Beherrschbarkeit des Prozesses „Bremsen vor einem Hindernis“ ist R 2 Y/X
= 0.8667, bzw. nach der Korrektur mit den Freiheitsgraden R′ 2 Y/x = 0.851318, wobei die
Korrektur mit der Formel
R′
N − 1
= 1 − (1 − RY x),
N − n −1
2 2
Y / x
/
vorgenommen wird. Das Maß der Beherrschbarkeit besagt, ca. 86 % der Varianz des Bremsweges
werden durch die drei Prozessvariablen X 1 (Geschwindigkeit), X 2 (Profiltiefe) und
X 3 (Reaktionszeit) erklärt. Verwendet man das Maß der Beherrschbarkeit zur Berechnung
der bedingten Varianz, dann erhält man
S 2 Y/X = 31.50563 (1 – 0.851318) = 4.68432 und damit s Y/x = 2.1643.
also denselben Wert für die bedingte Standardabweichung wie oben.

5.12 Welche Eigenschaften haben die Schätzungen?
293
Wie können Sie Hypothesen über die unbekannten Modellparameter prüfen?
Die unbekannten Modellparameter sind im univariaten multiplen Modell mit stochastischen
Input- und Prozessvariablen
•
•
der Vektor der Koeffizienten der Prozessgleichung β Y/X und
die bedingte Varianz σ 2 Y/X .
Wir wollen Antworten auf die Fragen
1. Welche Input- und Prozessvariable hat einen statistisch gesicherten Einfluss auf die Produktvariable?
2. ist die bedingte Varianz statistisch gesichert kleiner als die Varianz der Produktvariablen
Y?
3. ist das Maß der Beherrschbarkeit statistisch gesichert größer als Null?
Prüfung von Hypothesen über den Vektor der Koeffizienten der Prozessgleichung
Di e Prüfung der Hypothese über den Vektor der Regressionskoeffizienten
H 0 : β Y/X = 0 gegen die alternative Hypothese H 1 : β Y/X ≠ 0 mit dem F-Test
T
ˆ BY / X SXX BY / X N − n −1
F =
2
S / ( n + 1)
Y
X
und P ( Fˆ
≤ F α /H 0) = 1− α , wobei Fˆ ∼ Fn+ 1, N−m−1( α ) wird durch das bekannte „finite
intersection“ Prinzip auf die Prüfung der Einzelhypothesen H 0,j : β Y.j/n – j = β * Y.j/n – j gegen H 1 :
β Y.j/n – j ≠ β * Y.j/n – j zurückgeführt, wobei β* Y.j/n – j gegeben sein möge. Die Teststatistik für eine
bestimmte Input- oder Prozessvariable X j ist
( β − B )
t = ⋅S ⋅ N − n − 1, j = 1, …, n.
Y. j/ n−j Y. j/ n−j
2
j j / n−
j
sY
/ X
Oft wird einfach angenommen, dass β * Y.j/n – j = 0.
Die t-Prüfstatistik kann auch mit der F-Statistik geschrieben werden. Es gilt
2 2 2
Y. j/ n−j Y / X Y / n−j
2 jj
SY / X S
2
1 − RY / X
B ( N − n) ( R − R )( N − n)
Fˆ = =
,
j
wobei S jj die Diagonalelemente von S –1
XX sind. Für diese gilt aber
S
−1
XX
⎧
2 2 −1
j − j/
n−
j
=
[ S (1 R )] , für alle j 1, …,
n
⎪
= ⎨ −Rjk / n- { j,
k}
⎪
, für jk , = 1, …, nj , ≠ k
2 2
⎪⎩
Sj Sk (1 − Rj/ n−j) (1 − Rk/
n−k)
und
2 2 2
j − j/ n−j = j/ n−1
[ S (1 R )] S .

294 5 Qualität in der Fertigung
Varianzanalyse für die berechnete Prozessgleichung
Für die P rüfung der linearen Prozessgleichung, d. h. für die Prüfung der Hypothese, ob wenigstens
eine Input- und/oder Prozessvariable einen statistisch gesicherten Einfluss auf die
Produktvariable hat, wird die Varianzanalyse der
Tabelle 5.12.2 durchgeführt. Diese Analyse basiert auf der Identität
Y − Y = Y − Yˆ
+ Yˆ
− Y
i i i i
nach der die Abweichung einer Beobachtung der Produktvariablen Y i vom Mittelwert Y zerlegt
wird in die Abweichung der Beobachtung Y i von dem mit der Prozessgleichung berechneten
Wert Y
ˆi und die Abweichung Yˆi
− Y der berechneten Werte vom Mittelwert. Werden die
Abweichungen quadriert und über alle Beobachtungen summiert, so erhält man die Zerlegung
der Summe der Abweichungsquadrate der Einzelwerte vom Mittelwert
SAQ = ( Y − Y)
gesamt
N
∑
i=
1
in die beiden Summanden
i
2
1. Summe der Abweichungsquadrate der berechneten Werte vom Mittelwert, SAQ Modell =
N
ˆ 2
( Y − Y ) und
∑
i=
1
i
2. die Summe der Abweichungsquadrate der einzelnen Beobachtungswerte von den berechneten
Werten SAQ = ( Y − Y ˆ )
N
2
.
Fehler
∑
i=
1
i
i
Die Summen der Abweichungsquadrate werden in Varianztabelle Tabelle 5.11.1 zusammen
gestellt.
Tabelle 5.12.2: Varianztabelle für die „Güte“ der Prozessgleichung
Variationsursache
Summe
der quadratischen
Abweichungen
FG
Mittlere Summe
der quadratischen
Abweichungen
F-Quotient
Gesamt
Modell
N
∑
i=
1
N
∑
i=
1
2
( Y − Y)
N – 1
i
2
( Yˆ
− Y)
m
i
N
1
∑ 2
( Yi
− Y)
N − 1
i=
1
Fehler
N
N
2 2
∑ ( Y − − ˆ
i Y) ∑ ( Yi
− Y)
i= 1 i=
1
N
2
= ∑ ( Y − ˆ
i Yi)
i=
1
N – m – 1
N
∑
i=
1
N
∑
i=
1
( Yˆ
− Y)
i
2
( Y − Yˆ
)
i
2
i
= F
Mit der Varianzanalyse kann man auch noch einmal die Bedeutung des Maßes der Beherrschbarkeit
sehr klar erkennen.

5.12 Welche Eigenschaften haben die Schätzungen?
295
Beispiel 5.12.2: Bremsweg. Varianzanalyse
Für das Beispiel erhalten wir mit den Daten aus der Datei 03.5.1 Bremsweg (im Internet)
die Tabelle 5.12.3.
Tabelle 5.12.3: Varianzanalyse für die Prozessgleichung
Variationsursache
Summe
der quadratischen
Abweichungen
FG
Mittlere Summe
der quadratischen
Abweichungen
F-Quotient
Gesamt 913,663 29
Modell 791,871 3 263,957
Fehler 121,7934 26 4,6843 56,35
Der berechnete Wert des F-Testes ist sehr viel größer als der entsprechende Tafelwert
F 0.05; 29,3 = 2.93, d. h. die Hypothese, dass die Varianz der Produktvariablen Y durch die
Input- und Prozessvariablen nicht reduziert wird, muss mit sehr kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit
verworfen werden.
Die Modellvarianz kann weiter zerlegt werden. Man erhält die weiterführende Tabelle
5.12.4.
Tabelle 5.12.4: Weiterführende Varianzanalyse
Variationsursache Summe der quadratischen F-Quotient Wahrscheinlichkeit
Abweichungen
Modell 791,871 136,63 0,0000
Geschwindigkeit 639,997 8,14 0,0084
Profiltiefe 38,1208 24,28 0,0000
Reaktionszeit 113,752
Residuum 121,7927
Aus dieser Varianztabelle kann man die Bedeutungen der einzelnen Input- und Prozessvariablen
ablesen. Die Geschwindigkeit ist die wichtigste Prozessvariable. Dieser Parameter
hat den größten F-Wert und die kleinste Irrtumswahrscheinlichkeit.
Die „Vorhersagen“ mit diesem statistischen Modell sind in der Tabelle 5.2.15 enthalten
Tabelle 5.12.5: Vorhersagewerte und Vorhersageintervalle für den Bremsweg
Werte X E für Input- und Prozessvariable Vorhersage V.-Intervall
die Input-
X E,1 X E,2 X E,3 ỸE
45 2 1 27,7 [23,0; 32,5]
50 2 2 32,0 [27,3: 36,6]
55 2 1 36,2 [31,5; 40,8]
Die Vorhersagen mit dem ausführlicheren Modell unterscheiden sich von denen, die mit
dem einfachen Modell gewonnen wurden. Das ist aber klar, denn in dem ausführlicheren
Modell steckt sehr viel mehr Information.

296 5 Qualität in der Fertigung
5.13 Einfluss der Multikollinearität auf die Schätzfunktionen
In vielen Arbeiten, so z. B. in Johnston [1963], Mason [1975], Harvey [1981], Gunst [1983],
Sen and Srivastava [1990] usw. wird der Einfluss der Multikollinearität auf die Schätzfunktionen
im linearen Modell studiert. Dabei begnügen sich die Autoren häufig mit einer intuitiven
Darstellung des Einflusses der Multikollinearität. Wir wollen hier speziell den Einfluss auf die
Prozessgleichung studieren und ein quantitatives Maß für die Multikollinearität verwenden,
um zu erkennen, wie groß der Einfluss der Multikollinearität ist.
Was ist die Multikollinearität?
Wie können wir die Multikollinearität messen?
Nach Anderson [1984] wird die Variabilität eines zufälligen Vektors X durch die verallgemeinerte
Varianz Σ XX beurteilt. Gleichzeitig gilt aber Σ XX = 0 , wenn mit der Wahrscheinlichkeit 1
lineare Abhängigkeiten zwischen den Input- und/oder Prozessvariablen vorkommen. Hieraus
folgt schon, dass der Begriff verallgemeinerte Varianz viel zu eng gefasst ist, wenn es um den
Grad der Multikollinearität geht, denn durch die Determinante werden sowohl die Varianzen
als auch die Abhängigkeitsstruktur erfasst.
Definition der Multikollinearität: Die Straffheit der Abhängigkeitsstruktur zwischen den
Input- und Prozessvariablen wird Multikollinearität genannt und durch die Determinante der
Korrelationsmatrix beurteilt. Für die Determinante der Korrelationsmatrix R XX gilt
und
Σ
= R ⋅∏σ
2
XX XX j
j=
1
n
R
XX
⎧⎪ 1, falls ρjk
= 0, für alle jk , = 1, …, nj , ≠ k
= ⎨
⎪⎩
0, falls wenigstens ein ρjk
= 1, für j ≠ k, j, k = 1, …,
n
Als Maß für die Multikollinearität verwenden wir daher
δ =
1
R
XX
.
Welchen Einfluss hat die Multikollinearität auf die Prozessgleichung und auf das Maß der
Beherrschbarkeit?
Im Netzwerk von betrieblichen Prozessen wurde deutlich ersichtlich, dass die Inputvariablen
eines Prozesses die Produktvariablen eines Vorläuferprozesses sind. Ein Produkt wurde aber
durch mehrere, nicht unabhängige Produktvariable charakterisiert. Der Vektor der Produktvariablen
ist ein zufälliger Vektor. Der Vektor der Prozessvariablen ist in sehr vielen Fällen
ebenfalls ein zufälliger Vektor. Hieraus folgte ja, dass zur Berechnung der Prozessgleichung das
lineare Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen zu verwenden ist. D. h. aber
auch, dass die Abhängigkeitsstruktur zwischen den Input- und Prozessvariablen, ausgedrückt
durch deren Korrelations- oder Kovarianzmatrix, die Schätzfunktionen für die unbekannten
Koeffizienten in den Gleichungen beeinflusst. Die Abhängigkeitsstruktur zwischen den Input-
und Prozessvariablen kann sehr unterschiedlich sein. Einerseits kann diese durch einen

5.13 Einfluss der Multikollinearität auf die Schätzfunktionen
297
großen Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Parametern oder andererseits durch mäßig
große Korrelationskoeffizienten zwischen allen möglichen Paaren von Variablen und deren
unterschiedliche Vorzeichen geprägt sein.
Diese Feststellungen führen auf drei Probleme, die im Rahmen der Multikollinearitätsproblematik
beantwortet werden müssen.
•
•
•
Wie beeinflusst die Abhängigkeitsstruktur und damit die Multikollinearität die Schätzfunktionen
für die unbekannten Koeffizienten und die bedingte Varianz?
Wie kann die Abhängigkeitsstruktur beurteilt werden?
Wie kann ein großer Grad der Multikollinearität korrigiert werden?
In den meisten Schätzfunktionen für die unbekannten Modellparameter kommt die Inverse
der Kovarianzmatrix vor. Folglich schreiben wir die Inverse elementeweise auf und erhalten
die Darstellung
A
−1
XX
⎧
−2 2 −1
Aj (1 − Rj/
n−
j) , für alle j = 1, …,
n
⎪
−R
j k n j k
= ⎨ jk / m−
j,
k
, für , 1, , ,
1
= …
⎪ ≠
⎡
2 2 2 2
A (1 2
j Ak − Rj/ n−j) ⋅(1 − Rk/
n−k)
⎤
⎪ ⎩⎣
⎦
wobei R jk / n−( j, k)
die Korrelationskoeffizienten der bedingten Verteilung von (X j , X k ) unter
der Bedingung der restlichen Variablen (X 1 , …, X j – 1 , X j + 1 , …, X k – 1 , X k + 1 , …, X n ) d. h. die
partiellen Korrelationskoeffizienten bezeichnen. [n – (j, k)] bezeichnet die Indexmenge der
restlichen Variablen.
Diese zeigt, dass mit zunehmender Strenge der Abhängigkeit innerhalb des Vektors der Inputund
Prozessvariablen der multiple Korrelationskoeffizient zwischen einem beliebigen X j und
einer Linearkombination in den restlichen Input- und Prozessvariablen R 2 j/n – j stets größer wird.
Dadurch wird 1 – R 2 j/n – j immer kleiner und somit das Diagonalelement − −
Aj 2 ⋅(1 − R
2 j/
n−
j)
1
von A –1
XX immer größer.
Für die globale Beurteilung der Abhängigkeitsstruktur zwischen den Input- und Prozessvariablen
benötigt man ein Maß. Zur Ableitung eines solchen betrachtet man den bekannten
Zusammenhang (Muirehead [1982])
T
−1 2
XX X n
P[ X ⋅Σ ⋅ ≤ χ ( α)] = 1 − α,
d. h. mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α fällt X in das Innere des Konzentrationsellipsoides
T −1 X ⋅Σ ⋅ X = χ 2 ( α ) mit dem Volumen
XX
n
V
=
1 n
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅ (
⋅
∏
1
2 2 2
π
n
R
2 n
XX σj χn
α
j=
1
(2 ) [ )]
⎛ 1 ⎞
Γ ⎜ ⎟ ⋅ n
⎝2
⋅ n ⎠
,
falls X ∼ N n (0, Σ XX ). Das Volumen ist nur von R XX abhängig, denn die anderen Variablen
bleiben für diese Betrachtung konstant. Somit sollte sich ein Maß für die Multikollinearität
auf die Determinante beziehen.

298 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.13.1: Multikollinearität
Der Einfluss der Multikollinearität auf die Parameter des linearen Modells wird durch ein
Beispiel transparent. Es sei Z ~ N 3 (0, R ZZ ), R ZZ sei positiv definit und
R
ZZ
⎛1
ρY1 ρY2⎞
⎜
⎟ ⎛1
ρY.
X⎞
= 1 ρ12
=
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎟ .
R XX ⎠
⎝ 1 ⎠
Für diesen einfachen Fall sagt man X T = (X 1 , X 2 ) habe den Grad der Multikollinearität
R
1
− 1
XX = δ =
2
1 − ρ 12
,
wenn
ρ
2
12
=
δ − 1 .
δ
In diesem Fall gilt
⎧
2 2
2 2 ⎪1 − ( ρY1 + ρY2) δ + 2 ⋅ρY1 ⋅ρY2 ⋅ ( δ −1) ⋅δ, falls ρ12
≥ 0
σY / X= σY / X () δ = ⎨
⎪ ⎩ −
2 +
2
1 ( ρY1 ρY2) δ − 2 ⋅ ρY1 ⋅ ρY2 ⋅ ( δ − 1) ⋅ δ, falls ρ12
< 0
Da R ZZ positiv definit vorausgesetzt wurde, gilt
mit
2 2
Y1 Y2 12
ρ < 1, ρ < 1 und ρ ∈( ab , )
2 2 2 2
Y1 Y2 Y1 Y2 Y1 Y2
ab , = ρ ⋅ ρ ± 1 − ρ − ρ + ρ ⋅ρ
.
Nur für ρ Y1 = ρ Y2 erhält man b = 1. Setzt man
⎧ 1
⎪ , füra
≥ 0
A =
2
⎨1
− a
⎪
⎩ 0, für a < 0
und
⎧ 1
⎪ , fürρ
≠
=
2
Y ρ
B ⎨1
− b
⎪∞ ⎩ , fürρY
= ρ
dann ist δ ∈ [A, B] und
bzw.
σ
1 Y2
1 Y2
⎧⎪ 0 füra
≥ 0
( A + 0) = ⎨ ⎪ ⎩1 − ( ρY1 + ρY2) füra
< 0
2
Y / X
2 2

5.13 Einfluss der Multikollinearität auf die Schätzfunktionen
299
σ
⎧⎪ 0 fürρY
≠ ρY
( B − 0) = ⎨ ⎪ ⎩1 − ρY fürρY = ρY
2 1 2
Y / X
2
2 1 2
Aus Symmetriegründen ist nur der Fall a < 0 < b und ρ 12 < 0 zu untersuchen.
2
Es gilt σ / () δ ist monoton wachsend in (A, δ 0 ] und monoton fallend in [δ 0 , B), wobei
Y
X
⎧
2 2
max( ρY1, ρY2)
⎪
für ρ ≠
2 2
Y ρ
δ0 = ⎨ ρY1 − ρY2
⎪
⎩ ∞ für ρY
= ρ
2
/ ()
1 Y2
1 Y2
2 2
Die Funktion σY
Xδ erreicht ihr Maximum 1−
max( ρY1, ρ Y2)
an der Stelle δ 0 .
Zum Beweis für ρ Y1 ≠ ρ Y2 wird − ( ρY1 + ρY2) δ + 2 ρY1ρY2 ( δ −1) ⋅ δ = : g1( δ ) untersucht.
Zur Abkürzung wird ρ Y12 + ρ Y22 =: c und ρ Y1 ρ Y2 =: d gesetzt. Mit diesen Abkür zungen
gilt
d ⋅(2 δ −1)
g1′
() δ =− c +
.
( δ −1)
⋅δ
2 2 2 2
2 2 2 2 2
Aus g′
() δ = c ⋅( δ − δ) − d (4⋅δ − 4⋅ δ + 1) = 0und c = 4 ⋅ d + ( ρY1 − ρ Y2)
erhält
man
δ
2
d
− δ − = 0
2 2 2
( ρ − ρ )
2
Y1 Y2
und somit
δ
2 2 2 2
ρY1 − ρY2 ± ( ρY1 + ρY2) =
.
ρ − ρ
1/2 2 2
Y1 Y2
Für ρ Y1 = ρ Y2 wird
g = ⋅ ⋅ ⎡ − ⋅ − ⎤
2() δ 2 ρY
1 ⎣
( δ 1) δ δ
⎦
untersucht. Da
2
⎡ 2⋅δ
−1
⎤
g2′ () δ = 2⋅ρY
1 ⎢ −1⎥
⎣ ( δ −1)
⋅δ
⎦
folgt aus g ′2 () δ = 0 , dass keine reelle Lösung existiert.
Zur Demonstration dieser Resultate betrachten wir die Korrelationsmatrix
⎛1 0. 9 0.
6⎞
R = ⎜
⎜
1 ρ ⎟
12 ⎟
⎝ 1 ⎠
für den Vektor (Y, X 1 , X 2 ).

300 5 Qualität in der Fertigung
Die Grenzen des Variationsintervalls für den Korrelationskoeffizienten ρ 12 sind
2 2 2 2
Y1 Y2 Y1 Y2 Y1 Y2
ab , = ρ ⋅ ρ ± 1− ρ − ρ + ρ ⋅ρ
2 2
= 0.9 ⋅ 0.6 ± 1 − 0.9 − 0.6 + 0.81 ⋅ 0.36 = 0.54 ± 0.348
⎧
−4
a R = ⋅ δ a =
⎪0.192, für , mit ′ 4.96 10 und ( ) 1.038
= ⎨
−4
⎪⎩ 0.888, für b, mit R′′
= 4.96 ⋅ 10 und δ( b) = 4.729
Der Grad der Multikollinearität bis zu dem σ 2 Y/X
monoton wächst ist
δ
2 2
ρY1 ρY2
0 2 2
ρY1 − ρY2
max ( , ) 0.81
= = = 1.8.
0.45
Die bedingte Varianz im standardisierten Modell wird nach der Beziehung
−1
2
1 ρ12 ρY
1
Y / X = 1 − ( Y 1 Y 2 ) ⋅ ⋅
1 ρY
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
σ ρ ρ ⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
1 ⎛1
−ρ
⎞ ⎛ρ
⎞
= 1 − ( ρ ) ⋅ ⋅ ⎜ ⋅
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
ρ ρ ρ ρ ρ
= 1 −
12 Y1
Y1 ρY2 2
1 − ρ12
1 ρY
2
2 2
Y1 + Y2 − 2 ⋅ Y1 ⋅ Y2 ⋅ 12
2
1 − ρ12
berechnet.
Für a, b, δ 0 und einige weitere Zwischenstellen für den Grad der Multikollinearität erhält
man die folgenden Werte für die bedingte Varianz bzw. bedingte Standardabweichung:
2
Y / X( a) = 0.000515, σ Y/X ( a) = 0.0227,
2
Y / X( 1 = 1.19) = 0.1214, Y/X ( 1 ) = 0.3484,
2
Y / X( 2 = 1.312) = 0.1561, Y/X ( 2 ) = 0.395,
2
Y / X( 3 = 1.33) = 0.16, Y/X ( 3 ) = 0.4,
2 2 2
Y / X 0 = Y/X 0 = Y/X = − Y1
2
Y / X( 4 = 2.5) = 0.1776, Y/X ( 4 ) = 0.4083,
2
Y / X( 5 = 3.249) = 0.118, Y/X ( 5 ) = 0.3435,
2
Y / X( 6 = 4) = 0.0611, Y/X ( 6 ) = 0.2472,
) 0.19,
Y/X
σ
σ δ σ δ
σ δ σ δ
σ δ σ δ
2
σ ( δ ) 0.18999, σ ( δ ) 0.4359, max σ ( δ) 1 max ( ρ , ρY
2 =
2
σY / X( b ) = 0.002346, σ ( ) = 0.0484.
σ δ σ δ
σ δ σ δ
σ δ σ δ
Die Abbildung 5.13.1 zeigt die Werte für die bedingte Standardabweichung über den verschiedenen
Graden der Multikollinearität. Wie berechnet, steigen die Werte der bedingten
Standardabweichung vom kleinst möglichen Grad a bis zum Grad δ 0 der Multikollinearität an
und fallen dann wieder bis zum maximal möglichen Grad b der Multikollinearität.

5.13 Einfluss der Multikollinearität auf die Schätzfunktionen
301
0.4
0.3
bedStreuung
0.2
0.1
0.0
0 1 2 3 4 5
Det
Abb. 5.13.1: Bedingte Standardabweichung über dem Grad der Multikollinearität
Für höher dimensionale Vektoren (n ≥ 3) von Input- und Prozessvariablen kann man die Abhängigkeit
der bedingten Varianz (Standardabweichung) vom Grad der Multikollinearität δ
nicht mehr analytisch darstellen. Es bleibt hier nur die Möglichkeit, mit Beispielen die Vermutung,
dass bei den höher dimensionalen Fällen die gleiche Tendenz gilt, zu untermauern.
Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Grad der Multikollinearität und der
Konditionszahl?
Um die Auswirkung eines großen δ auf d ie Schätzfunktionen für die unbekannten Parameter
in der Prozessgleichung zu untersuchen, bietet sich die Berechnung der Fehler E an, die bei
der Lösung des Normalgleichungssystems
T
Y / X XX Y.
X
B R = R
entstehen. Um diesen Fehler berechnen zu können, führen wir die Konditionszahl
k
E
=
⎛
⎜
⎝
R
R
XX
XX
n
⎞
⎟
⎠
n
mit
⎛
RXX
= ⎜n + 2∑r
⎝
2
jk
j<
k
⎞
⎟
⎠
1
2
ein. Damit gilt nach Focke [1962]
E
≤
3 ⋅ n a
,
k R
E
XX

302 5 Qualität in der Fertigung
wobei a der Vektor der Abweichungen ist, die man erhält, wenn man die Lösung B Y/X in das
Normalgleichungssystem BY T
/ X RXX = RY.
X einsetzt, d. h. a = BY T
/ X RXX − RY.
X .
Je größer der Grad der Multikollinearität ist, desto größer werden die Fehler. Unter den genannten
Voraussetzungen, dass der zufällige Vektor Z = (Y T , X T ) aus den m Produkt- und n
Input- und Prozessvariablen m + n dimensional normal- oder elliptisch umrissen verteilt und
die gemeinsame Kovarianzmatrix positiv definit ist, gilt für eine Stichprobe
(Y i , X i ), i = 1, …, N
von unabhängigen und identisch nach Z verteilten zufälligen Vektoren mit der Schätzfunktion
N
∑
A = ( Z − Z) ⋅( Z − Z)
ZZ i i
i= 1
für die Kovarianzmatrix und deren Zerlegung
A
ZZ
⎛AYY
AYX
⎞
= ⎜
⎝ A ⎟
⎠ ,
XX
T
die Maximum Likelihood Schätzfunktion MLSF) für die Matrix der Regressionskoeffizienten
wird nach der Beziehung
T T −1
Y / X= YX⋅
XX
B A A
berechnet.
Der Vektor der Absolutglieder besitzt die Darstellung
T
0 = − Y / X ⋅ .
B Y B X
Die MLSF für die bedingte Kovarianzmatrix
−1
YY / X = YY − YX ⋅ XX ⋅ XY
Σ Σ Σ Σ Σ ist
−1
YY / X = YY − XX ⋅ XY
A A A A
bzw. mit der MLSF
S
ZZ
1
= ⋅ A
N − 1
ZZ
−1
YY / X = YY − YX ⋅ XX ⋅ XY.
S S S S S
Für die MLSF haben wir schon gezeigt, dass
E[ BY/ X / X] = E[ BY/ X] = ΒY/
X,
E[ AYY / X / X] = ( N − n −1) ΣYY / X ,
−1 −1
cov [ B / X] = A ⊗ Σ und cov [ B ] = ( N − n −1) ⋅Σ ⋅Σ
.
Y/ X XX YY/ X Y/ X XX YY/
X
Aus diesen Eigenschaften können Sie schon ablesen, dass die Varianzen der MLSF für die
Regressionskoeffizienten immer größer werden, je größer der Grad der Multikollinearität ist,
denn überall dort wo die Inverse Kovarianzmatrix ins Spiel kommt, wirkt der Grad der Multikollinearität.
Das gilt auch für die folgenden Eigenschaften.

5.13 Einfluss der Multikollinearität auf die Schätzfunktionen
303
•
•
•
die bedingte Verteilung von B Y/X ist N ( ΒY / X, A XX ⊗ ΣYY / X)
,
die unbedingte Verteilung von B Y/X ist eine multivariate t-Verteilung,
( N −1) ⋅ S YY / X ist Wishart verteilt, d. h. Wm ( N − m −1, ΣYY / X).
Außerdem gelten für die bedingten und unbedingten Vorhersagefehler die folgenden Beziehungen.
Der bedingte Vorhersagefehler wird nach der Beziehung
M
−1
Nm = ΣYY X ⋅ + XE ⋅ AXX ⋅ XE
, / (1 )
und der unbedingte nach
U
⎛ n ⎞
= Σ ⋅ ⎜ +
⎝
⎟
N − n −1⎠
Nm , YY/ X 1
berechnet. Aus den Modellparametern bzw. den MLSF und deren Eigenschaften liest man die
Abhängigkeit von A –1
XX und damit vom Grad der Multikollinearität ab.
−1
Beispiel 5.13.2: Einfluss der Multikollinearität. Einfluss auf die Modellparameter
Für n = 4 wird ein Beispiel nach faktoranalytisch folgender Vorschrift konstruiert:
X 1 = ½ (X 2 + X 3 + X 4 )
X 2 = 2 A + U 2
X 3 = –A + 2 U 3
X 4 = A + U 4
wobei A einen gemeinsamen Faktor und U j , j = 2, 3, 4 spezielle Faktoren bezeichnen. Durch
das Einsetzen der falktoranalytischen Annahmen erhält man
X 1 = ½ (U 2 + 2 U 3 + U 4 ) + A.
Die Voraussetzungen an die gemeinsamen und speziellen Faktoren der Faktoranalyse,
E(A) = E(U j ) = 0, und var(A) = var(U j ) = 1, j = 1, 2, 3, 4 ermöglichen die Berechnung der
Varianzen und Kovarianzen zwischen den vier Prozessvariablen X 1 bis X 4 . Man erhält
var(X 1 ) = E [1/4 (U 2 + 2 U 3 + U 4 ) 2 + A 2 + (U 2 + 2 U 3 + U 4 ) A]
= ¼ (1 + 4 + 1) + σ 2 A = 6/4 + 1 = 5/2,
var(X 2 ) = E (2 A + U 2 ) 2 = 5,
var(X 3 ) = E (–A + 2 U 3 ) 2 = 5,
var(X 4 ) = E (A – U 4 ) 2 = 2
cov(X 1 X 2 ) = E (X 1 X 2 ) = E [(1/2 (U 2 + 2 U 3 + U 4 ) + A) (2 A + U 2 )] = 5/2,
cov(X 1 X 3 ) = E (X 1 X 3 ) = E [(1/2 (U 2 + 2 U 3 + U 4 ) + A) (–A + 2 U 3 )] = 1
cov(X 1 X 4 ) = E (X 1 X 4 ) = E [(1/2 (U 2 + 2 U 3 + U 4 ) + A) (A + U 4 )] = 3/2,
cov(X 2 X 3 ) = E (X 2 X 3 ) = E [(2 A + U 2 ) (–A + 2 U 3 )] = – 2,
cov(X 2 X 4 ) = E (X 2 X 4 ) = E [(2 A + U 2 ) (A + U 4 )] = 2,
cov(X 3 X 4 ) = E (X 3 X 4 ) = E [(–A + 2 U 3 ) (A + U 4 )] = – 1.

304 5 Qualität in der Fertigung
Mit den Varianzen und Kovarianzen können die Korrelationskoeffizienten
cov( Xj, Xk)
ρ jk = , j, k= 1, …,4,
j≠
k
1/2
[var( X ) ⋅ var( X )]
j
berechnet werden. Man erhält die Korrelationsmatrix
k
R
XX
⎛ 1 2 2/3 ⎞
⎜1
2 5 5
⎟
⎜ ⎟ ⎛1 0.707 0.282 0.670 ⎞
⎜ −2 2 ⎟
1
⎜ 1 −0.400 0.632 ⎟
= ⎜ ⎟
5 5 = ⎜ ⎟,
⎜ ⎟ ⎜
1 −0.316⎟
⎜
−1
⎟
1
⎜ 1 ⎟
⎜
⎟ ⎝
⎠
⎜
10
⎟
⎝
1 ⎠
wobei die Dezimalbrüche durch die Berechnungen von 3 Stellen nach dem Komma zustande
kommen. Das Wesen dieser Korrelationsmatrix besteht darin, dass der Rang der Korrelationsmatrix
durch das aufgeprägte weiße Rauschen 4 beträgt; ansonsten nur 3! und der
Einfluss des weißen Rauschens mit zunehmender Anzahl von Stellen für die Dezimalbrüche
immer kleiner wird. Aus der zweiten Eigenschaft folgt, dass der Grad der Multikollinearität
durch die Anzahl der Dezimalstellen verändert werden kann. Die Determinante für die
Korrelationsmatrix mit drei Dezimalstellen ist det(R XX ) = 9.66 10 –4 .
Für 4 Stellen nach dem Komma erhält man det(R XX ) = 3.53 10 –5 . Für 6 Dezimalstellen erhält
man den Wert det (R XX ) = 1.306 10 –6 usw. Erweitert man die Korrelationsmatrix R XX mit
3 Dezimalstellen um den Vektor der Korrelationskoeffizienten
ρ T Y.X = (1 0.3 0.3 –0.3 0.65),
dann erhält man eine Korrelationsmatrix für den gemeinsamen Vektor (Y, X T ) von einem
Produkt- und vier Prozessvariablen.
Die inverse Korrelationsmatrix hat die Elemente
⎡ 518.00409761864935308 −366.52374300262834013 −365.67403717048603733 −230.972735572707543
⎤
⎢
−366.52374300262834013 261.13943712283653603 259.13986870735832069 162.4189820616535264
⎥
⎢
⎥
⎢−365.67403717048603733 259.13986870735832069 259.33982968888505582 163.1765940628628639⎥
⎢
⎥
⎣−230.9727355727075434 162.41898206165352646 163.17659406286286398 104.6667398946136903⎦
Mit den Elementen der inversen Korrelationsmatrix kann man die Koeffizienten der Regressionsfunktion
(bedingten Erwartungswertes) berechnen. Man erhält die Funktion
E[Y/X] = 5.014039 X 1 – 3.784914 X 2 – 3.697413 X 3 – 1.485723 X 4
und die bedingte Varianz
σ 2 Y/X = 1 – 0.512241 = 0.487759.
Berechnet man 4 Dezimalstellen der Korrelationsmatrix und rundet auf 3 Stellen, dann
erhält man die inverse Korrelationsmatrix

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
305
⎡ 3903.7774652061360842 −2759.4607872664600142 −2759.9198281797504894 −1744.8306665184492782
⎤
⎢
−1
−2759.4607872664600142 1952.3805292153284385 1951.3032020137744162 1232.3531250988444835
⎥
R XX = ⎢
⎥ ,
⎢ − 2759.9198281797504894 1951.3032020137744162 1952.4272516129524397 1233.6982893435863439 ⎥
⎢
⎥
⎣−1744.8306665184492782 1232.3531250988444835 1233.6982893435863439 781.55050847888419224⎦
die Determinante der Korrelationsmatrix der Prozessvariable det(R XX ) = 1.279 10 –4 , den
bedingten Erwartungswert
E[Y/X] = 37.131019 X 1 – 26.485507X 2 – 26.409275 X 3 – 15.844919 X 4
und die bedingte Varianz
σ 2 Y/X = 1 – 0.817239 = 0.182761.
Die geringfügige Veränderung der einzelnen Elemente der Korrelationsmatrix führt zu
starken Veränderungen der Ergebnisse (Elemente der inversen Korrelationsmatrix und
damit der multiplen Korrelationskoeffizienten, Koeffizienten des bedingten Erwartungswertes,
bedingte Varianz).
Aus dieser Darstellung erkennt man, dass die Fehler mit kleiner werdender Determinante
der Korrelationsmatrix für die Input- und Prozessvariable und damit mit kleiner werdenden
Konditionszahlen größer werden.
5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und
Prozessvariablen auswählen?
In den Regressionsansätzen mit festen oder stochastischen Input- und Prozessvariablen wird
der Zusammenhang zwischen einem (oder mehreren) Produktvariablen Y und den n Inputund
Prozessvariablen X T = (X′, Z) gesucht. Da zu Beginn der Analyse nicht bekannt ist, welche
Input- und Prozessvariablen den (oder die) Produktvariable wesentlich beeinflussen, misst
man nach dem Grundsatz des
Galilei: „Messe alles, und das nicht Messbare mache messbar“,
so viel wie möglich Input- und Prozessvariablen und hofft, dass unter den gemessenen diejenigen
sind, die Y gut erklären. Hinter dieser Formulierung steht die Frage nach der Adäquatheit
des Modells. Hierfür verwenden wir das Maß der Beherrschbarkeit, den F-Test, die t-Tests und
Residualanalysen. Diese Analysen reichen aber nicht aus, den optimalen Ansatz zu finden.
5.14.1 Warum müssen aber nun wieder Input- und/oder Prozessvariablen
aus dem Ansatz gestrichen werden?
Es ist doch offensichtlich, dass mit zunehmender Anzahl von Input- und Prozessvariablen die
Information über Y nicht geringer werden kann. Das ist der Inhalt der Wiener Shannon’sche
Theorie, wonach die Entropie als Maß der Unbestimmtheit einer oder mehrerer Produktvariablen
mit zunehmender Anzahl von Input- und Prozessvariablen desselben Prozesses stets
kleiner wird.

306 5 Qualität in der Fertigung
Trotzdem gibt es verschiedene Gründe für die Notwendigkeit der Auswahl der wesentlichen
Input- und Prozessvariablen . Zwei dieser Gründe sind:
Der Grad der Multikollinearität nimmt mit wachsender Anzahl n von Input- und Prozessvariablen
zu. Daraus folgt aber sofort, dass die Anzahl der redundanten oder unwesentlichen
Input- und Prozessvariablen ebenfalls zunimmt und aufgrund des zunehmenden Grades
der Multikollinearität die numerischen Fehler bei der Lösung des Normalgleichungssystems
größer werden.
Die beiden Terme des unbedingten Vorhersagefehlers (das ist auch der Vorhersagefehler im
2 ⎛ n ⎞
linearen Modell mit festen Input- und Prozessvariablen) UNn , = σY / X ⎜1
+ ⎟ zeigen
⎝ N − n −1⎠
2
unterschiedliches Verhalten. Die Folge { σY / X ( n ) }, n → ∞ ist antiton (monoton nicht wachsend,
wenn die Anzahl der Input- und Prozessvariablen größer wird) und
⎛ n ⎞
⎜1 + , n → ∞
⎝
⎟
N − n −1⎠
ist streng isoton (monoton wachsend). Die Abbildung 5.14.1 zeigt, dass ein p* = p*(N) mit
p* ∈ {0, 1, …, n} gefunden werden kann, für dass p < p* und p > p* U N.p > U N,p* ist. Das p*
wollen wir optimale Anzahl nennen.
Mit den Auswahlverfahren sollen sowohl das p* wie auch die wesentlichen Input- und Prozessvariablen
gefunden werden.
Dabei beinhaltet die Teilmenge der unwesentlichen Input- und Prozessvariablen diejenigen
Variablen, die
•
•
entweder mit den Produktvariablen nicht oder nur sehr gering korreliert
oder aber redundant sind.
Neben der „Vorhersage“ der Produktvariablen aufgrund von Werten für die Input- und
Prozessvariablen ist somit die Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen ein
vorrangiges Ziel der Anwendung der Regressionsanalyse sowohl mit bekannten, festen (nicht
stochastischen) als auch stochastischen Input- und Prozessvariablen.
σ Y/X
→ ∞
+ n
1 ,
N − n −1
n
σ Y/X
optimale Anzahl
n
Abb. 5.14.1: Optimale Anzahl p*

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
307
Es ist notwendig an dieser Stelle noch einmal darauf hinzuweisen, dass es zwischen den beiden
Modellen grundsätzliche Unterschiede gibt. Diese sind:
Wird in dem Modell mit festen Input- und Prozessvariablen z. B. X n gestrichen, dann
• verändert sich das Modell
n
T
Yx . , mit
Yj . j
j = 1
Y = β ⋅ x + ε ε = Y −∑ β x
in das Modell
Y
n−1
∑
= β x + ε *,
Y.
j
j = 1
j
in dem E(ε*) verschieden von null ist.
• Im Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen
Y = β 0 + β Y/X X + F Y/X ,
mit
β T Y/X = σ Y.X Σ–1 YY , β 0 = µ Y – β Y/X μ X und F Y/X = Y – E[Y/X] ~ N 1 (0, σ2 Y/X )
und
Y und F Y/X sind unabhängig voneinander,
gilt auch nach der Streichung des Input- oder Prozessvariables X n , dass
F Y/X = Y – E[Y/X] ~ N 1 (0, σ 2 Y/X ) ist.
Es ist aber klar, in diesem Modell wird σ 2 Y/X größer.
Alle Verfahren zur Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen werden unter der
Bezeichnung Teilmengenregression subl imiert. Die meisten Verfahren entstanden unter der
Annahme, dass die Input- und Prozessvariablen feste Einstellgrößen sind. Diese Annahme
ist – zumindest für die Anwendung der Verfahren zur statistischen Analyse von Prozessen
– nicht gerechtfertigt, denn zumindest die Inputvariablen sind Zufallsgrößen, da sie als
Produktvariablen von Vorläuferprozessen aufgefasst werden müssen. Diese Verfahren, siehe
z. B. Hocking [1972, 1976], Hocking and Leslie [1967], Thompson [1978], Kinal and Lahiri
[1983], Mallows [1966, 1977]Miller [1990] und viele andere, werden nicht im Detail beschrieben,
sondern nur für die Einschätzung des universellen Red-Verfahrens von Jahn [1984,
1991] verwendet.
5.14.2 Welche Verfahren können für die Auswahl optimaler Teilmengen
von „fixen“ Input- und Prozessvariablen verwendet werden?
Für das Modell mit festen Input- und Prozessvariablen (feste Einstellgrößen) wurden in den
letzten Jahren zahlreiche Auswahlverfahren entwickelt. Diese Verfahren lassen sich in drei
Gruppen einteilen.

308 5 Qualität in der Fertigung
1. Berechnungsalgorithmen zum Auffinden der besten Anpassungsteilmengen.
Die se Verfahren basieren entweder auf dem „Kleinst Quadrat Anpassungskriterium“, der
Minimax Anpassung oder der L 1 bzw. L ∞ Anpassung. Bei all diesen Verfahren müssen die
Restsummen der Abweichungsquadrate für alle 2 n – 1 Teilmengen berechnet werden. Das ist
ein Riesenaufwand, vgl. z. B. Edwards and Havra’nek [1987].
2. Vorhersagefehler Minimierungsverfahren.
Der Vorhersagefehler für das Modell mit festen Input- und Prozessvariablen wird genauso
berechnet wie der unbedingte Vorhersagefehler im Modell mit stochastischen Input- und
Prozessvariablen. Auswahlverfahren, die darauf basieren, sind das C p -Verfahren von Mallows
[1973], das PSS von Allen [1971] und das BIC von Schwarz [1978]. Informationstheoretische
Betrachtungen im Zusammenhang mit dem Vorhersagefehler führen auf das AIC von Akaike
[1973, 1976].
An dieser Stelle soll nur das C p Kriterium von Mallows für das lineare Modell mit festen Input-
und Prozessvariablen etwas ausführlicher skizziert werden. Nach obigen Grundanliegen
soll der Vektor x der festen Input- und Prozessvariablen in zwei Teilvektoren zerlegt werden.
Dabei beinhaltet der Teilvektor x(k) die wesentlichen und x(h) die unwesentlichen Input- und
Prozessvariablen, wobei k = (k 1 , …, k p ), mit
mit
k 1 < … < k p die Teilmenge der Indices für die wesentlichen und h = (h 1 , …, h n – p ),
h 1 < … < h n – p die Teilmenge der Indices der unwesentlichen Variablen bezeichnen.
Das Teilmengenregressionsmodell lautet dann
Y = β T Y.k x (k) + ε(k).
Der Vorhersagefehler für dieses Modell ist
N = E[ Y − Yˆ( k)] = + var[ Yˆ( k)] + { E[ Yˆ( k) − Y]}
.
N.
p
2 2 2
σR
Eine Mittelung über die Zeilen der Design Matrix x liefert
N N N N
2 2 2
U ˆ ˆ ˆ
Npi , , = E[ Yi − Yi( k)] = N σR + var[ Yi( k)] + { E[ Yi( k) − Yi]}
i= 1 i= 1 i= 1 i=
1
∑ ∑ ∑ ∑ .
Mallows betrachtet nun das folgende Kriterium
1 ⎛
N
N
ˆ ˆ
2
⎞
Γ p = var [ Y
2
i( k)] { E[ Yi( k) Yi]}
σ
⎜∑
+ ∑ −
R ⎝
⎟
i= 1 i=
1
⎠
1
[ ˆ T T
( ) ˆ T
= E Y k − β
2
Yxk . ( ) x( k)] E[ Y( k) − βYxk
. ( ) x( k)]
+ p .
σR
Den Bias
ˆ T T
[ ( ) ( )] [ ˆ T
E Y k − β x k E Y( k) − β x( k) = SSB]
Yxk . ( ) Yxk . ( )

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
309
kann man ausdrücken durch
xkT ( )
T
xkT ( )
Yxk . ( ) Yxk . ( )
SSE = ⎡Y B ⎤ ⎡Y B ⎤
⎣
−
⎦ ⎣
−
⎦
= RSE (Bezeichnung in manchen Programmen).
Der Erwartungswert von SSE ist E (SSE) = ( N − p) σ R + SSB .
Für die Schätzung von Γ p verwendet Mallows die Statistik
2
( N − p)
σˆ
R
Cp = + 2 p − N ≈ p.
ˆ
2
σ
R
3. Testverfahren
Zu diesen V erfahren gehören die stufenweisen oder schrittweisen Verfahren (Vorwärts- und
Rückwärtsauswahl) von Draper, Smith [1981], Miller [1990] als die bekanntesten. Außerdem
gehören der overall F-Test und der finite intersection Test von Krishnaiah [1982] zu dieser
Gruppe.
Die stufenweisen Verfahren verwenden die F-Statistik
Fˆ
T T −1
T
Y ⋅ Xj ⋅ Xj ⋅ Xj ⋅ Xj
⋅Y ⋅ N −
j =
T T −1
T
Y ⋅[ I − Xj ⋅( Xj ⋅ Xj ) ⋅ Xj]
⋅Y
( ) ( 1)
zur Prüfung der Einzelhypothese H 0,j : β Y/j = 0, für j = 1, …, n, wobei β Y/j aus dem Modell
E[Y] = β Y/j X j kommt. Unter der Normalverteilungsannahme ist F ˆj ∼ F1, N−
1 verteilt.
Wird die H 0, j nicht verworfen, dann wird x j als unwesentlich angesehen. Werden die H 0, j
j = 1, …, n verworfen, dann wird die Input- oder Prozessvariable als wesentlich deklariert, der
max ( Fˆ
ˆ
1, …, Fn
) > F α entspricht. Diese Variable ist dann x [1] . Gilt z. B. max ( F ˆ ˆ
1, …, Fn
) = F1,
dann wird x 1 zur wichtigsten Prozessvariablen erklärt. Ist max ( F ˆ ˆ 1, …, Fn
) ≤ F α , dann wird
keine der Input- und Prozessvariablen als wichtig erkannt und die Analyse ist beendet.
Nach dem Auffinden von x 1 wird die zweitwichtigste Input- oder Prozessvariable gesucht.
Hierzu werden die F-Statistiken
mit
T
Y ⋅ M0. ( 2)
ˆ jk ⋅Y ⋅ N −
Fjk
= , j = 1, …,
n
T
Y ⋅ M Y
jk
T T −1 T T T T −1 T −1
0, jk = [ − k ⋅( k ⋅ k ) ⋅ k] ⋅ j [ j ⋅ j − j ⋅ k ⋅( k ⋅ k ) ⋅ k ⋅ j ] ⋅ j
−1
⎡ X
T T
⎛ k⎞ ⎤ X
T T
⎛ k⎞
= I − ( Xj , Xk ) ⋅ ⎢⎜ ( xk Xj
)
X ⎟ ⋅ ⎥ ⎜
j
X ⎟
j
M I X X X X X X X X X X X X X X
⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦
⎝ ⎠
berechnet. Die Entscheidungen werden entsprechend dem 1. Schritt vorgenommen, d. h. ist
max ( Fˆ
ˆ
12, …, F1 n)
≤ F1
α , dann ist keine der Prozessvariablen X 2 , …, X n wesentlich und wir sind
fertig. F 1α ist der obere 100α % Punkt der zentralen F-Verteilung. Wenn max ( F ˆ ˆ
12, …, F1 n)
> F1
α ,
dann ist die zu dem Maximum gehörende Variable die zweit wich tigste Input- oder Prozessvariable.
In dieser Weise wird das Verfahren fortgesetzt.
Die F-Statistik ist nichts anderes als der Test zur Prüfung der Hypothese
2

310 5 Qualität in der Fertigung
H 0 : β Y.j = 0 für das klassische Modell E[Y] = β Y.j X j , für j = 1, …, n. Für dieses Modell ist F j
zentral F-verteilt mit (1, N – 1) FG. Wenn H 0 „wahr“ ist, dann ist x j unwichtig. Wenn H 0 nicht
„wahr“ ist, dann bedeutet das jedoch nicht, dass x j im 1. Schritt in die Prozessgleichung einbezogen
wird. In der 1. Stufe, wenn alle Prozessvariablen nicht unwesentlich sind, picken wir
nur die wesentlichste heraus und formulieren keine Aussage über die Auswahl der anderen
Prozessvariablen, die als nicht unwichtig deklariert werden. Das Vorgehen führt somit in einen
Bereich, in dem keine Entscheidung getroffen wird.
Bei diesem Verfahren werden die n Einzelhypothesen individuell und nicht simultan geprüft,
denn der Fehler 1. Art wird in jeder Stufe separat gewählt unter der Bedingung, dass
P[F j ≤ F α/H0,j ] = 1 – α. Nehmen wir nun an, dass für ein beliebiges j das Modell E[Y] = β Y.j X j
nicht korrekt ist, dann ist F nicht zentral F-verteilt mit
(1, N – 1) FG.
Betrachten wir nur einmal in der r-te Stufe das Modell
E[Y] = β Y.1 X 1 + … + β Y.r X r + β Y.j X j für j = r + 1, …, n. Dann gilt auch hier, dass die F-Statistik
diejenige Statistik ist, die zur Prüfung der H 0 unter diesem Modell ist. Damit wird deutlich,
dass auf der (j + 1)-ten Stufe der kritische F j, α Wert gewählt wird, ohne Beachtung der Entscheidungen
in den vorangegangenen Stufen. Nimmt man z. B. die 2. Stufe, dann sollte man die
bedingten Wahrscheinlichkeiten P[F 1j ≤ F 1α /H 0 ; max(F 1 , …, F n ) ≥ F α ] für j = 2, …, n berechnen,
um den Fehler 1. Art für die Prüfung der H 0 für ein gegebenes j anstelle der P[F 1j ≤ F α /H 0 ] zu
bestimmen, denn wir wollen ja zur 2. Stufe übergehen, nur wenn max ( Fˆ
ˆ
12, …, F1
n)
> F α .
Beispiel 5.14.1: Chemischer Prozess. Teilmengenregressionen
Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen nach dem C p -Kriterium von Mallows.
Die Auswahl wird mit dem Datensatz 05.7.1 chem. Prozess demonstriert.
Die Produktvariable ist Y 1 , als Prozessvariablen habe ich aus der Gesamtmenge der Inputund
Prozessvariablen die folgende Teilmenge der Prozessvariablen ausgewählt und mit
den Buchstaben A bis L bezeichnet, da das Programm von Mallows Buchstaben anstelle
von Symbolen erwartet.
X 3 = A
X 4 = B
X 5 = C
X 6 = D
X 7 = E
X 9 = F
X 16 = G
X 17 = H
X 18 = I
X 19 = J
X 20 = K
X 21 = L
Der Stichprobenumfang umfasst N = 107 Beobachtungsvektoren.
Die Anzahl der möglichen Modellansätze ist 2 12 = 4096.
Es ist vollkommen klar, dass ich nicht alle 4096 Detailergebnisse hier darstellen kann. Daher
wähle ich nur eine Teilmenge von Resultaten aus.

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
311
Die Teilmengen mit einer Prozessvariablen sind
Model Results
--------------------------------------------------------------------
Adjusted
Included
MSE R-Squared R-Squared Cp Variables
--------------------------------------------------------------------
47,5433 0,0 0,0 207,759
44,5049 7,27389 6,39078 187,01 A
46,4821 3,15448 2,23214 199,893 B
47,5433 0,943396 0,0 209,731 C
38,1133 20,5909 19,8346 145,359 D
47,5433 0,943396 0,0 207,453 E
30,7136 36,008 35,3986 97,1408 F
45,6049 4,98194 4,07701 194,178 G
26,0692 45,6846 45,1673 66,8763 H
25,4059 47,0667 46,5626 62,5538 I
44,7453 6,77295 5,88507 188,576 J
45,6593 4,86876 3,96275 194,532 K
44,1012 8,11493 7,23983 184,379 L
Teilmengen mit zwei Prozessvariablen
44,9072 7,32686 5,54468 188,844 AB
44,8954 7,35104 5,56933 188,768 AC
36,7184 24,2257 22,7685 135,991 AD
44,9241 7,29186 5,50901 188,953 AE
24,8555 48,7066 47,7202 59,4249 AF
42,5661 12,1581 10,4688 173,734 AG
26,258 45,8124 44,7704 68,4767 AH
25,5116 47,3528 46,3403 63,659 AI
Teilmengen mit drei Prozessvariablen
45,3041 7,40662 4,70972 190,594 ABC
36,8847 24,6144 22,4187 136,776 ABD
45,289 7,43763 4,74164 190,497 ABE
25,0909 48,7188 47,2252 61,3867 ABF
42,9776 12,1617 9,60326 175,723 ABG
26,5118 45,8148 44,2366 70,4692 ABH
25,7582 47,355 45,8216 65,6522 ABI
43,0642 11,9846 9,42104 176,276 ABJ
43,9621 10,1495 7,53251 182,016 ABK
45,3041 7,40662 4,70972 190,594 ABC
36,8847 24,6144 22,4187 136,776 ABD
45,289 7,43763 4,74164 190,497 ABE
25,0909 48,7188 47,2252 61,3867 ABF
42,9776 12,1617 9,60326 175,723 ABG
26,5118 45,8148 44,2366 70,4692 ABH
25,7582 47,355 45,8216 65,6522 ABI
43,0642 11,9846 9,42104 176,276 ABJ
43,9621 10,1495 7,53251 182,016 ABK

312 5 Qualität in der Fertigung
44,1848 9,69442 7,06416 183,439 EKL
22,5179 53,9776 52,6371 44,9394 FGH
21,9735 55,0902 53,7821 41,4596 FGI
28,8272 41,0824 39,3664 85,2701 FGJ
29,5788 39,5463 37,7855 90,0747 FGK
28,2781 42,2048 40,5215 81,7598 FGL
20,0571 59,007 57,813 29,2095 FHI
Teilmengen mit vier Prozessvariablen
31,5516 36,1403 33,636 102,727 ABCD
45,7117 7,48072 3,85251 192,363 ABCE
25,3001 48,7932 46,7851 63,154 ABCF
43,3714 12,2174 8,77489 177,548 ABCG
26,1166 47,1406 45,0677 68,3227 ABCH
25,3429 48,7066 46,6951 63,4247 ABCI
43,4204 12,1182 8,67186 177,858 ABCJ
44,3193 10,2989 6,78124 183,548 ABCK
44,3107 10,3163 6,79932 183,494 ABCL
34,7803 29,6056 26,8451 123,165 ABDE
25,0574 49,2845 47,2957 61,6174 ABDF
35,457 28,2359 25,4216 127,449 ABDG
26,7585 45,8414 43,7175 72,386 ABDH
26,0094 47,3576 45,2932 67,6439 ABDI
36,4121 26,3029 23,4128 133,494 ABDJ
37,1576 24,794 21,8447 138,214 ABDK
Teilmengen mit 5 Prozessvariablen
36,7797 26,2887 22,6396 135,539 ACEGJ
42,5645 14,6951 10,4721 171,799 ACEGK
42,2385 15,3485 11,1578 169,755 ACEGL
22,3575 55,1926 52,9744 45,1393 ACEHI
25,2319 49,432 46,9286 63,1561 ACEHJ
26,149 47,594 44,9996 68,9047 ACEHK
25,6355 48,6232 46,0798 65,6858 ACEHL
24,4621 50,9747 48,5477 58,3311 ACEIJ
25,4623 48,9702 46,444 64,6003 ACEIK
24,7337 50,4303 47,9764 60,0338 ACEIL
42,6308 14,5622 10,3326 172,215 ACEJK
Teilmengen mit 6 Prozessvariablen
26,1567 48,0976 44,9835 69,3295 DEFGKL
17,8856 64,5098 62,3804 17,9989 DEFHIJ
18,375 63,5388 61,3511 21,0359 DEFHIK
16,7221 66,8186 64,8277 10,7779 DEFHIL
21,9859 56,3736 53,756 43,4456 DEFHJK
21,5517 57,2352 54,6693 40,7509 DEFHJL
23,7889 52,7959 49,9637 54,6351 DEFHKL

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
313
Teilmengen mit 7 Prozessvariablen
27,39 46,1938 42,3893 77,284 BCEFGKL
18,0465 64,5487 62,042 19,8774 BCEFHIJ
18,5408 63,5777 61,0023 22,9143 BCEFHIK
16,742 67,1113 64,7858 11,8625 BCEFHIL
22,0387 56,7062 53,645 44,4055 BCEFHJK
21,3412 58,0764 55,1121 40,12 BCEFHJL
23,1807 54,4627 51,2429 51,422 BCEFHKL
Teilmengen mit 8 Prozessvariablen
23,9941 53,341 49,5321 56,9304 ACEFGJKL
17,5608 65,8513 63,0636 17,8034 ACEFHIJK
15,7099 69,4505 66,9566 6,54646 ACEFHIJL
16,7391 67,4492 64,7919 12,8058 ACEFHIKL
20,589 59,9625 56,6942 36,2209 ACEFHJKL
19,9684 61,1693 57,9995 32,4466 ACEFIJKL
Teilmengen mit 9 Prozessvariablen
20,8595 59,8505 56,1253 38,5712 BCEFGIJKL
15,6886 69,8033 67,0015 7,44312 BCEFHIJKL
21,1712 59,2505 55,4696 40,448 BCEGHIJKL
17,1917 66,9102 63,84 16,4915 BCFGHIJKL
17,5588 66,2036 63,0678 18,7015 BDEFGHIJK
15,8758 69,4428 66,6076 8,5704 BDEFGHIJL
16,4236 68,3885 65,4555 11,8678 BDEFGHIKL
21,9824 57,6892 53,7634 45,3311 BDEFGHJKL
21,139 59,3125 55,5374 40,2539 BDEFGIJKL
15,6909 69,7989 66,9967 7,45684 BDEFHIJKL
Teilmengen mit 10 Prozessvariablen
16,5797 68,4171 65,1272 13,7785 BCDEFGHIKL
21,5669 58,9168 54,6373 43,4915 BCDEFGHJKL
20,8591 60,2652 56,1262 39,2742 BCDEFGIJKL
15,8501 69,8069 66,6617 9,43186 BCDEFHIJKL
20,9867 60,022 55,8577 40,0348 BCDEGHIJKL
17,1039 67,4185 64,0246 16,9016 BCDFGHIJKL
15,8428 69,8207 66,6771 9,38847 BCEFGHIJKL
15,8457 69,8152 66,671 9,40572 BDEFGHIJKL
Teilmengen mit 11 Prozessvariablen
15,9586 69,9168 66,4334 11,0881 ABCDEFHIJKL
20,524 61,3108 56,831 38,004 ABCDEGHIJKL
17,2566 67,47 63,7034 18,7405 ABCDFGHIJKL
15,9447 69,9431 66,4628 11,0057 ABCEFGHIJKL
15,9527 69,9279 66,4459 11,0533 ABDEFGHIJKL
15,9463 69,94 66,4594 11,0153 ACDEFGHIJKL
16,0081 69,8236 66,3294 11,3796 BCDEFGHIJKL
Teilmenge mit allen 12 Prozessvariablen
16,1133 69,9449 66,1081 13,0 ABCDEFGHIJKL

314 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.14.1: Kleinste C p innerhalb der Teilmengen gleicher Mächtigkeit
Models with Smallest Cp
Model Results
----------------------------------------------------------------
Adjusted
Included
MSE R-Squared R-Squared Cp Variables
----------------------------------------------------------------
15,4953 69,2528 67,408 3,16473 EFHIJL
15,4133 69,7215 67,5806 3,69893 EFHIJKL
15,5857 69,3828 67,218 4,75808 AEFHIJL
15,6116 69,3319 67,1634 4,91743 DEFHIJL
15,6167 69,3218 67,1526 4,94894 BEFHIJL
15,6168 69,3217 67,1526 4,94916 EFGHIJL
15,4847 69,8885 67,4304 5,17655 AEFHIJKL
15,548 69,7653 67,2972 5,5618 BEFHIJKL
15,5531 69,7555 67,2865 5,59256 EFGHIJKL
15,556 69,7497 67,2803 5,61057 DEFHIJKL
15,5592 69,7435 67,2736 5,62989 CEFHIJKL
15,6304 69,9152 67,1238 7,09298 ACEFHIJKL
15,6324 69,9114 67,1197 7,10487 AEFGHIJKL
15,6387 69,8992 67,1063 7,14302 ADEFHIJKL
15,6422 69,8925 67,0991 7,16386 ABEFHIJKL
15,6886 69,8033 67,0015 7,44312 BCEFHIJKL
16,3819 67,4935 65,5431 8,667 EFGHIL
15,7809 69,9388 66,8074 9,01932 ACEFGHIJKL
16,5957 66,7401 65,0935 9,02353 EFHIL
15,7896 69,922 66,7889 9,07166 ABEFGHIJKL
15,7901 69,9212 66,788 9,07414 ADEFGHIJKL
15,7928 69,9159 66,7822 9,09072 ACDEFHIJKL
15,7929 69,9159 66,7822 9,09076 ABCEFHIJKL
16,5026 67,2541 65,2894 9,41573 EFHIKL
16,6609 66,94 64,9564 10,3981 BEFHIL
16,7079 66,8466 64,8574 10,6902 CEFHIL
15,9447 69,9431 66,4628 11,0057 ABCEFGHIJKL
15,9463 69,94 66,4594 11,0153 ACDEFGHIJKL
15,9527 69,9279 66,4459 11,0533 ABDEFGHIJKL
15,9586 69,9168 66,4334 11,0881 ABCDEFHIJKL
16,0081 69,8236 66,3294 11,3796 BCDEFGHIJKL
16,1133 69,9449 66,1081 13,0 ABCDEFGHIJKL
17,6875 64,552 62,7971 15,867 BFHIL
17,8372 64,2519 62,4822 16,8056 EFHIJ
17,848 64,2303 62,4595 16,8731 DFHIL
18,2284 63,4679 61,6594 19,2575 EFHIK
18,6575 62,2376 60,7567 21,1054 FHIL
18,8727 61,8022 60,3042 22,4673 EFHI
19,3647 60,8064 59,2694 25,5817 DFHI
19,3769 60,7817 59,2438 25,6587 FGHI
19,6796 60,1689 58,6069 27,5753 FHIK
20,0571 59,007 57,813 29,2095 FHI
21,5712 55,9124 54,6283 38,8881 FIJ
21,7327 55,5824 54,2887 39,9202 HIL
21,9735 55,0902 53,7821 41,4596 FGI
22,1304 54,7696 53,4522 42,4623 FHJ
22,7717 53,0069 52,1032 45,9754 FI
23,3479 51,818 50,8914 49,6938 FH
23,6865 51,1191 50,1791 51,8795 HI
24,6811 49,0666 48,0871 58,299 GI
24,7316 48,9625 47,981 58,6246 IJ
25,4059 47,0667 46,5626 62,5538 I
26,0692 45,6846 45,1673 66,8763 H
30,7136 36,008 35,3986 97,1408 F
38,1133 20,5909 19,8346 145,359 D
44,1012 8,11493 7,23983 184,379 L
47,5433 0,0 0,0 207,759
----------------------------------------------------------------

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
315
Cp
240
200
160
120
80
40
0
Mallows' Cp Plot for y1
0 3 6 9 12 15
Number of Coefficients
Abb. 5.14.2: C p -Kriterium von Mallows
Die Darstellung des besten (kleinsten) C p innerhalb jeder Teilmenge von Prozessvariablen
gleichen Umfangs ist in der Abbildung 5.14.2 enthalten.
Diese Abbildung zeigt, dass die Mächtigkeit der Teilmenge mit dem kleinsten C p zwischen
n = 6 und n = 8 zu liegen scheint.
Für eine genauere Bestimmung sucht der Computer innerhalb jeder Mächtigkeit der Teilmengen
das kleinste C p . Die Werte sind in der Tabelle 5.14.1 angegeben.
Das Gesamtmodell (das Modell mit allen 12 Prozessvariablen) ist in der Tabelle 5.14.2
enthalten.
Tabelle 5.14.2: Prozessgleichung mit allen Prozessvariablen
Prozessgleichung
-----------------------------------------------------------------------------
Produktvariable: y1
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT -408,705 214,545 -1,90499 0,0598
x3 -0,63914 0,852096 -0,750079 0,4551
x4 0,201308 0,523085 0,384847 0,7012
x5 1,92428 18,9108 0,101756 0,9192
x6 1,27445 17,1746 0,0742055 0,9410
x7 -11,723 3,98068 -2,94496 0,0041
x9 0,322213 0,0597561 5,39213 0,0000
x16 -0,0941571 0,845685 -0,111338 0,9116
x17 89,7031 18,5206 4,84342 0,0000
x18 -91,06 17,9793 -5,06472 0,0000
x19 1,07786 0,47749 2,25734 0,0263
x20 3,53736 2,78535 1,26999 0,2072
x21 0,802039 0,23722 3,381 0,0010
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 3537,88 12 294,824 18,48 0,0000
Residual 1515,41 95 15,9517
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 5053,3 107
R-squared = 70,0114 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 66,2233 percent
Standard Error of Est. = 3,99396
Mean absolute error = 2,89319
Durbin-Watson statistic = 1,02239

316 5 Qualität in der Fertigung
Das Maß der Beherrschbarkeit für diesen Ansatz ist R 2 Y.X = 0.700 und die Reststandardabweichung
ist s = 3.9939.
Diese Gleichung kann auch in der üblichen Form
y1 = -408,705 - 0,63914*x3 + 0,201308*x4 + 1,92428*x5 + 1,27445*x6 -
11,723*x7 + 0,322213*x9 - 0,0941571*x16 + 89,7031*x17 - 91,06*x18 +
1,07786*x19 + 3,53736*x20 + 0,802039*x21
geschrieben werden.
Verwendet man die optimale Teilmenge {X 7 , X 9 , X 17 , X 18 , X 19 , X 21 } die man nach dem C p
Kriterium von Mallows über alle möglichen Teilmengen von Prozessvariablen aufgefunden
hat, dann erhält man die Prozessgleichung in folgender Tabelle.
Tabelle 5.14.3: Prozessgleichung für die C p optimale Teilmenge von Prozessvariablen
Optimale Prozessgleichung
-----------------------------------------------------------------------------
Produktvariable: Produktvariablee: y1
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT -229,092 48,0022 -4,77254 0,0000
x7 -10,9841 2,41239 -4,5532 0,0000
x9 0,278296 0,043022 6,4687 0,0000
x17 90,2917 15,5109 5,82117 0,0000
x18 -92,135 14,6712 -6,28001 0,0000
x19 0,973529 0,332094 2,93148 0,0042
x21 0,824957 0,203737 4,04912 0,0001
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 3501,64 6 583,607 37,99 0,0000
Residual 1551,65 101 15,3629
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 5053,3 107
R-squared = 69,2942 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 67,4701 percent
Standard Error of Est. = 3,91956
Mean absolute error = 2,85277
Durbin-Watson statistic = 1,0026
Bemerkung zur Tabelle 5.14.3
Die 1. Spalte der beiden Tabellen beinhaltet die Parameterbezeichnung, die 2. Spalte die
Koeffizienten der Prozessgleichung. Die Prozessgleichung kann auch in der Form
y1 = -229,092 - 10,9841*x7 + 0,278296*x9 + 90,2917*x17 - 92,135*x18 +
0,973529*x19 + 0,824957*x21
geschrieben werden. In der 3. Spalte stehen die Standardabweichungen für die Koeffizienten
der Prozessgleichung. Die 4. Spalte ist für die Werte der t-Statistik

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
317
t
j
BY.
j N − n
= ⋅
jj
S A
R
mit A jj als einem Diagonalelement von A –1
xx reserviert. Die letzte Spalte beinhaltet die berechneten
Irrtumswahrscheinlichkeiten für den t-Test. Sind diese Werte < 0.05, dann ist
der zugehörige Regressionskoeffizient statistisch gesichert von null verschieden, d. h. dann
hat x j einen wesentlichen Einfluss auf Y.
Das Maß der Beherrschbarkeit des vollständigen Ansatzes sinkt durch den Übergang zum
C p -optimalen Ansatz. Die Reststandardabweichung wird geringfügig kleiner. Das liegt aber
offensichtlich an der Anzahl der FG.
Schrittweise Auswahl der unwesentlichen Prozessvariablen nach dem Verfahren von Draper,
Smith
Das schrittweise Verfahren von Draper Smi th wurde von Miller [1984] beschrieben und vorn
in diesem Abschnitt diskutiert.
Beispiel 5.14.2: Chemischer Prozess. Schrittweise Auswahl der unwesentlichen
Prozessvariablen
Das Verfahren liefert die Prozessgleichung
Tabelle 5.14.4: Ergebnis für die Prozessgleichung nach der schrittweisen Auswahl
Prozessgleichung
-----------------------------------------------------------------------------
Produktvariable: y1
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT -224,444 49,8182 -4,50527 0,0000
x7 -10,9184 2,42925 -4,49457 0,0000
x9 0,273991 0,0447462 6,12322 0,0000
x17 90,3134 15,5777 5,7976 0,0000
x18 -92,2535 14,7377 -6,25969 0,0000
x19 0,959545 0,335657 2,85871 0,0052
x21 0,838724 0,207968 4,03294 0,0001
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 3490,06 6 581,676 37,54 0,0000
Residual 1549,53 100 15,4953
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 5039,59 106
R-squared = 69,2528 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 67,408 percent
Standard Error of Est. = 3,93641
Mean absolute error = 2,86302
Durbin-Watson statistic = 1,00251

318 5 Qualität in der Fertigung
oder wird in der üblichen Weise geschrieben:
y1 = -224,444 - 10,9184*x7 + 0,273991*x9 + 90,3134*x17 - 92,2535*x18 +
0,959545*x19 + 0,838724*x21
Diese Gleichung stimmt mit der C p -optimalen Gleichung überein. Die geringfügigen Abweichungen
sind numerischer Art.
5.14.3 Red-Auswahlverfahren von Jahn
Für das Modell mit stochastischen Input- un d Prozessvariablen wurde von Jahn [1991] das Red
Auswahlverfahren entwickelt. Dieses Verfahren basiert auf der Reduktion der bedingten Varianz
2
σ Y / X durch Hinzunahme weiterer Input- und Prozessvariablen bzw. auf der Reduzierung dieser
Varianz durch Streichen von Input- und Prozessvariablen und realisiert die Anforderungen an
das optimale p* und die dazu gehörende Teilmenge von wesentlichen Input- und Prozessvariablen.
Außerdem liefert dieses Verfahren die „wahre“ Rangfolge der Input- und Prozessvariable
bzgl. ihres Einflusses auf den (die) Produktvariablen.
Zur Untersuchung der durch die Streichung eines Teilvektors bedingten Veränderungen auf die
Modellparameter Regressionskoeffizienten, bedingte Varianz (Restvarianz),„Vorhersagefehler“,
Maß der Beherrschbarkeit des Prozesses und die Teststatistiken, wird von einer beliebigen,
disjunk ten Zerlegung des Vektors X der Input- und Prozessvariable in X T = [X(k) T , X(h) T ],
mit
k = (k 1 , …, k p ), k 1 < k 2 < … < k p und h = (h 1 , …, h n – p ), h 1 < h 2 < … < h n – p
ausgegangen. Damit erhält man die Zerlegung (siehe Glossar) der positiv definiten Kovarianzmatrix
⎛ΣYY ΣYk ΣYh
⎞
Σ = ⎜ Σkk
Σ ⎟
kh ,
⎜ ⎟
⎝
Σ ⎠
hh
wobei die Teilmatrizen die Ordnungen Σ YY : m × m, Σ kk : p × p, Σ hh : (n – p) × (n – p), Σ Yk : m × p,
Σ Yh : m × (n – p) und Σ kh : p × (n – p) haben.
Entsprechend der Kovarianzmatrix kann man die Momente der bedingten Verteilung, den
bedingten Erwartungswert (Regressionsfunktion) und die bedingte Kovarianzmatrix zerlegen.
Man erhält das folgende Ergebnis.
Zerlegungssatz für die Momente einer bedingten Verteilung:
Es sei Z ~ N m + n (0, Σ), Σ > 0 (positiv defi nit).
und
T
T
Yk . / h βYh . / k
E[ Y/ X( k), X( h)] = β ⋅ X( k) + ⋅ X( h)
T
YY / k Y . h / k hh / k Y . h / k YY / X
var [ Y/ X( k), X(
h)] = Σ − β ⋅ Σ ⋅ β : = Σ ,

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
319
wobei
T
Yk . / h = Yk . / h⋅
−1
kk/
h,
T
−1
Yh . / k = Yh . / k⋅
hh/
k,
−1
Yk . / h Yk Yh
−1
hh hk
Yh . / k
hh / k =
Yh
hh −
Yk
hk ⋅
kk
−1
kk ⋅
kh
kh
kk/
h = kk − kh ⋅
−1
hh ⋅ hk
β Σ Σ
β Σ Σ
Σ
Σ
= Σ
= Σ
− Σ
− Σ
⋅ Σ
⋅ Σ
⋅ Σ
⋅ Σ
= cov{[ Y, X( k)]/ X( h)},
= cov{[ Y, X( h)]/ X( k)},
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
,
.
Beweis: Jahn [1991].
Dieser Satz besagt, dass eine Regressionsfunktion als Summe zweier bedingter Regressionsfunktionen
darstellbar ist; einmal zwischen Y und X(k) unter der Bedingung X(h) und zum
anderen zwischen Y und X(h) unter der Bedingung X(k). Analog zerfällt die bedingte Kovarianzmatrix
ebenfalls in zwei Bestandteile; einmal die bedingte Kovarianzmatrix des Vektors
der Produktvariable Y unter der Bedingung X(k) und zum anderen in die quadratische Form
T
βYh . / k⋅Σhh/ k⋅β Yh . / k.
Diese Form ist der Anteil, um den die bedingten Varianzen und Kovarianzen von Y unter
der Bedingung X(k) verringert werden, wenn der Teilvektor der Input- und Prozessvariable
X(h) zu dem Teilvektor X(k) hinzu genommen wird. Daher wird die quadratische Form
T
Yh . / k hh/ k Yh . / k
β ⋅Σ ⋅β RED p (h) genannt. Die Umkehr dieser Interpretation ist, Red p (h) ist die
proportionale Vergrößerung der bedingten Varianz z. B. der Produktvariablen Y r , r = 1, …, m
unter der Bedingung X, wenn die Input- und Prozessvariablen X(h) gemeinsam gestrichen
werden.
Was bedeutet die Teilmengenregression?
Die Zerlegung des bedingten Erwartungswertes und der bedingten Varianz dienen dem Auffinden
eines Auswahlverfahrens für eine optimale Teilmenge von Input- und Prozessvariablen
im Sinne der Minimierung des unbedingten Vorhersagefehlers und der Auseinandersetzung
mit der Hocking’schen Teilmengenregression, die z. B. in Hocking and Lesie [1967], Hocking
[1972, 1976], beschrieben wurde.
T
Y / k () Y / k
Y = β ⋅ X k + F
T
1
mit F Y/k ∼ N p (0, Σ YY/k ) und ist unabhängig von X(k), wobei βY / k = ΣY.
k Σkk
− . Der Vergleich der
Teilmengenregression mit dem Zerlegungssatz zeigt eine Übereinstimmung des vollständigen
Ansatzes mit der Teilmengenregression nur für den Fall Σ Yh = 0 und Σ kh = 0. Ist nur Σ kh = 0,
dann gilt
mit
T
T
Y / k () βY / h () Y / X
Y = β ⋅ X k + ⋅ X h + F
Y / X = YY T
/ k − Y / h ⋅ YY / h ⋅ Y / h
var ( F ) Σ β Σ β .
Da diese Fälle bei praktischen Anwendungen erkannt würden, besitzen sie nur theoretisches
Interesse. Über die Auswirkung der Streichung von X(h) aus dem Ansatz gibt der folgende
Satz Auskunf t.

320 5 Qualität in der Fertigung
Satz: Unter den bisherigen Voraussetzungen gilt
und damit
T T T
−1
Y / k = Y. k/ h + Y. h/
k ⋅ hk ⋅ kk,
T
−1
Y / k = Y / X + βY. h/
k ⋅ − Σhk ⋅ Σkk
β β β Σ Σ
F F [ X( h) ]
T
YY/ k = YY/ X + Yh . / k⋅ hh/ k⋅
Yh . / k.
Σ Σ β Σ β
Die Elemente der bedingten Kovarianzmatrix Σ YY/k sind größer als die von Σ YY/X und zwar um
genau die Elemente von Red p (h).
Die Vorhersagefehler der Teilmengenregression sind
und
T
T −1
N. k= ΣYY / k+ βY. h/ k⋅ Σhh/ k⋅βY. h/
k ⋅ + E ⋅ kk⋅
E
M ( ) [1 X () k A X ()] k
U
⎛ p ⎞
= ( + ⋅ ⋅ ) ⋅ ⎜1+
⎝ N − p −1⎟
⎠ .
T
N. k ΣYY / k βY. h/ k Σhh/ k βY. h/
k
Der Vergleich der beiden unbedingten Vorhersagefehler U N.n und U N.k liefert ein erstes Indiz
für die Konstruktion des Auswahlverfahrens, denn die Diagonalelemente der Vorhersagefehlermatrizen
sind die Vorhersagefehler für jede Produktvariable Y j , j = 1, …, m und für diese
genügt es, wenn gilt
mit
n − p
N − n −1
T
Yh . / k⋅ hh/ k⋅ Yh . / k ≤ YY/ X ⋅ .
β Σ β Σ
T
Y ⋅ M0. ( 2)
ˆ jk ⋅Y ⋅ N −
Fjk
= , j = 1, …,
n
T
Y ⋅ M Y
jk
T T −1 T T T T −1 T −1
0, jk = ( − k ⋅( k ⋅ k ) ⋅ k) ⋅ j [ j ⋅ j − j ⋅ k ⋅( k ⋅ k ) ⋅ k ⋅ j ] ⋅ j
−1
⎡ X
T T
⎛ k⎞ ⎤ X
T T
⎛ k⎞
= I − ( Xj , Xk ) ⋅ ⎢⎜ ( Xk Xj
)
X ⎟ ⋅ ⎥ ⎜
j
X ⎟
j
M I X X X X X X X X X X X X X X
⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦
⎝ ⎠
berechnet. Die Entscheidungen werden entsprechend dem 1. Schritt vorgenommen.
Die Vorhersagefehler sind unbekannt und müssen ebenfalls bestimmt werden. Die ML-Schätzfunktion
für den Vorhersagefehler ist
ˆ 2 ⎛
. / 1 n ⎞
UNn = SY X ⎜ +
⎝
⎟
N − n −1⎠
.
Der Vorhersagefehler kann nun mit der Stichprobenkovarianzmatrix und dem geschätzten
Red nach der Formel
ˆ ˆ
2 ⎛ p ⎞
UNn ′ . = [Red p( h) + ( N − n − 1) SY/
X] ⎜1
+
⎝ N − p −1⎟
⎠
bestimmt werden.

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
321
Bei einem sehr hohen Grad der Multikollinearität δ können Sie anstelle der Stichprobenkovarianzmatrix
besser die Stichprobenkorrelationsmatrix R
ˆ ˆ
2 ⎛ p ⎞
UNn ′′ . = [Red′ p( h) + ( N − n − 1) SY′ / X] ⎜1
+
⎝ N − p −1⎟
⎠
verwenden, wobei ˆRed ′ p( h ) mit den Diagonalelementen der inversen Korrelationsmatrix −1
R XX
2
gebildet wird. Analoges gilt für S′ Y / X .
Die ML-Schätzfunktionen für den unbedingten Vorhersagefehler können umgeschrieben
werden. Man erhält
ˆ ˆ
2 ⎛ p ⎞
UNn ′ . = [Red p( h) + ( N − n − 1) SY/
X] ⎜1
+
⎝ N − p −1⎟
⎠
ˆ
2 N − 1
= [Red p( h) + ( N − n −1) SY / X]
N − p −1
ˆ ˆ
2 ⎛ p ⎞
UNn ′′ . = [Red′ p( h) + ( N − n − 1) SY′ / X) ⎜1
+
⎝ N − p −1⎟
⎠
ˆ
2 N − 1
= [Red′ p( h) + ( N − n − 1) SY′
/ X)
.
N − p −1
N ist konstant, daher kann man die Vorhersage im Sinne des Kriterium von Mallows umschreiben,
d. h. N – 1 weglassen. Damit erhält man
S
n
2 ˆRed ( ) ( 1)
ˆ p h + N − n − SY / X
= UC, N. n =
.
2
( N − p −1)
p* wird dann geschätzt, indem man für alle möglichen Teilmengen das kleinste U ˆ CNn , . sucht.
Das dazu gehörende p bezeichnet man mit ˆp und betrachtet es als Schätzung für p*. Da ˆp eine
Schätzung für p* ist, die aus den Realisierungen der Produktvariablen Y und des Vektors der
Input- und Prozessvariablen X ermittelt wurde, kann anstelle der Optimalität des Verfahrens
nur die asymptotische Optimalität nachgewiesen werden, d. h. es gilt die Wahrscheinlichkeit,
dass
Uˆ
N. pˆ
( N)
⎯⎯⎯⎯⎯→ 1.
U
N−n( N)
→∞
N.
pˆ
( N)
ˆRed ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 T
ph = AY / k− AY / X= N − p ⋅ SY / k− N − n ⋅ SY / X= BY. h/ k⋅ Ahh/ k⋅
BY. h/
k
ist die Schätzfunktion für Red p (h). Die Minimierung des unbedingten Vorhersagefehlers beinhaltet
zwei Teilaufgaben, nämlich
•
•
die Bestimmung der optimalen Anzahl der Elemente der Teilmenge und
die Auswahl der wesentlichen Input- und Prozessvariablen.

322 5 Qualität in der Fertigung
Das Red Auswahlverfahren
Da der Term N – 1 in der Formel U ˆ N . p konstant ist, genügt es, den Ausdruck
S
p
2 ˆ
Y / X p
( N − n −1) ⋅ S + Red ( h)
=
( N − p −1) ⋅( N − p −1)
zu minimieren.
Das Red Auswahlverfahren läuft in mehreren Schritten ab.
Im ersten Schritt wird für jede Input- und Prozessvariable
ˆRed ( )
2 2
p j = BY. j/ n−j ⋅ Sj/
n−j
berechnet, wobei die Indexmenge h nur das Element j und demzufolge die Indexmenge k die
restlichen n – j Elementen beinhaltet. S 2 j/
n− jist die Maximum Likelihood Schätzfunktion
für die bedingte Varianz der j ten Input- oder Prozessvariablen unter der Bedingung, dass die
−1
restlichen Input- und Prozessvariablen konstant gehalten werden. Aus der Matrix S XX kann
2
S − j/
n− j abgelesen werden. Analog kann man natürlich auch mit der Korrelationsmatrix R XX
2
rechnen. Durch die Kehrwertbildung erhält man sofort den Wert A j/
n−
j .
B Y.j/n – j ist folglich der j-te Regressionskoeffizient der j-ten Input- oder Prozessvariablen. Dieser
Koeffizient kann nach dem Zerlegungssatz gemäß der Zerlegung
T
T
Y / X = Y. j/ n−j Y. n−j/
j
B ( B , B )
sofort aus dem vollständigen Ansatz abgelesen werden.
Die Minimierung des unbedingten Vorhersagefehlers U ˆ N . p mit Red p (h) erfolgt über die Lösung
der oben genannten zwei Probleme
•
•
Bestimmung des optimalen p ˆ * und
die Auswahl der Input- und Prozessvariablen, die in X(k) zusammengefasst werden und
die U ˆ N . p minimieren.
Weiter oben wurde bereits darauf verwiesen, dass es aufgrund der Konstanz von N ausreichend
ist, S p (h n – p ) zu minimieren. Für den vollen Ansatz gilt
2
Y / X
n −1
S
Sn
=
N −
anstelle von U ˆ Nn . .
Mit den berechneten ˆRed n−
1 ( j ) , j = 1, …, n werden alle Input- und Prozessvariablen in eine
Rangfolge X [1] , …, X [n – p – 1] , X [n – p] , X [n – p + 1] , …, X [n] geordnet, in der X [1] die unwichtigste
Input- oder Prozessvariable ist, da diese beim Streichen den unbedingten Vorhersagefehler
am geringsten vergrößert.
Der Ansatz ohne die unwichtigste Input- oder Prozessvariable
S
( h ) =
n−1 [1]
wird mit S n verglichen.
ˆRed ([1]) ( 1)
( N − n) ⋅( N − n −1)
2
n−1 + N − n − ⋅ SY / X

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
323
Gilt
S
n−1 ≤ Sn,
dann wird X [1] d. h. h [1] = h 1 = ([1]) aus der Analyse entfernt. Im anderen Fall, d. h. falls
Sn− 1 > Sn
, kann der vollständige Ansatz nicht reduziert werden.
Im ˆRed nächsten Schritt ist zu prüfen, ob mit X [1] auch X [2] gestrichen werden kann. Hierfür ist
n− 2 ( h2
) zu berechnen, wobei h 2 = ([1], [2]) die zweielementige Teilmenge der beiden
unwichtigsten Input- und Prozessvariablen ist.
Gilt nun
Red ˆ ( h ) ≤ Red ˆ ([3])
und
S
n−2 2 n−1
n−2 ≤ Sn−1 ,
dann kann die Teilmenge X(h 2 ) T = (X [1] , X [2] ) aus dem Ansatz gestrichen werden.
Gilt dagegen
aber
Red ˆ ( h ) > Red ˆ ([3]),
S
n−2 2 n−1
n−2 ≤ Sn−1 ,
muss man prüfen, ob alle möglichen Zweier-Teilmengen, die alle die 3. Input- oder Prozessvariable
beinhalten, ein kleineres ˆRed n− 2 als ˆRed n− 1([3])
liefern und damit ein kleineres
S ˆ
p [Red n− 2( h2)]
ergeben. In diesem Fall wird das Verfahren fortgesetzt. Andernfalls ist das
Verfahren beendet.
Es gilt
ˆRed 1
.[1]/ [1]
2 ( 2 ) ( .[1]/ [1] , .[2]/ 2] ) −
Y n−
n− h = bY n− bY n− ⋅ S[1].[2]/ n−[1].[2]
⋅ ⎜
⎝b
⎟ ,
Y.[2]/ n−2]
⎠
wobei wiederum die beiden Regressionskoeffizienten b Y.[1]/ n−[1]
und b Y.[2]/ n−2]
aus dem vollständigen
Ansatz abgelesen werden und S [1].[2]/n – [1].[2] entweder aus der inversen Matrix SXX
− 1
abgelesen oder entsprechend durch Invertierung der zerlegten Matrizen gebildet wird.
In dieser Weise wird das Verfahren so lange fortgesetzt, wie
Red ˆ ( h ) ≤ Red ˆ ([ n − p + 1])
und
p n−p n−1
S ( h ) ≤ S ( h )
p n− p p+ 1 n−p−1
gilt, wobei im (n – p)-ten Schritt h n – p = ([1], [2], …, [n – p]). Die Teilmenge h n – p kann in
diesem Fall gestrichen und das Verfahren mit der Erweiterung der Teilmenge h n – p um die
[n – p + 1]-te Input- oder Prozessvariable fortgesetzt werden.
Sind beide Bedingungen nicht erfüllt, dann ist man am Ende des Auswahlprozesses angelangt.
Gilt jedoch
Red ˆ ( h ) > Red ˆ ([ n − p + 1])
p n−p n−1
⎛b
⎞

324 5 Qualität in der Fertigung
und
S ( h ) ≤ S ( h ),
p n− p p+ 1 n−p−1
dann ist das Verfahren in der 2. Stufe fortzusetzen.
Wie vorher wird die Teilmenge
([1], …, [n – p], [n – p + 1])
betrachtet. Aus dieser werden alle Teilmengen mit (n – p) Input- und/oder Prozessvariablen,
die alle die [n – p + 1]-te Input- oder Prozessvariable beinhalten, gebildet. Es sind dies die
Teilmengen
(1)
n−
p
(2)
n−
p
( n−
p)
n−
p
h = ([2],[3],…,[ n − p],[ n − p + 1]),
h = ([1],[3],…,[ n − p],[ n − p + 1]),
h = ([1],[2],…,[ n − p −1],[ n − p + 1])
Hierfür werden die ˆRed p( hn − p)
berechnet.
Ist das Kleinste aller bisher berechneten
⎡ ⎛n − p⎞⎤
⎛n − p + 1⎞
⎢1 + ⎜ ⎥ =
, d.h.
⎝ 1 ⎟
⎠
⎜
⎝ 1 ⎟
⎣ ⎦
⎠
⎧
⎛n
− p⎞
⎫
⎪
⎜ 1 ⎟
⎪
⎝ ⎠
⎪ Min Red ˆ ( ), Min [Red ˆ l ⎪
⎨
( )] Red ˆ
p hn−p p hn−p ⎬ ≤ n−p([ n − p + 2]),
⎪
l = 1
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎭
dann ist die Auswahl beendet und die zugehörige Teilmenge wird gestrichen.
Gilt dagegen
⎧
⎛n
− p⎞
⎫
⎪
⎜ 1 ⎟
⎪
⎝ ⎠
⎪ Min Red ˆ ( ), Min [Red ˆ l ⎪
⎨
( )] Red ˆ
p hn−p p hn−p ⎬ > n−p([ n − p + 2]),
⎪
l = 1
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎭
dann wird das Verfahren fortgesetzt. Hierzu wird die Teilmenge
hn− p+ 2 = ([1], …,[ n − p + 2])
gebildet. Aus dieser werden alle Teilmengen mit (n – p) Input- und Prozessvariablen, die alle
die [n – p + 2]-te Input- oder Prozessvariable beinhalten, gebildet. Für all diese Teilmengen
werden die Red’s berechnet. Ist das Kleinste aller bisher berechneten

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
325
⎡ ⎛n − p⎞ ⎛n − p + 1⎞⎤
⎛n − p + 2⎞
⎢1
+ ⎜ + ⎥ =
⎝ 1 ⎟
⎠
⎜
⎝ 2 ⎟
⎠
⎜
⎝ 2 ⎟
⎣
⎦
⎠
ˆRed p( hn − p)
kleiner oder gleich ˆRed n−1([ n − p + 3]) , dann hat man die optimale Teilmenge
gefunden und das Verfahren ist beendet.
Andernfalls ist das Verfahren wie bisher beschrieben fortzusetzen. In der q-ten Stufe müssten
⎡ ⎛n − p⎞ ⎛n − p + q −1⎞⎤
⎛n − p + q⎞
⎢1
+ ⎜ + + =
1 ⎟ …
⎥
⎝ ⎠
⎜
⎝ q ⎟
⎠
⎜
⎝ q ⎟
⎣
⎦
⎠
l ˆRed p( hn − p)
berechnet und mit ˆRed n−1([ n − p + q])
verglichen werden. Da q = 1, …, n – p
⎛n⎞
müssten im ungünstigsten Fall ⎜
⎝p⎟
solche Teilmengenuntersuchungen durchgeführt werden.
⎠
Satz: Dieser Algorithmus liefert das Minimum des unbedingten Vorhersagefehlers.
Beweis: siehe Jahn [1991b].
Empfehlungen
Insbesondere im Falle hoch multikollinearer Kovarianzmatrizen sind alle Berechnungen
im standardisierten Modell durchzuführen, d. h. auf der Basis der Korrelationsmatrix. Die
Rechenzei ten werden kürzer und die Ergebnisse wesentlich genauer.
Abbruch des Verfahrens:
Gilt sowohl
Red ˆ ( h ) > Red ˆ ([ n − p + 1])
als auch
p n−p n−1
S ( h ) > S ( h ),
p n− p p+ 1 n−p−1
dann ist das Verfahren beendet und h n – p ist die zu streichende Teilmenge, die U N.n minimiert.
Gilt
Red ˆ ( h ) > Red ˆ ([ n − p + 1])
aber
p n−p n−1
S ( h ) ≤ S ( h ),
p n− p p+ 1 n−p−1
dann ist das Verfahren in der 2. Stufe fortzusetzen. In dieser Stufe werden alle Teilmengen mit
n – p Input- und Prozessvariablen, die alle die [n – p + 1]-te Variable beinhalten, gebildet. Das
Verfahren kann nach der 2. Stufe abgebrochen werden, da der Rechenaufwand sehr hoch wird
und die Verbesserung minimal ist.
Bei sehr hoch multikollinearen Matrizen sollte das Verfahren eventuell nach der 1. Auswahl noch
einmal mit den verbleibenden wesentlichen Input- und Prozessvariablen neu gestartet werden.

326 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.14.3: Chemischer Prozess. Red-Auswahlverfahren
Das obige Beispiel ist ein Modell mit stochastischen Input- und Prozessvariablen. Der
vollständige Ansatz mit n = 12 Prozessvariablen liefert das Ergebnis der Tabelle 5.14.5.
Tabelle 5.14.5: Prozessgleichung mit allen Prozessvariablen
Prozessvar. Koeff.Proz.Gleich. t-Wert Irrtumswahrsch. Red(j)
b 0 –408,705 –1,905 0,0598 0
X 3 –0,63914 –0,75 0,455 0,0838
X 4 0,2013 0,385 0,701 0,02208
X 5 1,92428 0,1017 0,919 0,00154
X 6 1,2744 0,0742 0,941 0,00082
X 7 –11,7229 –2,9449 0,00406 1,2929
X 9 0,32221 5,3921 0 4,3345
X 16 –0,094157 –0,1113 0,9116 0,001848
X 17 89,703117 4,8434 0 3,49726
X 18 –91,06 –5,0647 0 3,82416
X 19 1,07785 2,2573 0,0263 0,75965
X 20 3,53736 1,26999 0,20719 0,24045
X 21 0,80203 3,38099 0,001 1,7041
Das Modell mit den wesentlichen Prozessvariablen ist in der Tabelle 5.14.6 enthalten.
Tabelle 5.14.6: Prozessgleichung mit den wesentlichen Prozessvariablen
Prozessvar. Koeff.Proz.Gleich. t-Wert Irrtumswahrsch. Red(j)
b 0 –367,637 –3,029 0,00312 0,0000
X 20 3,14768 1,242 0,217 0,2404
X 19 0,96515 2,913 0,0044 0,75965
X 7 –11,1443 –4,6253 0,00001 1,2929
X 21 0,75278 3,562 0,00057 1,7042
X 17 95,681 5,9554 0,0000 3,4973
X 18 –97,11326 –6,401 0,0000 3,8241
X 9 0,29609 6,54563 0,0000 4,33456
Die F-Statistik hat den Wert 32.956 mit der Irrtumswahrscheinlichkeit p = 2.662e–023. Das
vollständige wird mit dem reduzierten Modell anhand des Maßes der Beherrschbarkeit, des
Vorhersagefehlers und der bedingten Standardabweichung verglichen.
Tabelle 5.14.7: Vergleich des vollständigen und reduzierten Modells
Statistik Vollständiges Reduziertes
Maß d. Beherrschbarkeit 0,7001 0,6976
Vorhersagefehler 3,9939 3,909
Bedingte Standardabw. 3,7633 3,779
FG d. Residuen 95 100

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
327
Der Vergleich mit den „klassischen“ Auswahlverfahren liefert uns die folgenden Resultate:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Nach dem Red-Auswahlverfahren verbleiben 7 Prozessvariablen im Ansatz.
Die wesentlichen Prozessvariablen nach dem Red-Verfahren sind X 7 , X 9 , X 17 , X 18 , X 19 ,
X 20 und X 21 . Die Prozessvariablen X 3 , X 4 , X 5 , X 6 , X 16 werden als unwesentlich erkannt
und gestrichen.
Die Rangfolge der wichtigen Prozessvariablen nach dem Red-Verfahren ist X [1] = X 9 ,
X [2] = X 18 , X [3] = X 17 , X [4] = X 21 , X [5] = X 7 , X [6] = X 19 , X [7] = X 20 .
Nach den „klassischen“ Verfahren verbleiben 5 Prozessvariablen im Ansatz.
Die wesentlichen Prozessvariablen nach den „klassischen“ Verfahren sind X 7 , X 9 , X 17 , X 18 ,
X 19 und X 21 . Die Prozessvariablen X 3 , X 4 , X 5 , X 6 , X 16 und X 20 werden als unwesentlich
erkannt und gestrichen.
Die Rangfolge ist: X [1] = X 9 , X [2] = X 18 , X [3] = X 17 , X [4] = X 7 , X [5] = X 21 , X [6] = X 19 .
Die Rangfolgen unterscheiden sich.
2
Die Maße der Beherrschbarkeit sind nach der klassischen Auswahl R Y / p = 0.6929 und
nach der Red-Auswahl R 2 Y/p = 0.6976 unterscheiden sich.
Die Reststandardabweichungen nach der klassisch Auswahl S Y/X = 3.919 und nach der
Red-Auswahl s Y/X = 3.779 unterscheiden sich.
Warum unterscheiden sich die „klassischen“ von dem Red-Auswahlverfahren?
Die Ursachen für die Ungleichheit der verschiedenen Verfahren sind:
• Bei den klassischen Verfahren werden alle n Einzelhypothesen des 1. Schrittes individuell,
nacheinander und nicht simultan geprüft, d. h. der Fehler 1. Art wird separat für jede
Einzelhypothese nach
P ( Fˆ
≤ F / H ) = 1−
α
j
α
0. j
gewählt. Das ist nicht korrekt!
• Die univariaten einfachen Modelle E[Y] = β Y/j X j müssen nicht unbedingt „wahr“ sein. In
diesen Fällen ist F ˆj nichtzentral F verteilt mit 1 und (N – 1) FG. Die univariaten Modelle
müssen auch nicht unter Gültigkeit der H 0.j richtig sein. Die Nichtzentralitätsparameter
sind unbekannt.
• Bei der k-ten Entscheidung werden bei den klassischen Verfahren die vorangegangenen
Entscheidungen nicht beachtet.
• Das Red-Auswahlverfahren basiert in natürlicher Weise auf der Verringerung der bedingten
Varianz (Restvarianz) durch Hinzufügen einer neuen Prozessvariablen, oder alternativ, auf
der Vergrößerung der bedingten Varianz durch Streichen einer Prozessvariablen.
• Die bedingte Varianz und die Tests werden unterschiedlich vom Grad der Multikollinearität
beeinflusst.
Nimmt der Unterschied zwischen den beiden Verfahren mit zunehmender Anzahl von
Variablen zu?
Zur Beantwortung dieser Frage betrachten wir das Beispiel des chemischen Prozesses mit einer
größeren Anzahl von Input- und Prozessvariablen.

328 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.14.4: Chemischer Prozess. Vergleich von Reduktionsverfahren
Y 1 sei wieder der Anteil der unerwünschten Substanz. Gegeben sind des weiteren p = 11
Input und n = 21 Prozessvariablen. Das Modell nach der schrittweisen Auswahl ist in der
Tabelle 5.14.8 enthalten.
Tabelle 5.14.8: Modell nach der schrittweisen Auswahl
Prozessgleichung
-----------------------------------------------------------------------------
Produktvariable: y1
-----------------------------------------------------------------------------
Standard
T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT 32,7401 13,4005 2,4432 0,0164
x7 -6,31507 1,49519 -4,22359 0,0001
x11 -0,011167 0,00382231 -2,92152 0,0043
x17 5,07868 1,34843 3,76636 0,0003
x21 0,689957 0,12185 5,66233 0,0000
z1 0,752165 0,143026 5,25895 0,0000
z2 2,01531 0,631772 3,18994 0,0019
z3 0,0160964 0,00763823 2,10735 0,0377
z5 0,121066 0,0086293 14,0297 0,0000
z9 -0,0037483 0,00126582 -2,96116 0,0039
z11 0,000460799 0,000129713 3,55245 0,0006
-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
-----------------------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Model 4625,68 10 462,568 104,93 0,0000
Residual 427,621 97 4,40846
-----------------------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 5053,3 107
R-squared = 91,5378 percent
R-squared (adjusted for d.f.) = 90,6654 percent
Standard Error of Est. = 2,09963
Mean absolute error = 1,48313
Durbin-Watson statistic = 1,41397
Die Red-Auswahl liefert das Modell in der Tabelle 5.14.9.
Der Vergleich des schrittweisen und des Red-Auswahlverfahrens liefert folgende Ergebnisse:
Nach dem schrittweisen Verfahren werden die Variablen
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 8 , x 9 , x 10 , x 12 , x 13 , x 14 , x 15 , x 16 , x 18 , x 19 , x 20 , z 4 , z 6 , z 7 , z 10
gestrichen, nach dem Red-Auswahlverfahren werden die Variablen
x 4 , x 5 , x 8 , x 12 , x 13 , x 14 , x 15 , x 16
gestrichen. Die Mengen der unwesentlichen, gestrichenen Variablen sind verschieden.

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
329
Tabelle 5.14.9: Red-Auswahl
Value Std.Error t-value Pr(>|t|) Redn1
b 0 2.027252e+002 2.243049e+002 0.90379 0.36872 0.00000000
z 10 –6.204065e–004 5.822072e–004 –1.06561 0.28969 0.01659399
z 4 1.954888e–001 1.817600e–001 1.07553 0.28525 0.03508154
x 11 –2.643214e–002 1.165562e–002 –2.26776 0.02594 0.03583230
x 6 –7.249619e+000 6.719864e+000 –1.07883 0.28379 0.03744574
v 18 –2.017283e+001 1.669251e+001 –1.20850 0.23029 0.04066924
v 19 3.563528e–001 2.197435e–001 1.62168 0.10867 0.04790650
x 17 2.299280e+001 1.575657e+001 1.45925 0.14827 0.05208574
x 1 1.117445e+000 6.533908e–001 1.71022 0.09096 0.05374786
z 6 –1.495682e–002 1.464805e–002 –1.02108 0.31018 0.05745906
x 7 –7.100759e+000 2.046982e+000 –3.46889 0.00083 0.05826068
z 8 –3.658574e–001 2.529059e–001 –1.44661 0.15177 0.06943185
x 3 –6.214773e–001 5.310112e–001 –1.17037 0.24520 0.07239814
z 7 –5.642632e+001 3.649344e+001 –1.54620 0.12586 0.09617223
x 9 2.859829e–001 1.464424e–001 1.95287 0.05421 0.09727591
x 20 4.399184e+000 2.540006e+000 1.73196 0.08700 0.14827725
z 2 1.457339e+000 6.175290e–001 2.35995 0.02062 0.16755061
z 3 1.739045e–002 7.359728e–003 2.36292 0.02047 0.17278911
z 11 9.192015e–004 3.210841e–004 2.86281 0.00531 0.19585702
x 10 3.788326e–002 1.252605e–002 3.02436 0.00332 0.20522901
z 9 –4.191362e–003 1.502543e–003 –2.78951 0.00655 0.23452021
x 2 –5.915323e+000 2.305041e+000 –2.56625 0.01208 0.26927001
x 21 6.039320e–001 1.607141e–001 3.75780 0.00032 0.28263726
z 1 1.586419 0.38234719 4.14916 8e–005 0.5332058
z 5 0.103754 0.01126534 9.21002 0e+000 1.2338190
F-Statistic: 51.6531840865295 with a p-value of: 3.16569470906557e–040
Statistic Complete_Model Red_Reduction
Rsquared 0.939247 0.9372484
UNn/UNp 4.093372 3.8205083
Sqrt_UNn/UNp 2.023208 1.9546121
RSS 307.002919 317.1021928
syx/syp 1.693867 1.7215028
Residual_df 75 83

330 5 Qualität in der Fertigung
Die Rangfolge für das schrittweise Verfahren ist
Z 5 , X 21 , Z 1 , X 7 , X 17 , Z 11 , Z 2 , Z 9 , X 11 , Z 3
und für das Red-Auswahlverfahren
Z 5 , Z 1 , X 21 , X 2 , Z 9 , X 10 , Z 11 , Z 3 , Z 2 , X 20 , X 9 , Z 7 , Z 6 , X 1 , X 17 , X 19 , X 18 , X 6 , X 11 , Z 4 und Z 10 .
Die Rangfolgen sind verschieden.
Die Maße der Beherrschbarkeit (klassisch R 2 = 0.915, Red R 2 Y/X = 0.937) sind verschieden.
Die Reststreuungen (klassisch s = 2.099, Red s Y/X = 1.72) sind ebenfalls verschieden.
Wir wollen noch ein zweites Beispiel mit einer großen Anzahl von Input- und Prozessvariablen
betrachten, bevor ich meine Schlussfolgerungen ziehe.
Beispiel 5.14.5: Mikroelektronik. Red-Verfahren
Die Herstellung mikroelektronischer Schaltkreise ist kompliziert. Die Anzahl der verschiedenen
Prozesse des Netzwerkes „Herstellung“ ist groß. Die Anzahl der Input- und
Prozessvariablen ist sehr groß.
Wir wollen hier die Ausbeute an mikroelektronischen Schaltkreisen für zwei Netzwerke
betrachten. Im 1. Netzwerk ist die Anzahl der Input- und Prozessvariablen n = 52. Der
Grad der Multikollinearität ist δ = 0.8 10 58 . Im 2. Netzwerk ist n = 45 und δ = 0.2 10 27 . Die
Ergebnisse der schrittweisen Verfahren, des C p von Mollows und des Red Auswahlverfahrens
sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Tabelle 5.14.10: Ergebnisse der Auswahl nach dem schrittweisen und Red-Verfahren
n S 2 Y/p R 2 Y/p U N, p p
1. Netzwerk
vollständig 52 0,0017 0,708 0,00404
schrittweise 0,0051 0,12 0,0052 2
Red 0,0022 0,62 0,00306 25
2. Netzwerk
vollständig 45 69,55 0,52 140,7
schrittweise 112,6 0,22 116,5 3
Red 78,9 0,45 94,9 15
Diese Beispiele zeigen:
• Die schrittweisen Auswahlverfahren tendieren zu mächtigeren Auswahlmengen unwesentlicher
Input- und Prozessvariablen, d. h. die Anzahl der wesentlichen Input- und
Prozessvariablen wird zu klein.
• Mit zunehmender Anzahl von Input- und Prozessvariablen werden die klassischen Verfahren
schlechter, da bei diesen die Maße der Beherrschbarkeit zu klein und demzufolge
die Reststandardabweichungen zu groß werden.
• Mit zunehmenden Grad der Multikollinearität werden die klassischen Verfahren
schlechter, da die Reduktion der Dimension des Parameterraumes größer, ja sogar zu
groß wird.

5.14 Wie können wir die wesentlichen Input- und Prozessvariablen auswählen?
331
Gibt es Tests zur Prüfung von Hypothesen über Red p (h)?
Ja. Zur Prüfung von Hypothesen über Red p (h) kann man den overall-F-Test, Varianzanalysen
oder Tests zur Prüfung der partiell multiplen Korrelationskoeffizienten verwenden.
Wir wollen die Tests im Einzelnen betrachten.
Test zur Prüfung der Hypothese über Red n – 1 (j)
2 2 2
Aus der Darstellung [Re dn−1 ( j)]
= BY. j/ n−j ⋅S j/
n−j
folgt, dass wir zur Prüfung der
H 0 : Red n – 1 (j) = 0 gegen die Alternative H 1 : Red n – 1 (j) ≠ 0 den F-Test in der Form
ˆ Red n−1( j) ( N − n)
F =
S
2
Y / X
verwenden können. Ist F ˆ ≥ FnN
, −n
() a , dann muss die H 0 zugunsten der H 1 verworfen werden.
Dieser Test ist identisch mit dem F-Test zur Prüfung einer Einzelhypothese über einen
Koeffizienten B Y.j/n – j der Prozessgleichung.
Tests zur Prüfung der Hypothese über Red p (h)
Zur Prüfung dieser Hypothese kann ebenfalls der F-Test verwendet werden.
Die Teststatistik ist
Red ( ) ( )
2 2
T
p h ⋅ N − n ( R / / ) ( ) . / / . / ( )
ˆ( )
Y X − RY k ⋅ N − n BYh kShh kBYh k N − n
Fh = = =
2 2 2
.
( n − p) S (1 − R ) ⋅( n − p) S ( n − p)
Y / X Y / X Y / X
Ist Fh ˆ( ) ≥ F ( )
n−p,
N−n
α , dann muss die H 0 zugunsten der H 1 verworfen werden.
Varianzanalytische Prüfung
Ausgangspunkt für diese Prüfung ist die Teilmengenregression
T
Y = β ⋅ X() k + F .
Y / k Y / k
(1)
Die zu prüfende Hypothese lautet H0 : β Y / k = 0 .
Verlängert man den Vektor der Input- und Prozessvariablen X(k) durch Hinzufügen von
Komponenten aus X(h), die im Vektor X(u) zusammengefasst werden, wobei u = (u 1 , …, u s ),
u 1 < … < u s , s ≤ n – p, dann kann man prüfen, ob die Verkleinerung der Summe der Abweichungsquadrate
um die Prozessgleichung durch Verlängerung des Vektors X(k) null ist. Dieser
Umstand wird durch die Hypothese
(2)
0 β T
Yu . / k ⋅ Σ uu/ k ⋅ β Yu . / k = = p h
H : 0 Red ( )
abgebildet. Zur Prüfung dieser Hypothese wird die folgende Varianztabelle aufgebaut.
In dieser Tabelle bedeuten
T −1
Akk
−1
ATT
H = X() k ⋅ ⋅ X(),
k
p
T
Hs
= T ⋅ ⋅T,
T = X( u) ⋅( I − H ),
A
TT
= T ⋅T
T
p

332 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.14.11: Varianztabelle für die Prüfung der H 0 über Red p (h)
Variationsursache Summe der
Abweichungsquadrate
FG
F-Test
Prozessgleichung
in X(k)
Prozessgleichung
in X(k) und X(u)
T
Y ⋅ H ⋅Y
p
p
Y ⋅ H ( )
T
Y ⋅ Hs
⋅Y
s ˆ
p ⋅Y ⋅ N − p
F1
=
T
Y ⋅( I − H ) ⋅Y ⋅ p
T
p
T
Rest Y ⋅( I − Hp
− Hs)
⋅Y
N – p – s
(2) ˆF
Gesamt
T
Y ⋅ Y
und somit
T
⋅ T
T
= A
uu / k ,
so dass
T
Y ⋅ Hs
⋅ Y = ˆRed p( j).
F ˆ ∼ F′
( δ )
mit
1 pN , − p 1
T
βY / k⋅
Akk⋅βY / k
δ1 =
.
2
σ /
Y k
2
Y / k 0
Bei Gültigkeit der H 0 gilt σ Y.k = 0 und damit ρ = , δ 1 = 0 und folglich
ˆ .
F1 ∼ FpN
, − p
Bemerkungen
1. Die Teststatistik F 1 kann man mit multiplen Korrelationskoeffizienten darstellen. Es gilt
2
2
R (
/
1) ( )
Y k ⋅( N − p)
χp
δ ⋅ N − p
1 = = ∼ F
2 2
pN ′, − p δ1
(1 − RY / k)
⋅ p χN−
p ⋅ p
Fˆ ( ).
Für die Prüfung der zweiten Hypothese
ˆ (2) X ⋅ Hs
⋅Y ⋅( N − p − s)
F =
T
Y ⋅( I − H − H ) ⋅Y ⋅ s
verwendet, wobei
T
(2)
F ˆ ∼ FsN , −p−s
( δ2
)
p
s
(2)
H 0 wird die Statistik

5.15 Unter welchen Umständen ist die Annahme der Linearität gerechtfertigt?
333
ist und
T
βYu . / k⋅
Auu/ k⋅βYu . / k
δ2 =
.
2
σ / ,
Y k u
(2)
Für die Gültigkeit der H 0 ist auch diese F-Statistik zentral F verteilt mit den angegebenen
Freiheitsgraden.
2. Wegen der Darstellung
2 2
p h = ρY. h/ k ⋅σY / k
Red ( )
können zur Prüfung von Hypothesen über Red p (h) auch die Tests zur Prüfung von partiell
multiplen Korrelationskoeffizienten verwendet werden.
5.15 Unter welchen Umständen ist die Annahme der
Linearität gerechtfertigt?
Über die Voraussetzung der Linearität in den Modellen für die Proze ssgleichung wird oft und
heftig gestritten. Wir wollen zur Schlichtung des Streits hier von dem Modell mit stochastischen
Input- und Prozessvariablen ausgehen. Für dieses Modell hatten wir vorausgesetzt, dass der
Vektor Z T = (X T , Y T ) der Input-, Prozess- und Produktvariablen entweder multivariat normalverteilt
ist oder zur Klasse der elliptisch umrissenen Verteilungen gehört. Beide Annahmen
sind praktisch relevant.
Im Glossar wurde die bedingte multivariate Normalverteilung mit dem bedingten Erwartungswert
und der bedingten Varianz beschrieben.
Für den Vektor Z gilt unter den beiden Voraussetzungen
−1
Y YX XX X X
E[ Y/ X] = μ + Σ Σ ( − μ ).
Das ist eine lineare Funktion in X. Diese Funktion wird Regressionsfunktion genannt. Für die
bedingte Varianz gilt
−1
YY YX XX XY YY / X
var [ Y/ X] = Σ − Σ Σ Σ = : Σ .
Dieser Ausdruck hängt nicht von X ab.
Damit kann man den für die Anwendungen wichtigen Charakterisierungsatz aufschreiben,
der einen Zusammenhang zwischen der Verteilungsvoraussetzung und der Linearität der
Regressionsfunktion präzisiert.
Wenn der bedingte Erwartungswert eine lineare Funktion in den Variablen unter Bedingung und
die bedingte Varianz unabhängig von X ist, dann ist die zugrunde liegende gemeinsame Verteilung
eine Normalverteilung. Wenn die Verteilung von Z eine multivariate Normalverteilung ist,
dann ist der bedingte Erwartungswert eine lineare Funktion der Variablen unter der Bedingung
und die bedingte Kovarianz ist unabhängig von den Variablen unter der Bedingung.
Aus diesem Satz wird deutlich, dass der Streit entweder auf der Basis des Modells mit festen
Input- und Prozessvariablen oder akademisch geführt wird.

334 5 Qualität in der Fertigung
5.16 Warum muss ein Prozess gesteuert werden und wie
können wir einen Prozess steuern?
Jeder, der sich in sein Auto setzt und die Absicht hat, loszufahren, überlegt sich vorher, wohin
er fahren und welche Strecke er benutzen will. Niemand startet sein Auto, macht die Augen
zu und fährt los! Das Ziel der Autofahrt entspricht dem Sollwert und die zu fahrende Strecke
– entweder über das Gebirge oder durch das flache Land – kann mit der Steuerung eines Prozesses
verglichen werd en. Was jeder mit seinem privaten Fahrzeug macht, kann er auch mit
den betrieblichen Prozessen tun.
In einem heuristisch, d. h. durch Erfahrung gesteuerten oder ungesteuerten Prozess sind
•
•
•
•
die Streuungen der Input-, Prozess- und Produktvariablen in der Regel sehr groß,
die Zielwerte für die Steuerung in Form von Sollwerten und Toleranzgrenzen in der Regel
nicht bekannt,
der Ausschuss sehr hoch, die Kundenanforderungen werden nur mangelhaft erfüllt und
die uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes sind in der Regel kleiner als 1.
Die Folge hiervon ist, der Prozess muss verbessert werden, um die Verluste durch mangelhafte
Qualität zu reduzieren. Das ist nur durch die statistische Prozessanalyse mit anschließender
Steuerung des Prozesses möglich.
Die statistische Prozessanalyse liefert uns hierfür die Prozessgleichung mit den wesentlichen
Input- und Prozessvariablen. Die Zielwerte und den Zielbereich für die Steuerung liefert uns
die statistische Tolerierung. In diesem Zusammenhang müssen wir darüber sprechen, dass die
Qualität des Prozesses notwendige Voraussetzung für die Qualität des Produktes ist.
Was ist die Qualität des Prozesses?
Die Qualität des Prozesses ist die Fähigke it des Prozesses, Produkte mit vorgegebenen Eigenschaften
zu produzieren, wobei die vorgegebenen Eigenschaften eines Produktes durch die
Sollwerte und Toleranzgrenzen für die Menge der nicht unabhängigen Produktvariablen spezifiziert
werden. Die Produktion solcher Produkte (materielle Produkte oder Dienstleistungen)
erfordert, dass der dazu gehörende Prozess mit der Prozessgleichung in Richtung der Zielwerte
gesteuert wird, so dass die Werte für die Produktvariablen der produzierten Produkte in dem
durch die Toleranzgrenzen vorgegebenen Zielgebiet liegen.
Die Steuerung besteht nun im wesentlichen darin, solche Werte für die Input- und Prozessvariablen
in die Prozessgleichung einzusetzen, die
• garantieren, dass die Werte für die Produktvariablen in dem gegebenen Zielgebiet liegen
und deren Mittelwerte mit den Sollwerten übereinstimmen,
• zu einer Verringerung der Variation der Produktvariablen von bislang ungesteuerten
Prozessen führen
• und somit simultan alle Kundenanforderungen erfüllt werden.
Die Frage ist nun nur noch,
Wie können wir diese Werte für die wesentlichen Input- und Prozessvariablen finden?
Für die Lösung stehen uns mindestens zwei Wege zur Verfügung.

5.16 Warum und wie muss ein Prozess gesteuert werden?
335
Der 1. Weg führt auf die Berechnung der statistischen Sollwerte und Toleranzgrenzen für die
Input- und Prozessvariablen und der 2. Weg auf die Optimierung des gesamten Prozesses mit
den Methoden der linearen und nichtlinearen Optimierung (vgl. Kapitel 12).
Hauptsächlich befassen wir uns in diesem Kapitel mit dem 1. Weg, da uns dieser die Sollwerte
und Toleranzgren zen für die Inputprodukte liefert. Und diese sind ja notwendige Voraussetzung
für die Realisierung der Kommunikation zwischen den Kunden und Lieferanten.
5.16.1 Statistische Tolerierung der Inputvariablen
Zuerst berechne n wir nach dem bekannten Verfahren der statistischen Tolerierung aus dem
Abschnitt 5.2 die statistischen Sollwerte und Toleranzgrenzen für die wesentlichen Inputvariablen
unter der Bedingung, dass die Werte für die Produktvariablen vorgegeben sind. Danach
berechnen wir die Sollwerte und statistischen Toleranzgrenzen für die Prozessvariablen unter
der Bedingung, dass die Produkt- und Inputvariablen gegeben sind.
Mit einer vorliegenden Stichprobe berechnen wir die Inputgleichungen. Das sind Gleichungen,
in denen die Inputvariablen die abhängigen Zielvariablen sind und die Produktvariablen
als unabhängige Variablen fungieren. In diese Gleichungen setzen wir die Sollwerte und die
Toleranzgrenzen für die Produktvariablen ein, um die Sollwerte und Toleranzgrenzen für die
Inputvariablen zu berechnen.
Für all die Fälle, in denen keine Sollwerte und Toleranzgrenzen für die Produktvariablen
vorhanden sind, verwenden wir die Formeln der statistischen Tolerierung für die Produktund
Inputvariablen und berechnen die statistischen Sollwerte und Toleranzgrenzen für die
Inputvariablen.
Die Berechnungen der statistischen Sollwerte und Toleranzgrenzen für die Input- und Prozessvariablen
unter den entsprechenden Bedingungen werde ich an dem folgenden Beispiel
demonstrieren.
Beispiel 5.16.1: Chemischer Prozess. Statistische Tolerierung der Input- und
Prozessvariablen
Die statistischen Toleranzgrenzen wurden mit dem Prozessspezialisten abgesprochen,
geringfügig korrigiert und in der Tabelle 5.16.1 zusammengefasst.
Tabelle 5.16.1: Statistische Toleranzgrenzen für die Produktvariablen
Produktvariable Untere Toleranz Obere Toleranz
Y 1 0 8
Y 2 1680 1820
Y 3 1902 1920
Y 4 1546 1565
Y 5 8000 10000
Y 6 320 400
Mit den abgestimmten statistischen Toleranzgrenzen wurden die uni- und multivariaten
Prozessfähigkeitsindizes berechnet und in der Tabelle 5.16.2 zusammengestellt.
Die Prozessfähigkeiten sind kleiner als 1; der Prozess muss verbessert werden.

336 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.16.2: Uni- und multivariate Prozessfähigkeitsindizes
Produktvariable C p k C pk
Y 1 0,194 3,82 –0,55
Y 2 1,38 0,005 1,375
Y 3 0,315 0,342 0,207
Y 4 0,432 0,038 0,415
Y 5 0,227 0,194 0,183
Y 6 0,217 0,268 0,159
Multivariate Prozessfähigkeiten
MC p 0,65
MC pk 0,038
Die folgenden beiden Abbildungen enthalten die Star Plots für alle Input-, Prozess- und
Produktvariablen und nur für die Inputvariablen, da der Verdacht besteht, dass für die
Inputvariablen weder Sollwerte und Toleranzgrenzen berechnet, noch Eingangsprüfungen
vorgenommen wurden.
100 108
90
80
70
60
50
40
30
20
Abb. 5.16.1: Star Plots für die Input-, Prozess- und Produktvariablen
10

5.16 Warum und wie muss ein Prozess gesteuert werden?
337
X11
X17
X18
X19
X20
X21
Z1
Z2
Z3
Z4
Abb. 5.16.2: Schlüssel für die Star Plots
X10
Z5
X9
Z6
X7
Z7
X6
Z8
X3
X2
X1
Y1
Z11
Z10
Z9
Die Star plots zeigen:
•
•
•
•
die Streuungen für die einzelnen Variablen sind sehr groß; man vergleiche z. B. die Stars
55 und 104 miteinander,
der Prozess zeigt ein gewisses „Atmen“, d. h. eine gewisse systematische Veränderung
bis zum Star 50 und dann eine ziemlich rigide Veränderung.
Innerhalb der Gruppen gibt es aber auch noch sehr starke Veränderungen,
die Produktvariable Y 1 (unerwünschtes Nebenprodukt) kommt mal sehr selten, siehe
z. B. die Star Plots 86, 87, 49, 40 und ein anderes Mal sehr häufig vor, siehe z. B. die Star
Plots 90, 91, 10, …
100
90
80
70
60
50
40
30
Abb. 5.16.3: Star Plots für die Input- und Produktvariable Y 1
20
10

338 5 Qualität in der Fertigung
Da die Stars aufgrund der vielen Achsen (Variablen) schwer zu interpretieren sind, weil sowohl
Input-, Prozess- und Produktvariablen dargestellt wurden, wollen wir noch die Inputund
die Produktvariablen allein betrachten, um zu sehen, ob die Inputvariablen ebenfalls
stark streuen und diese Streuungen einen Einfluss auf die Produktvariable Y 1 haben.
Z5
Z4
Z3
Z6
Z2
Z7
Z1
Z8
Y1
Z9
. Z10
Z11
Abb. 5.16.4: Schlüssel für die Star Plots für die Input- und Produktvariablen Y 1
Interpretation der Star Plots für die Input- und die Produktvariablen
Die Inputvariablen schwanken sehr stark. Das Produkt kann daher gar nicht homogen sein,
oder anders gesprochen, das unerwünschte Nebenprodukt kommt mal vor und mal nicht.
Schauen Sie sich nur einmal die Plots mit den Nummern 49 und 91 an, dann sehen Sie die
gewaltigen Unterschiede. Beim Plot Nummer 91 kommt das unerwünschte Nebenprodukt
in hoher Konzentration vor. Beim Plot Nummer 40 kommt das Nebenprodukt praktisch
T2
0 50 100 150
5 10 15 20
Abb. 5.16.5: Multivariate Kontrollkarte für das „Lieferantenprodukt“

5.16 Warum und wie muss ein Prozess gesteuert werden?
339
überhaupt nicht vor. Schon hieraus muss man schließen, dass das unerwünschte Nebenprodukt
im Herstellungsprozess entsteht und dass der Prozess so gesteuert werden kann,
dass das Nebenprodukt nicht mehr vorkommt. Die moderne Industrie muss nach meinem
Dafürhalten anders, präziser arbeiten.
Die multivariate Kontrollkarte für die Inputvariablen mit der berechneten Toleranzgrenze
für das Inputprodukt in der Abbildung 5.16.5 bestätigt unsere Vermutung hinsichtlich der
Inputvariablen, dass für diese nämlich keine Sollwerte und Toleranzgrenzen zu existieren
scheinen.
Das „Lieferantenprodukt“ sind die zusammengefassten Inputvariablen des chemischen
Prozesses. Die Abbildung zeigt ganz deutlich: Die meisten Werte der Teilstichproben liegen
oberhalb der Toleranzgrenze für das „Lieferprodukt“, d. h. die meisten Lieferantenprodukte
sind Ausschuss. Die Input variablen erfüllen offenbar keinerlei Vorgaben. Es muss etwas
getan werden.
Uni- und multivariater Prozessfähigkeitsnachweis für die Inputprodukte
Der Nachweis der simultanen Erfüllung der Kundenanforderungen bzgl. der Lieferantenprodukte
(Menge der Inputvariablen) erfolgt über die Fähigkeiten der Tabelle 5.16.3.
Tabelle 5.16.3: Univariate Prozessfähigkeitsindizes
Inputvariable
untere
Toleranz
obere
Toleranz
Mittel Stabw. C p k C pk
Z 1 19,4 28,6 24,857 1,88 0,815 0,186 0,663
Z 2 0,8 1,2 1,223 0,363 0,183 1,115 –0,021
Z 3 100 160 134,85 40,136 0,249 0,161 0,209
Z 4 0,3 0,4 0,3565 1,1326 0,0147 0,129 0,0128
Z 5 100 180 144,56 51,654 0,258 0,114 0,229
Z 6 90 130 107,93 26,86 0,248 0,103 0,222
Z 7 1,12 1,18 1,13 0,0118 0,846 0,667 0,282
Z 8 9,22 10,78 9,749 0,962 0,27 0,32 0,183
Z 9 1600 1780 1677,25 221,79 0,135 0,142 0,116
Z 10 900 1000 905,68 1147,18 0,0145 0,886 0,0017
Z 11 2500 3300 2991,58 2033,33 0,066 0,229 0,051
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes sind
MC p = 0.3104
MC pk = 0.0372
Die uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes bestätigen die vorangegangene Vermutung.
Sie sind viel kleiner als 1. Die Inputvariablen erfüllen nicht die Anforderungen.
Wie kann man die Werte für die wesentlichen Input- und Prozessvariablen finden, die auf
jeden Fall die genannten Ziele der Reduktion der Variation und der Übereinstimmung
von Mittel- und Sollwerten erfüllen?

340 5 Qualität in der Fertigung
5.16.2 Berechnung der statistischen Sollwerte und Toleranzgrenzen für
die Inputvariablen unter der Bedingung der gegebenen Werte für
die Produktvariablen
Diese Berechnungen werden mit dem linearen Modell mit stochastischen Variablen realisiert,
wobei die Inputvariablen als Zielgrößen fungieren und für die Produktvariablen die
Sollwerte und Toleranzgrenzen eingesetzt werden.
Die so zu berechnenden Gleichungen nennen wir Inputgleichungen.
Nach Diskussion und Abstimmung mit den Prozessexperten erhalten wir die Resultate in
Tabelle 5.16.4.
Tabelle 5.16.4: Statistische Sollwerte und Toleranzgrenzen für die Inputvariablen
Inputvariable Sollwert untere Toleranz obere Toleranz
Z 1 23,57 22,2 24,9
Z 2 0,89 0,11 1,66
Z 3 115,5 46,5 184,6
Z 4 0,014 0 2,59
Z 5 65,6 30,4 100,9
Z 6 101,1 60,4 141,7
Z 7 1,12 1,1 1,14
Z 8 11,3 9,2 13,4
Z 9 1867 1511 2223
Z 10 733 633 933
Z 11 2351 1160 3538
Berechnung der statistischen Toleranzen für die wesentlichen Prozessvariablen
Analog wie vorher werden Einstellgleichungen für die wesentlichen Prozessvariablen
berechnet. In diese werden die Sollwerte und Toleranzgrenzen für die Produktvariablen
und die abgestimmten statistischen Sollwerte und statistischen Toleranzgrenzen für die
Inputvariablen eingesetzt. Damit erhält man die Einstellwerte und zugehörigen statistischen
Toleranzgrenzen für die wesentlichen Prozessvariablen in Tabelle 5.16.5.
Die Kunden haben für die unerwünschte Produktvariable die obere Grenze (oG) für Y 1
vorgegeben. Diese ist oG (Y 1 ) = 8.00 [‰]. Die optimale Einstellung der Input- und wesentlichen
Prozessvariablen für die Erreichung des Zieles: „die Werte von Y 1 dürfen nicht größer
als 8 [‰] sein, sollten aber mehr in der Nähe der Null liegen“ ist durch die statistischen
Sollwerte und Toleranzgrenzen für die Prozessvariablen und die unter den Bedingungen
gegebener Produkt- und Prozessvariablen berechneten Sollwerte und Toleranzgrenzen für
die Inputprodukte gegeben.
Prozessgleichung für den gesteuerten Prozess
Nach der Steuerung mit der Prozessgleichung wurde eine neue Stichprobe gezogen. Die
erneute Berechnung der Prozessgleichung findet sich in Tabelle 5.16.6.
Nach der erneuten Red-Auswahl erhält man die noch einmal reduzierte Prozessgleichung
der Tabelle 5.16.7.

5.16 Warum und wie muss ein Prozess gesteuert werden?
341
Tabelle 5.16.5: Statistische Toleranzgrenzen für die wesentlichen Prozessvariablen
Prozessvariable Sollwert untere Toleranz obere Toleranz
X 1 67,8 66 69,6
X 2 99,7 99,2 100,3
X 3 65,2 63 67,4
X 6 9,7 9,5 9,9
X 7 10 9,4 10,6
X 9 1130 1123 1137
X 10 1060 960 1160
X 11 1500 1400 1600
X 17 2,6 2,5 2,7
X 18 2,7 2,6 2,8
X 19 36 30 42
X 20 38,6 38,1 39,1
X 21 25 17,8 32,2
Tabelle 5.16.6: Prozessgleichung nach der Steuerung
Variable Koeff.Proz.Gleich. Red(j)
b o –273,416 0
X 1 0,32589 0,00137
X 2 –1,08663 0,01091
X 3 –0,20621 0,002856
X 6 –0,595993 0,000465
X 7 –1,36983 0,0152204
X 9 0,261945 0,0047759
X 10 0,114271 0,010079
X 11 –0,0716 0,0073467
X 17 85,48145 0,0024669
X 18 –49,4267 0,0015969
X 19 0,114293 0,00582
X 20 0,635618 0,007018
X 21 0,167596 0,027981
Z 1 0,455685 0,026173
Z 2 1,633097 0,0080945
Z 3 0,0121218 0,005202
Z 4 4,065848 0,002721
Z 5 0,068044 0,07361
Z 6 –0,01391 0,00199
Z 7 –18,1231 0,00493298
Z 8 –0,385073 0,005596
Z 9 –0,006996 0,011288
Z 10 –0,00021174 9,91 E–7
Z 11 0,0015124 3,177 E–3

342 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.16.7: Prozessgleichung nach der erneuten Red-Auswahl
Variable Koeff.Proz.Gleich. Red(j)
b 0 –280,853 0
X 1 0,333204 0,001372
X 18 –50,0706 0,001596
Z 6 –0,013221 0,001992
X 17 87,2177 0,002466
Z 4 4,431869 0,002721
X 3 –0,225889 0,0028566
Z 11 0,0013754 0,0031779
X 9 0,259213 0,0047758
Z 7 –18,15834 0,004932
Z 3 0,012232 0,005202
Z 8 –0,381648 0,005596
X 19 0,11539 0,00582
X 20 0,656262 0,007019
X 11 –0,07158 0,007346
Z 2 1,601321 0,0080945
X 10 0,114915 0,010079
X 2 –1,064585 0,010916
Z 9 –0,0072043 0,011288
X 7 –1,470685 0,01522
Z 1 0,462309 0,026173
X 21 0,173212 0,027981
Z 5 0,067565 0,07361
Die erneute Red-Auswahl führte dazu, dass die beiden Variablen X 6 und Z 10 gestrichen
werden konnten. Das Maß der Beherrschbarkeit für die Prozessgleichung des gesteuerten
2
Prozesses ist mit R Y / X = 0,9072 sehr hoch. Die bedingte Standardabweichung (Streuung
um die Prozessgleichung) ist s Y/X = 0,369.
Die graphische Darstellung der Werte für Y 1 vor und nach der Steuerung zeigt die Abbildung
5.16.6
Anteil in ppm
50
45
y1(gesteuert)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 51 101 151 201
Messwertsatz
y1(ungesteuert)
Abb. 5.16.6: Werte für die Produktvariable Y 1 vor und nach der Steuerung mit der Prozessgleichung

5.16 Warum und wie muss ein Prozess gesteuert werden?
343
Die Prozessverbesserung ist enorm. Hinsichtlich der Mittelwerte beträgt die Verbesserung
ca. 450 %! Oder anders ausgedrückt, der Anteil des unerwünschten Nebenproduktes wird
auf ca. 1/5 reduziert.
Der Nachweis der simultanen Erfüllung aller relevanten Kundenanforderungen erfolgt
durch uni- und multivariate Prozessfähigkeitsindizes.
Tabelle 5.16.8: Univariate Prozessfähigkeiten für den gesteuerten Prozess
Produktvariable C p k C pk
Y 1 1,099 0,0048 1,094
Y 2 1,005 0,0015 1,003
Y 3 1,0086 0,027 1,004
Y 5 1,0676 0,009 1,0579
Y 6 1,072 0,0113 1,06
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes sind
MC p = 1,182
MC pk = 1,173.
Das Maß der Beherrschbarkeit und die Prozessfähigkeitsindizes zeigen, dass der Prozess beherrscht
wird und fähig ist, Produkte mit den geforderten Eigenschaften zu produzieren.
Die Inputvariablen erfüllen ebenfalls simultan die Anforderungen, wie die uni- und multivariaten
Prozessfähigkeitsindizes der folgenden Tabelle zeigen.
Tabelle 5.16.9: Univariate Prozessfähigkeitsindizes für die Inputvariablen nach der Steuerung
Inputvariable C p k C pk
Z 1 1,041 0,0075 1,034
Z 2 0,957 0,025 0,933
Z 3 0,993 0,0047 0,998
Z 4 1,103 0,0056 1,097
Z 5 1,0778 0,0052 1,072
Z 6 1,0294 0,0055 1,072
Z 7 0,991 0,0001 0,99
Z 8 0,937 0,01 0,927
Z 9 0,959 0,0073 0,953
Z 10 1,035 0,0099 1,024
Z 11 0,976 0,0008 0,975
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes für die Lieferantenprodukte sind
MC p = 1,027
MC pk = 1,017.
Auch die Lieferantenprodukte haben sich verbessert. Die Qualität der Lieferantenprodukte,
ausgedrückt durch die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes ist geringfügig größer als 1,
kann also noch etwas verbessert werden.
Die uni- und multivariaten Prozessfähigkeitsindizes des ungesteuerten Prozesses für die
Prozessvariablen sind in folgender Tabelle dargestellt.

344 5 Qualität in der Fertigung
Tabelle 5.16.10: Univariate Prozessfähigkeitsindizes
Prozessvariable C p k C pk
X 1 0.38 0.025 0.37
X 2 0.84 0.083 0.77
X 3 0.619 0.026 0.60
X 6 1.11 0.11 0.98
X 9 0.20 0.4 0.12
X 10 0.12 0.003 0.12
X 11 0.12 0.11 0.105
X 17 0.05 0.12 0.045
X 18 0.049 0.18 0.04
X 19 1.31 0.097 1.18
X 20 0.937 0.048 0.89
X 21 0.98 0.12 0.85
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes des ungesteuerten Prozesses für die Prozessvariablen
sind
MC p = 0.9399
MC pk = 0.0798.
Die Einstellung der Prozessvariablen ist nicht in Ordnung. Mit den berechneten Einstellwerten
für die Prozessvariablen erhält man die Fähigkeitsindizes der Tabelle 5.16.11.
Tabelle 5.16.11: Univariate Prozessfähigkeitsindizes für die Prozessvariablen
Prozessvariable C p k C pk
X 1 0.48 0.008 0.48
X 2 0.98 0.14 0.84
X 3 0.68 0.00 0.68
X 6 1.21 0.05 1.15
X 9 0.26 0.004 0.26
X 10 0.15 0.005 0.15
X 11 0.12 0.01 0.12
X 17 0.033 0.004 0.03
X 18 0.03 0.03 0.03
X 19 0.89 0.01 0.88
X 20 0.86 0.05 0.81
X 21 1.22 0.005 1.22
Die multivariaten Prozessfähigkeitsindizes für die Prozessvariablen sind
MC p = 0.992
MC pk = 0.8226.
Die Qualität des Prozesses muss weiter verbessert werden. Die Zentrierung ist in Ordnung,
die Reduktion der Variabilität der Prozessvariablen ist nicht ausreichend. Die Entscheidung
muss aber das Management fällen, da die weitere Verbesserung Kosten verursacht.

5.16 Warum und wie muss ein Prozess gesteuert werden?
345
Die Verbesserung des Prozesses durch die Steuerung mit der Prozessgleichung kann durch
die multivariate Regelkarte für die „Produkte“ in Abbildung 5.16.7 sichtbar gemacht
werden. Auch die Verbesserung der Lieferantenprodukte durch die Steuerung des Lieferantenprozesses
mit den berechneten Sollwerten und Toleranzgrenzen als Zielgebiet kann
visualisiert werden.
T2
0 1 2 3 4 5
0 10 20 30 40
Abb. 5.16.7: Multivariate Kontrollkarte für die Produkte des gesteuerten Prozesses
Alle Produkte liegen unterhalb der Toleranzgrenze für das Produkt. Der Prozess ist in Ordnung,
d. h. die Produkte erfüllen simultan alle relevanten Kundenanforderungen.
Die multivariate Kontrollkarte für die Lieferantenprodukte ist in der Abbildung gegeben.
T2
0 1 2 3 4 5 6
0 10 20 30 40
Abb. 5.16.8: Kontrollkarte für die gesteuerten Lieferantenprodukte
Bei dieser Karte liegen zwei Stichproben oberhalb der Kontrollgrenze. Der Lieferantenprozess
muss noch weiter verbessert werden.

346 5 Qualität in der Fertigung
5.17 Zusammenfassung der Produktvariablen
Welches Problem soll mit der Zusammenfassung gelöst werden?
Wiederholt habe ich darauf hingewiesen, dass
• ein Produkt durch m, m ≥ 1 nicht unabhängige Produktvariablen beschrieben wird,
• sich die Produktvariablen mitunter bzgl. ihrer Zielstellung gegensätzlich verhalten, d. h. die
eine Produktvariable muss eventuell maximiert, die andere minimiert werden,
• der Prozess zur Herstellung eines Produktes aber nur nach dem Zielwert einer Produktvariablen
gesteuert werden kann,
• die Steuerung nur mit einer optimalen Teilmenge von Input- und Prozessvariablen möglich
ist und
• nur mit einer optimalen Einstellung für die Input- und Prozessvariablen vorgenommen
werden kann.
Aus diesen Feststellungen folgt, dass für die Ermittlung der einen optimalen Teilmenge von
Input- und Prozessvariablen und die Berechnung der optimalen Einstellung, die Produktvariablen
zusammengefasst werden müssen.
Diese Zusammenfassung kann natürlich nicht auf der Addition basieren, denn die Produktvariablen
haben verschiedene Dimensionen und sind nicht unabhängig voneinander.
Wie können die verschiedenen Produktvariablen zusammengefasst werden?
Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir einige Sachverhalte aus der Schätztheorie
wiederholen.
Es liege wieder eine Stichprobe X 1 , …, X N für den zufälligen Vektor X T = (X 1 , …, X n ) vor. Der
T
Vektor der Mittelwerte X = ( X 1 ,…, X n ) ist n-dimensional normalverteilt mit dem Erwartungswert
μ T = (µ 1 , …, µ n ) und der Kovarianzmatrix N –1 Σ. Wir symbolisieren diese Tatsache
−1
durch X ∼ Nn
( μ, N Σ)
.
Die Schätzfunktion N S ist Wishart verteilt mit den Verteilungsparametern Σ und N – 1, wobei
S die Stichprobenkovarianzmatrix bezeichnet. Die Wishart Verteilung ist eine multivariate
Verallgemeinerung der χ 2 Verteilung. Diesen Sachverhalt kürzen wir durch die Symbolik
N S ~ W n (Σ, N – 1) ab.
Analog wie im univariaten Fall gilt auch im multivariaten Fall, dass X und N S unabhängig
voneinander sind. Mit diesen Bezeichnungen gilt,
T
−1 2
( N −1)( X − μ) S ( X − μ) = T .
T 2 bezeichnet die Hotelling Statistik und leistet genau das von uns Gewünschte. Wir verwenden
also die T 2 -Statistik für die Zusammenfassung der m, m ≥ 1 Produktvariablen zu einer neuen
univariaten Statistik in der Form
2 T −1
T i i i
= ( X − X) S ( X − X).
Die T 2 -Statistik von Hotelling ist die multivariate Verallgemeinerung des Quadrates der univariaten
t 2 -Statistik.

5.17 Zusammenfassung der Produktvariablen
347
Beispiel 5.17.1: Karosseriebau. Zusammenfassung der Produktvariablen
Die m = 14 nicht unabhängigen Produktvariablen Y 1 , …, Y 14 werden zu „Produkten“ über
die T 2 -Statistik von Hotelling zusammengefasst. Die Werte für diese Statistik werden in
der Abbildung 5.17.1 dargestellt.
80
Produkte
60
40
20
0
0 40 80 120 160 200 240
Messwertsätze
Abb. 5.17.1: Produkte für die Karosserievariablen
Es ist, so glaube ich, sofort einzusehen, dass sich die univariaten T 2 i-Werte leichter einschätzen
lassen als die Matrix der m = 14 mal N Einzelwerte.
Große Werte können vorkommen, weil
•
•
entweder ein Einzelwert für eine Produktvariable sehr groß wird oder
die Werte für mehrere oder alle Produktvariablen an den Grenzen der statistischen
Konfidenzintervalle liegen.
Für die T 2 -Statistik gilt des weiteren
T
2
( N − 1) n
≥ F
N − n
nN , −n ( α ).
Mit dieser Eigenschaft kann die T 2 -Statistik von Hotelling verwendet werden, um verschiedene
Hypothesen über den Vektor X bzw. X zu prüfen.
Außerdem gilt
T 1 1
i −
−
i i i
E[( X − X) S ( X − X)] = Sp{ E[ X − X) ( X − X) S ]] = n.
Diese Eigenschaft ist bei vielen praktischen Anwendungen nachteilig. So kann man aufgrund
dieser Eigenschaft die T 2 -Statistik nicht verwenden, um die Prozessverbesserung nachzuweisen,
indem man die Produktvariablen Y 1 , …, Y m vor und nach der Prozessverbesserung zu den
Produkten zusammenfasst.
Übung Kneterprozess
Probleme
In einem Unternehmen der Kunststoffindustrie gibt es Probleme mit den Knetern.
Die ex- und internen Kundenanforderungen sind nur in einem Lastenheft verbal hinterlegt.
Die Kunden der Kneterprodukte sind unzufrieden, können aber ihre Unzufriedenheit nicht
quantitativ belegen. Die Streuungen der einzelnen Produktvariablen sind nachweisbar zu groß.
Der Messwertaufwand ist für die vorliegenden Resultate zu hoch.

348 5 Qualität in der Fertigung
Prozessbeschreibung
Die Inputprodukte werden durch k = 14 Inputvariablen, der Prozess wird durch n = 21 Prozessvariablen
und die Produkte werden durch m = 16 Produktvariablen beschrieben.
Die Visualisierung einer Stichprobe von N = 155 Wertesätzen für die Produktvariablen liefert
die Star Plots der Abbildung 5.17.2. Diese bestätigen die großen Streuungen der einzelnen
Variablen. Die Stars variieren in ihrer Form sehr stark, zeigen aber auch gewisse periodische
Schwankungen, deren Ursache wir nicht kennen.
Die Zusammenfassung der Produktvariablen liefert die Abbildung 5.17.4.
Die Zusammenfassung der Inputvariablen liefert die Abbildung 5.17.5.
Der Vergleich der beiden Abbildungen zeigt einen deutlichen Zusammenhang zwischen den
Input- und Produktvariablen. Daraus folgt, dass die Ursache für das Problem in der Kommunikation
zwischen dem Kunden- und Lieferantenprozess zu liegen scheint.
144 150
131
118
105
92
79
66
53
Abb. 5.17.2: Star Plots für die Kneterprodukte

5.17 Zusammenfassung der Produktvariablen
349
MISCH05.Y5
MISCH05.Y4
MISCH05.Y7
MISCH05.Y8
MISCH05.Y2
MISCH05.Y1
MISCH05.Y10
MISCH05.Y12
MISCH05.Y14
Abb. 5.17.3: Schlüssel für die Star Plots
T-Squared
30
25
20
15
10
5
0
Multivariate Control Chart
0 30 60 90 120 150
Observation
Abb. 5.17.4: Zusammenfassung der Produktvariablen
UCL = 25,37
T-Squared
30
25
20
15
10
5
0
zusammengefasste Inputparameter
0 30 60 90 120 150
Observation
UCL = 20,38
Abb. 5.17.5: Zusammenfassung der Inputvariablen
Für die statistische Prozessanalyse habe ich für Sie eine Auswahl für die Input-, Prozess- und
Produktvariablen getroffen, damit Sie mit den beiliegenden Programmen arbeiten können.
Diese sind:
•
•
zwei Rohstoffe, die durch Z 13 und Z 14 beschrieben werden,
die drei Prozessvariablen
X 4 Masse [kg]
X 10 Drehzahl [U/min]
X 12 Mischzeit [min]
und die beiden

350 5 Qualität in der Fertigung
• Produktvariablen mit den Sollwerten und Toleranzgrenzen
Y 9 Rheo Wert (Soll = 0,6, T u = 0,59, T o = 0,61)
Y 12 Dichte (Soll = 1,05, T u = 1,024, T o = 1,076).
Führen Sie bitte eine umfassende statistische Prozessanalyse mit den Zwischenergebnissen
•
•
•
•
Definition des Problems,
Quantifizierung der Abhängigkeitsstruktur,
Berechnung der Prozessgleichungen,
Steuerung des Prozesses mit der Prozessgleichung
durch.
5.18 Kalibrierung
Die pra ktische Erfahrungen – nicht immer positiv – eines Labors zur Untersuchung von Bodenproben
mit der DIN ISO 8466-2 „Kalibrierstrategie für nichtlineare Kalibrierfunktionen
zweiten Grades“, Auftraggebern und Gutachtern für die Verfahrensetablierung, veranlassten
uns, diesen Beitrag aufzunehmen.
Das Problem aus dem Zusammenspiel der Kombattanten besteht häufig in der Vorgabe einer linearen
Kalibrierung durch die Verfahrensetablierung, obwohl der Sachverhalt nichtlinear ist.
Zur Lösung dieses Problems muss dafür Sorge getragen werden, dass obige Norm unbedingt
angewandt wird. Dazu sind einige Verbesserungen erforderlich, die wir im Folgenden diskutieren
wollen.
Messwerte und Entscheidungen
Eine umweltbelastende Konsequenz der industriellen Ansiedlungen sind kontaminierte Böden.
Diese müssen gereinigt und in den Kreislauf zurückgeführt werden. Dazu sucht der Besitzer
des Bodens durch Ausschreibung einen Sanierer. Zur Konkretisierung der Ausschreibung und
für den Nachweis der simultanen Erfüllung aller relevanten Kunden – Besitzer und Gesetzgeber
– Anforderungen schaltet der Sanierer ein Labor und falls erforderlich einen Gutachter ein. Das
Labor ermittelt für die kontaminierten Böden nach einer entsprechenden Parametrisierung
die Istwerte für die festgelegten Variablen.
In diesem Zusammenhang ist die Kalibrierung von grundlegender Bedeutung, da die Konzentrationen
bestimmter Substanzen nicht direkt gemessen werden können. Es lässt sich nur eine
Funktion Y (Kalibrierfunktion) der Konzentration X, Y = f(X) messen. Der Funktionstyp und
die Koeffizienten der Funktion sind unbekannt und müssen so genau wie möglich bestimmt
werden. Hierfür werden Daten für Standardproben gewonnen. Die Konzentration X i wird
vorgegeben und die Funktion der Konzentration Y i , i = 1, …, N wird gemessen. Die Werte Y i
nennt man der Einfachheit halber Messwerte der Variablen. Bei den praktischen Problemen
gewinnt man die Messwerte Y i und will durch einen Umkehrschluss X = g(Y) die Konzentration
der Verbindung bestimmen. Die Funktion g(X) nennt man Analysefunktion.
Vom Kunden (Gesetzgeber, Besitzer, Weiterverwerter, …) werden die Anforderungen an den
weiter zu verwertenden Boden gestellt. Das Labor hat nach der Reinigung der Böden die

5.18 Kalibrierung
351
Kundenanforderungen
Kundenanforderungen
Gesetzgeber
N
kontaminierter
Boden
Sanierung
gereinigter
Boden
E
J
Verbringung
In den Kreislauf
zurückgeführt
Bodenvariablen Prozessvariablen Bodenvariablen Prozessvariablen Bodenvariablen
Labor
Labor
Messwertermittlung
Nachweis der Erfüllung
Messwertermittlung
Nachweis der Erfüllung
Abb. 5.18.1: Netzwerk der Prozesse für die Bodensanierung
Werte für die Variablen erneut zu bestimmen und den Nachweis zu führen, dass simultan alle
relevanten Anforderungen durch den gereinigten Boden erfüllt werden. Das Zusammenspiel
der Prozesse und Verantwortlichen wird durch das abgebildete Netzwerk der Prozesse mit
Kommunikation dargestellt.
Nach dieser Abbildung sind die folgenden Fehlentscheidungen möglich:
Tabelle 5.18.1: Entscheidungen und Fehlentscheidungen
Boden
Entscheidungen
A Anforderungen nicht erfüllt B Anforderungen erfüllt
kontaminiert Ja Fehlentscheidung 1
saniert Fehlentscheidung 2 ja
Die Fehlentscheidung 1 besagt, dass ein kontaminierter Boden in den Kreislauf zurückkommt
und die Umwelt weiter schwer belastet. Durch das Zurückholen und erneute Reinigen des Bodens
entsteht ein enormer Verlust für den Kunden. Die Fehlentscheidung 2 verlangt, dass ein
ausreichend sanierter Boden erneut saniert wird und daher ein Verlust für die Bodensanierer
entsteht.
Die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen müssen minimiert werden, um Verluste zu
vermeiden oder zumindest ebenfalls zu minimieren.
Hierfür stehen uns aber nur zwei Möglichkeiten zur Verfügung. Der erste Weg bedeutet Investitionen
in neue Geräte. Der zweite Weg verlangt geistige Investition, um die Gesetzmäßigkeiten
der Sanierung und den simultanen Nachweis der Erfüllung aller relevanten Anforderungen im
Sinne der DIN ISO Norm zu erkennen und auszunutzen. Damit wird deutlich, dass der erste
Weg nur dann beschritten werden darf, wenn der zweite nicht mehr weiter führt, zumal in der
Regel die materiellen Investitionen ausgeschöpft sind.

352 5 Qualität in der Fertigung
Beispiel 5.18.1: Kalibrierung. Linear
Für die Kalibrierung liegen die Messwerte M 1 und die Konzentrationen vor. Die Darstellung
dieser Wertepaare enthält die Abbildung 5.18.2.
Werden die Punkte durch eine lineare Kalibrierfunktion angepasst, dann erhält man die
Abbildung 5.18.3.
Die Kalibriergerade hat die Koeffizienten
Y = M 1 = b 0 + b Y/X X = –44611 + 1,36577 Konzentration.
Zur Beurteilung der Kalibrierfunktion werden das Quadrat des Korrelationskoeffizienten
2
r Y / X = 0.9935 und die Reststandardabweichung S Y/X = 37540 angegeben.
Der quadrierte Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen
den Messwerten Y und der Konzentration X und gibt an, zu wieviel Prozent die Varianz der
Messwerte Y durch die Konzentration erklärt wird. Dieser Koeffizient ist erfreulicherweise
überaus groß, d. h. ca. 99.3 % der Varianz der Messwerte werden durch die Konzentration
(X 100000)
15
12
9
M1
6
3
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Konzentration
Abb. 5.18.2: Statistischer Zusammenhang zwischen den Messwerten M 1 und den Konzentrationen
(X 100000)
15
12
9
M1
6
3
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Abb. 5.18.3: Anpassung der Messwerte durch eine lineare Kalibrierfunktion
Konzentration

5.18 Kalibrierung
353
erklärt. Die Reststandardabweichung ist die Standardabweichung der Messwerte um die
Kalibriergerade. Diese kann nach der einfachen Beziehung
2 2 2
Y / X = Y − Y / X
S S (1 R )
berechnet werden.
Die quadratische Kalibrierfunktion ist
2 2
Y = M1 + b0 ′ + bY′ / X X + bY′
/ XX X = 6398,8 + 991257 Konz + 383015 Konz
Das Quadrat des (in diesem Falle multiplen) Korrelationskoeffizienten ist
2
Y
R / X = 0.9987.
Würde man aufgrund des Korrelationskoeffizienten entscheiden, ob die lineare Kalibrierung
ausreichend ist, so würde man – wie so häufig – entscheiden, dass die lineare Kalibrierung
ausreicht. Aber berechnet man die Reststandardabweichung, dann erhält man den Wert
S Y/X = 16325.
Das ist eine Verbesserung von mehr als 220 %!
Die Darstellung der quadratischen Kalibrierfunktion ist in der Abbildung 5.18.4 zu sehen.
(X 100000)
15
12
9
M1
6
3
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Abb. 5.18.4: Quadratische Kalibrierfunktion mit dem 95 % Konfidenzintervall
Konzentration
Auswirkungen des linearen und quadratischen Ansatzes auf die Kalibrierfunktion
Für die Bestimmung der unbekannten Konzentration einer Substanz wird die Analysefunktion
X =g(Y) verwendet. Diese Funktion wird in den verschiedenen Standards als Umkehrfunktion
der Kalibrierfunktion bestimmt. Das ist nicht zulässig, da der Zusammenhang zwischen den
Messwerten M 1 und der Konzentration stochastisch und damit nicht eineindeutig ist. Es ist
besser allgemein anzunehmen, dass
(Y, X) ~ N 2 (µ, Σ),
wobei µ T = (µ Y , µ X ) und
⎛
2
σY
σ ⎞
Σ = ⎜ ⎟.
⎝ σ ⎠
YX
2
X

354 5 Qualität in der Fertigung
Da zu Beginn der Analysen alles unbekannt ist, verwendet man Standardproben und bestimmt
hierfür für vorgegebene Konzentrationen die Messwerte.
Unter dieser Annahmen kann man mit derselben Methode und denselben Werten die Analysefunktion
X = g(Y) bestimmen.
Mit dieser Funktion kann der Nachweis über das Vorhandensein einer Verbindung geführt
werden. Darüber hinaus kann aber auch die Konzentration (Gehalt) einer Verbindung bestimmt
werden.
Die Chemiker sind an weiteren Charakteristika interessiert. Zu diesen gehören der kritische
Wert einer Messgröße, die Nachweisgrenze, die Erfassungsgrenze und die Bestimmungsgrenze.
Diese Charakteristika hängen natürlich ganz stark vom Kurventyp der Kalibrier- bzw.
Analysefunktion ab und können daher auch als Entscheidung für den einen oder anderen
Funktionstyp dienen.
Der kritische Wert der Messgröße Y we ist darauf hin, dass mit vorgebbarer Wahrscheinlichkeit
die Substanz vorhanden ist.
Der kritische Wert muss berechnet werden. Als Modell wird die Breite des „Prognoseintervalls“
an der Stelle X = 0 (Konzentration ist gleich null) verwendet.
Für den Vergleich der verschiedenen Typen der Kalibrierfunktion werden die Prognosevarianz
und damit die Prognoseintervallbreite für den linearen und quadratischen Fall berechnet.
Für die lineare Kalibrierfunktion erhält man aus den Berechnungen die Schätzung für die
Prognosevarianz
⎛
ˆvar [ Yˆ
( X )]
⎜
1
2
2 1 ( XE
− X)
E = SY /
⎜
X + +
N
⎜ N
2
⎜ ∑ ( Xi
− X)
⎝
i=
1
und damit die halbe Breite des Prognoseintervalls
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
ˆ 1 ( XE
− X)
YE + tFG, α ⋅ SY / X ⋅ 1 + +
.
N
N
2
( X − X)
∑
i=
1
i
In diesen Darstellungen ist X E die Konzentration für die man die Prognose berechnen möchte
und Y ˆ ˆ( E = Y XE)
.
Für die quadratische Kalibrierfunktion gilt
2
ˆ 2 ⎡ 1
T −1
⎤
ˆvar( YE) = SY / X ⎢
1 + + ( XE − X) AXX ( XE
− X)
⎣ N
⎥
⎦
und damit
1
Y t S X X A X X
N
ˆ T −1
E + FG, α ⋅ Y / X ⋅ 1 + + ( E − ) XX ( E − ).

5.18 Kalibrierung
355
Beispiel 5.18.2: Kalibrierung. Vorhersageintervall
Für die lineare Kalibrierfunktion erhält man das Prognoseintervall für die Stelle X E = 0
ˆ 1 ( XE
− X)
YE + tFG, α ⋅ SY / X ⋅ 1 + + = − 44611 ± 97845,
N
N
2
( X − X)
∑
i=
1
d. h. die halbe Breite des Prognoseintervalls ist 97845.
Der kritische Messwert für die lineare Kalibrierfunktion ist
i
2
1 X
Yk = b0 + tFG, α ⋅ SY / X ⋅ 1 + + = − 44611 + 97845 = 53234.
N
N
2
( X − X)
∑
i=
1
Für die quadratische Kalibrierfunktion erhalten wir
i
2
1
Y t S X X A X X
N
ˆ T −1
E + FG, α ⋅ Y / X ⋅ 1 + + ( E − ) XX ( E − ) = 6398.8 ± 44542
d. h. die halbe Breite des Prognoseintervalls 44542 ist sehr viel kleiner als bei der linearen
Kalibrierfunktion.
Der Wert Y ˆ( X E = 0) entspricht dem Wert b 0 in den Kalibrierfunktionen.
Der kritische Messwert für die quadratische Kalibrierfunktion ist
1
T −1
Yk = b0 + tFG, α ⋅ SY / X ⋅ 1 + + ( XE − X) AXX ( XE
− X) = 6398 + 44542
N
= 50940.
Beispiel 5.18.3: Nachweisgrenze
Die Nachweisgr enze ist die Konzentration, die dem kritischen Wert des Messwertes entspricht.
Im linearen Fall erhält man für die Funktion X = g(Y) die halbe Breite des Prognoseintervalls
ˆ 1 ( YE
− Y)
XE + tFG, α ⋅ SX / Y ⋅ 1 + +
N
N
( Y − Y)
und damit die Nachweisgrenze
∑
i=
1
1 ( Yk
− Y)
XNG = tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1 + + = 0.069987.
N
N
2
( Y − Y)
∑
i=
1
i
i
2
2
2

356 5 Qualität in der Fertigung
Im quadratischen Fall erhält man
1
X b t S Y Y A Y Y
N
ˆ T −1
E = 0′ + FG, α ⋅ X / Y ⋅ 1 + + ( E − ) YY ( E − )
und die Nachweisgrenze
1
T −1
XNG = tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1 + + ( YE− Y) AYY ( YE− Y) = 0.05696.
N
Die Nachweisgrenze für den quadratischen Ansatz liegt ungefähr bei nur 80 % des linearen
Ansatzes.
Beispiel 5.18.4: Erfassungsgrenze
Diese Grenze bezei chnet die kleinste Konzentration bei der mit vorgebbarer Wahrscheinlichkeit
der Nachweis der Substanz möglich ist.
Für den linearen Fall erhält man für die vorgebbare Wahrscheinlichkeit β = α die Erfassungsgrenze
1 ( Yk
− Y)
XEG = XNG + tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1 + + = 0.1399.
N
N
2
( Y − Y)
Für den quadratischen Fall gilt
1
T −1
XEG = XNG + tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1 + + ( YE− Y) AYY ( YE− Y) = 0.11392.
N
∑
i=
1
i
2
Beispiel 5.18.5: Bestimmungsgrenze
Für diese Grenze mus s die relative Ergebnisunsicherheit, die sich aus der halben Breite des
Prognoseintervalls für die Konzentration X und der Bestimmungsgrenze X BG sowohl für
den linearen
t
1
⋅ S ⋅ 1 + +
N
FG, α X / Y
X
als auch quadratischen Fall
BG
2
( Yi
− Y)
N
2
∑ ( Yi
− Y)
i=
1 ΔXBG
XBG
= = V (lin)
r
tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1
T −1
1 + + ( Yi− Y) AYY ( Yi
N
− Y)
X
BG
ΔXBG
= = Vr
(quad)
X
BG
ergibt, bestimmt werden. Dieser Quotient soll nun mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit
α einen vorher definierten Wert k annehmen, z. B. k =3. Symbolisch kann man hierfür
schreiben P (V r ≥ k) = α.

5.18 Kalibrierung
357
In die Formeln für die Prognoseintervalle muss anstelle des beliebigen Messwertes Y i der
Messwert an der Stelle der Bestimmungsgrenze eingesetzt werden. Dieser Wert ist aber unbekannt.
Folglich müsste man ein approximatives Verfahren entwickeln oder eine Schätzung
einsetzen. Als Schätzung wird nach dem HBU Standard der Wert Y BG = k ΔY BG verwendet.
Hierfür gilt P (ΔX BG ≥ k X BG ) = α.
Formt man nun die Quotienten V r um, dann erhält man für den linearen Fall die Bestimmungsgrenze
1 ( k ⋅YNG
− Y)
XBG = k ⋅tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1 + + = 0.167822
N
N
2
( Y − Y)
bzw. für den quadratischen Fall die Grenze
∑
i=
1
1
T −1
XBG = k ⋅tFG, α ⋅ SX / Y⋅ 1 + + ( k ⋅YNG− Y) AYY
( k ⋅YNG
− Y) = 0.065005.
N
Auch hier sieht man wieder die Verbesserung um ca. 250 % beim Übergang vom linearen
zum quadratischen Ansatz.
Schlussfolgerungen
Wenn der Zusammenhang zwischen der Konzentration und dem Messwert nichtlinear ist, dann
muss mit der nichtlinearen Kalibrierfunktion gearbeitet werden, da ansonsten der Verlust an
Genauigkeit (Reststandardabweichung) zu groß wird und damit der kritische Messwert, die
Nachweis-, Erfassungs- und Bestimmungsgrenzen zu ungenau – ebenfalls zu hoch – bestimmt
werden. Die Verschlechterungen können in der Regel nicht durch die materielle Investition in
Geräte aufgefangen werden und sind außerdem sehr teuer.
Die DIN ISO Norm 8466-2: 2000-09 sollte mit den hier vorgestellten Verfahren vervollständigt
werden, damit das Konfliktpotential bei der Ausschreibung zwischen den Kombattanten
im Sinne einer klaren Entscheidung aufgrund eindeutiger statistischer Ergebnisse reduziert
werden kann.
In diesem Zusammenhang sollten auch die Konfliktpotentiale, die auf der Bestimmung der
Kalibrierfunktion mit Wiederholungen und der Rekalibrierung basieren, diskutiert und beseitigt
werden.
i
2