¨Ubungen zur Quantenmechanik II - Theoretische Physik 1

Übungen zur Quantenmechanik II WiSe 2009/2010
Prof. Dr. F. Bopp, Prof. Dr. Th. Mannel, H. Boschmann
Blatt 4 — Ausgabe: 30.10.2009 — Abgabe: 6.11.2009
Aufgabe 8: Harmonischer Oszillator - Schrödinger- und Heisenbergbild
6 P
Betrachten Sie wiederum einen eindimensionalen harmonischen Oszillator.
a) Welche reelle Linearkombination |ψ〉 der Zustände |0〉 und |1〉 hat den größten Erwartungswert
〈ψ|x|ψ〉 für den Koordinatenoperator x?
b) Der Oszillator befinde sich zur Zeit t = 0 in diesem Zustand |ψ〉. Wie sieht der Zustand
zur Zeit t > 0 im Schrödingerbild aus?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert von x als Funktion der Zeit
• im Schrödingerbild,
• im Heisenbergbild (x H (t) = x S cos ωt + p S
mω
sin ωt).
d) Finden Sie die Zeitabhängigkeit der Standardabweichung 〈(∆x) 2 〉.
Aufgabe 9: Kohärente Zustände
6 P
Um u.a. klassische Zustände angemessener beschreiben zu können, werden in verschiedenen
Bereichen, insbesondere in der Quantenoptik, kohärente Zustände betrachtet. Ein
kohärenter Zustand eines linearen harmonischen Oszillators ist als Eigenzustand des Absteige-
Operators definiert:
a|λ〉 = λ|λ〉 .
Dabei ist der Eigenwert λ im Allgemeinen eine komplexe Zahl.
a) Zeigen Sie, dass
|λ〉 = exp
(
− |λ|2
2 + λa+ )
|0〉
ein normierter kohärenter Zustand ist.
b) Zeigen Sie, dass für einen solchen Zustand die Heisenbergsche Unschärferelation mit
Gleichheitszeichen gilt.
c) Der obige kohärente Zustand wird nach den Eigenzuständen |n〉 entwickelt:
|λ〉 =
∞∑
f(λ, n)|n〉 ;
n=0
Zeigen Sie, dass |f(λ, n)| 2 bezüglich n Poisson-verteilt ist.

Aufgabe 10: Harmonischer Oszillator - Kohärenz
Der Zustand eines linearen harmonischen Oszillators zur Zeit t = 0 sei gegeben durch
(
|Ψ l 〉 = exp − ilP )
|0〉
8 P
a) Zeigen Sie, dass es sich hierbei um einen kohärenten Zustand handelt.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert des Koordinatenoperators x H (t) im Heisenbergbild.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem der klassischen Rechnung unter Verwendung
der Anfangsbedingungen x(0) = x 0 und ẋ(0) = p 0
m .
c) Finden Sie die Wellenfunktion in Koordinatendarstellung zum Zeitpunkt t = 0. Berechnen
Sie dazu zunächst die Grundzustandswellenfunktion des harmonischen Oszillators.
Verwenden Sie, dass der Impulsoperator der Generator von Ortsverschiebungen
ist.
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich der Oszillator zum Zeitpunkt t ≥ 0 im
Grundzustand?
e) Berechnen Sie die Korrelation
k(t, 0) = 〈0|x H (t) x H (0)|0〉 .
Hinweise:
• Es gilt die folgende Operatoridentität, falls [[A, B], A] = [[A, B], B] = 0 gilt:
e A+B e [A,B]/2 = e A e B .
• Benutzen Sie Zwischenergebnisse aus den Aufgaben 8 und 9.